一个关联对数函数的Hilbert型不等式

有名辉，范献胜，何振华

(1.浙江机电职业技术学院 数学教研室，浙江 杭州 310053；2.广西财经学院 信息与统计学院，广西 南宁 530003)

0 引言

(1)

其中π是式(1)成立的最佳常数。此外，文[1]中还给出了如下与式(1)类似的不等式：

(2)

其中π2是式(2)成立的最佳常数。通常，式(2)被称为Hilbert型不等式。百余年来，特别是20世纪90年代后期以来，以杨必成，Krnic等为代表的数学工作者利用近代分析的相关技巧，通过构建新的核函数，并不断对核函数进行参数化，并考虑离散形态、半离散形态、高维推广以及系数加强，构建了大量新颖且富有价值的新成果[2-14]。本文的主要构想源于以下不等式(见文[15]):

(3)

其中β>0，μ(x)=x1-2β，ν(y)=y1-2β。

通过引入对数函数，构造一个复合型的新的核函数，将建立以下Hilbert型不等式：

(4)

以及

(5)

其中μ(x)=x2，ν(y)=y2。

更一般地，通过引入多个参变量，构造一个含对数函数的积分核函数，并同时考虑齐次型和非齐次型两种形式，采用统一的处理方法，建立式(4)及式(5)的统一推广。 首先给出下列引理。

1 引理

引理1a,b>0，a+b=s，φ(x)=cotx，则

(6)

证明 由于φ(x)=cotx的部分分式展开形式如下[16]：

(7)

(8)

由式(8)便可得式(6)。

(9)

证明因ρ+β1>0，ρ+β2>0，故

(10)

又因ρ<0，则

(11)

利用分部积分，并把式(10)和式(11)的结果代入，可得

(12)

(13)

经过简单的变量替换，可类似算得

(14)

结合式(12)、式(13)和式(14)，并利用引理1的结果，可得(9)。

且fn(x)及gn(y)定义如下：

(15)

证明作代换xγ1yγ2=t，可得

(16)

当γ2>0及γ2<0时，交换积分顺序，总能算得

(17)

将式(17)代入到式(16)，令n→∞，并利用由勒贝格控制收敛定理及式(9)，则有式(15)。

2 主要结果

(18)

证明由Hölder不等式[16]，得

(19)

作变量代换xγ1yγ2=t，通过简单细致的计算，并借助式(9)，可知

(20)

类似的计算，可得

(21)

把式(20)及式(21)代入到式(19)，则可得

(22)

若式(22)可取等号，则一定有不同时为零的实数A和B,满足

a.e.于R+×R+，即

Axp(1-ργ 1)fp(x)=Byq(1-ργ 2)-1gq(y)

a.e.于R+×R+。故有常数C，使得

Axp(1-ργ 1)fp(x)=C

a.e.于R+，以及

Byq(1-ργ 2)gq(y)=C

最后还需证明式(18)中的常数因子

使得式(18)的常数因子换成k后式(18)依旧正确。即

(23)

把引理3中的fn(x)和gn(y)分别替代式(18)中的f(x)和g(y),并利用式(15)，易得

K(x,y)fn(x)gn(y)dxdy

k|γ1|-1/p|γ2|-1/q

令n→∞，则有

这与假设形成矛盾。因而式(18)的常数因子为最佳值。定理1获证。

在定理1中，令β1=2β，β2=β，则有

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(24)

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(25)

其中μ(x)=xp(1+β/2)-1，ν(y)=yq(1+β/2)-1。

在式(25)中，令β=1，p=q=2，则可得式(4)。

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(26)

其中μ(x)=xp(1-β/2)-1，ν(y)=yq(1-β/2)-1。在式(26)中，令β=1，p=q=2，则可得如下基本的Hilbert型不等式。

其中μ(x)=x3p/2-1，ν(y)=yq/2-1。

在定理1中，令β1=3β，β2=β，则有

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(27)

(28)

其中μ(x)=xp(1+β/2)-1，ν(y)=yq(1+β/2)-1。

在式(28)中，令β=1，p=q=2则可得式(5)。