相继投影同步及其在保密通信中的应用

祝晓静，李科赞，丁 勇

(1.桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西 桂林 541004;2.鹏城实验室网络空间安全研究中心,深圳 518055;3.江苏省无锡交通高等职业技术学校， 江苏 无锡 214000)

0 引言

复杂动力学网络被定义为大量的网络节点耦合形成的网络，其中每个节点都是一个动态的子系统。复杂网络是现实系统中常用的建模工具，其中，元素被定义为节点，链接表示元素之间的交互关系。过去十多年，我们见证了复杂动力学网络在各个领域的发展，如生物网、神经网、食物链网、国家电网、互联网、保密通信技术[1-6]等。复杂网络无处不在，因此研究复杂网络上的动力学行为是很有必要的。

网络节点的同步性是复杂网络的一种非常有趣的现象。同步是一个典型的集体行为，是指所有节点相互同步或到达期望的轨道[7-9]。网络同步由于在通信、图像处理、神经网络和信息科学等领域[10-12]的潜在应用而受到越来越多的关注和广泛的研究。到目前为止，关于复杂网络的同步已经有很多成果。Hu等[13]和Parekh等[14]分别研究了两种特定网络中的同步:小世界网络和无标度网络。随后Mahmoud等[15]引入了复杂的混沌系统，研究了耦合完全相同系统的全局同步问题。对于生活中的一些复杂网络，为了更快实现同步，考虑添加适当的控制器，例如：线性控制、自适应控制、间歇控制[16-18]等。

相继投影同步是完全同步和投影同步的推广形式，然而有关它的控制理论，特别是牵制控制理论，仍相当缺乏。故本文对自适应牵制控制下实现相继投影同步开展研究，具有重要的现实意义。

复杂网络通常由大量的节点构成，出于实际考虑，引入了控制少量节点的思想，称之为牵制控制策略。同时，自适应控制方法有利于整个网络获得合适的控制增益，保证网络同步[19-20]。在不完全了解耦合系统的模型参数、耦合强度及外部干扰的情况下，更宜采用自适应控制。牵制控制和自适应控制的成本低，在实际动态网络中得到广泛应用。文献[21]利用自适应反馈控制方法，研究了驱动网络和响应网络对应节点之间的投影同步。基于以往研究中提出的控制方法，如果驱动系统不是部分线性系统，要想实现投影同步，则需对驱动响应系统施加非线性控制[22]。当比例因子推广成矩阵或者函数时，投影同步相应推广为修正投影同步或函数投影同步[23-24]。Sun等[25]在驱动响应网络之上引入通信时滞，通过对响应网络的所有节点追加自适应反馈控制器，获得了实现投影同步的充分条件。尽管许多研究者对网络投影同步进行了研究，然而，关于自适应牵制控制下实现相继投影同步还是一个开放性问题。另外以往的投影同步在保密通信中的应用，只适用于一对一发送信息。已有的保密通信系统都是基于低维的驱动响应系统[5-6,26]，驱动系统对应单个的信息发送者，响应系统对应单个的信息接收者。如果有多个接收者想同时接收发送者发出的信息，那么这些保密通信系统就不再适用了。

通过以上分析，本文做了以下工作：1)设计自适应牵制控制策略实现相继投影同步问题，利用李亚普诺夫稳定性理论，得到了两个简单实用的同步判据；2)将相继投影同步的牵制控制理论运用到保密通信，提出了一类能够有效实现一对多实时发送信息信号的保密通信系统；3)借助数值仿真分析，检验了相继投影同步理论的准确性和保密通信系统的可靠性。

1 网络建模及预备知识

1.1 网络建模

引入一类由n+1个节点耦合而成的复杂网络[27]，描述如式(1)所示。

(1)

以及

(2)

1.2 预备知识

定义1[27]对任意的初始条件xi(0),i=0,1,2,…,n和y0(0)，如果存在M>0,α>0,t0>0,驱动响应网络(1)～(2)的解满足

‖x0(t)-βi-1xi(t)‖≤Mexp{-αt}

(3)

对所有的t>t0,i=1,2,…,n都成立，那么称相继投影同步是全局指数稳定的。

假设1[28]驱动系统(1)是最终有界的，即存在μ>0和t0>0，∀t≥t0，有‖(x0(t),y0(t))‖≤μ。

引理1[27]已知对称矩阵A=(aik)∈Rn×n不可约，Rank(A)=n-1，且行和皆为零。记Di(d)为第i个主对角元为d且其它对角元皆为零的n阶对角矩阵，其中d≥0。以下结论成立：

1)A-Dj(d)<0，其中d>0，j=1,2,…,n。

2)对任意j∈{1,2,…,n}，若d>d′≥0，则λi(A-Dj(d))≤λi(A-Dj(d′))，i=1,2,…,n。

3)对任意j,k∈{1,2,…,n}且j≠k，d>0，d′>0，有λi(A-Dj(d)-Dk(d′))≤λi(A-Dj(d))，i=1,2,…,n。

引理2[29]已知G,H为n阶实对称矩阵，若H半正定，则

λi(G)≤λi(G+H),i=1,2,…,n

其中，等号对于某些i成立，当且仅当H是奇异的，且存在非零向量y使得Gy=λi(G)y，Hy=0，(G+H)y=λi(G+H)y同时成立。

引理3[29]对于任意实对称n×n矩阵G和H，其特征值满足

λk(G)+λn(H)≤λk(G+H)≤λk(G)+λ1(H)

其中，k=1,2,…,n。

2 主要结论

自适应控制策略能有效减少控制增益的大小，从而降低控制成本。依定义1，将同步误差定义为：ei(t)=x0(t)-βi-1xi(t),i=1,2,…,n。

(4)

证明：在自适应控制器(4)下，驱动响应网络(1)～(2)的相继投影同步误差系统为：

当i∈U时，

(5)

当i∉U时，

(6)

构造Lyapunov函数如式(7)：

(7)

(8)

(9)

推论1给定δ>0，任选i0∈{1,2,…,n}。若存在t0，使得当t>t0时耦合强度满足

(10)

则可设计如式(11)的自适应控制器

(11)

证明：由定理1，只需证明λ1(In⊗Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))⊗Im)<0。由引理2，以及Kronecker积的性质，我们知道，

λ1(In⊗Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))⊗Im)
≤λ1(In⊗Ms(y0(t)))+cλ1((A-Di0(δi0)))⊗Im)

=λ1(Ms(y0(t)))+cλ1(A-Di0(δi0))

由引理1的结论(1)，知λ1(A-Di0(δi0))<0。于是，式(10)成立时，必有λ1(In⊗Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))⊗Im)<0。取U={i0}，依定理1，得证。

只要耦合强度足够大，那么由推论1可知，在自适应控制(11)下，只需要控制一个节点，就能保证相继投影同步的全局指数稳定性。如果耦合强度不够大，由定理1，那么需要控制多个节点。文[19]和[20]利用自适应控制方法研究了复杂动力学网络的投影同步问题，不过需要对网络的所有节点追加控制器。因此，在实际应用中，特别是针对大规模的网络结构，本文提出的只控制部分节点或一个节点的自适应牵制控制方法具有较大的优势。

3 仿真检验与保密通信上的应用

3.1 仿真检验

(12)

其中,参数σ=10,α=28,b=(8/3)，f(x0(t),y0(t))=-by0(t)+x01(t)x02(t)，且

(13)

响应网络大小为n=5，其耦合矩阵选取为

(14)

图1 自适应控制下的时变增益di(t)Fig.1 Time-varying gain di(t) under adaptive control

图2 自适应控制下的相继投影同步误差E(t)Fig.2 Successive projective synchronization error E(t) under adaptive control

图3 驱动系统(15)的相图Fig.3 Phase diagram of the drive system (15)

图4 明文z(t)，同步误差E(t)Fig.4 Plaintext z(t), synchronization error E(t)

图5 第1个节点解密后的明文z1(t)，解密误差Fig.5 Decrypted plaintext z1(t) of the first node and decryption error

图6 第2个节点解密后的明文z2(t)，解密误差Fig.6 Decrypted plaintext z2(t) of the second node and decryption error

图7 第3个节点解密后的明文z3(t)，解密误差Fig.7 Decrypted plaintext z3(t) of the third node and decryption error

图8 第4个节点解密后的明文z4(t)，解密误差Fig.8 Decrypted plaintext z4(t) of the fourth node and decryption error

图9 第5个节点解密后的明文z5(t)，解密误差Fig.9 Decrypted plaintext z5(t) of the fifth node and decryption error

3.2 基于投影同步的混沌保密通信

基于相继投影同步原理，本节构建一类混沌保密通信系统，可实现一对多实时发送信息，较一对一的保密通信系统[5-6,26]具有更高的信息发送能力。该保密通信系统由发送端、接收端和解密过程构成。

1)发射端(信息发送者)。

(15)

其中,z(t)∈R为明文，即信息信号,发送端对应驱动系统。

2)接收端(信息接收者)。

(16)

其中,si(t)=β1-i(z(t),0,…,0)T+di(t)x0(t)为发送给第i个接收者的密文，即传输信号。x01(t)为混沌载波信号。假设信道是无损信道，即接收者能完全无损耗地收到密文。接收端对应响应网络。

3)解密过程。

不同接收者的解密过程是不一样的，主要依赖于该接收者在响应网络中的编号。当第i个接收者收到密文si(t)后，作变换[si(t)-di(t)βi-1xi(t)]×βi-1，当相继投影同步发生后，就有[si(t)-di(t)βi-1xi(t)]×βi-1→(z(t),0,…,0)T,这是因为

其中,zi(t)为解密后的明文。当相继投影同步发生后，即ei(t)→0，就有zi(t)→z(t)，即解密成功。值得注意的是，每个接收者必须按照自己的编号进行解密，否则就会解密失败。而且，di(t),β这些参数起到了密钥的作用，接收者只有准确知道这些参数，才能成功地解密，大大增加了保密通信系统的安全性。

不难看出，系统(15)～(16)的相继投影同步误差系统与(6)完全一样，这意味着第2节中的稳定性条件完全适用于系统(15)～(16)的相继投影同步。方便起见，不加明文时，驱动系统仍设定为混沌的Lorenz系统，响应网络结构仍由(14)给出。不过，需要注意的是，由于系统(15)是在Lorenz系统的基础之上增加了信息信号，相当于对Lorenz系统做了扰动。此时，λ1(Ms(y0(t)))的上界需要重新计算。

4 结语

本文首先研究了自适应牵制控制下相继投影同步问题。然后，设计了一种有效的自适应牵制控制策略，该策略具有更灵活的自适应律。自适应牵制控制策略通过调整反馈增益来实现反馈增益和耦合强度之间的平衡。在该控制方案中，只是控制部分节点，可以有效降低控制成本。同时，本文设计了一种基于混沌掩盖技术的保密通信系统，可实现一对多实时发送信息，且具有解密速度快和安全性高的特点。最后，通过对两个混沌系统的数值仿真，验证了所提同步方案的有效性和可行性。