物理模型与高斯过程融合驱动的残余应力疲劳状态评估

梁天佑， 尹爱军， 陈 平， 方 杰

(重庆大学 机械工程学院 机械传动国家重点实验室, 重庆 400044)

金属构件受振动、冲击等作用易导致疲劳失效，如支撑、连接螺栓等在长期振动作用下导致疲劳断裂，继而引发生产事故[1-2]。国内外研究表明，残余应力可以表征金属构件的疲劳状态[3]。振动引发疲劳可由残余应力表征，慕琴琴等[4]研究了发动机盘类零件振动-应力-寿命关系。周磊等[5]对不同轨道结构形式下地铁车辆部件振动及应力进行分析，研究弹簧疲劳寿命。Kodama[6]通过疲劳试验探究了载荷反复作用下残余应力与疲劳加载周期之间的关系提出了残余应力和疲劳循环周期的对数线性关系。Zhuang等[7-8]提出了基于初始残余应力的残余应力-疲劳循环周期模型。Zhang等[9]通过车轴钢疲劳试验，认为高周循环载荷作用下残余应力与裂纹萌生及扩展有关。郭振坤等[10-11]则通过仿真模型研究了构件的疲劳寿命演化。

残余应力松弛模型中常用的参数估计方法，主要有非线性最小平方(nonlinear least squares，NLS)法、贝叶斯法(Bayesian method，BM)、粒子滤波(particle filter，PF)法[12]等，对于包含隐变量的则有最大期望(expectation-maximization，EM)算法[13]等。NLS法是将非线性模型转化为线性模型，再通过最小二乘法求解。BM是先假设模型未知参数符合某种先验分布，在某一范围选择合适初始值，利用先验分布采样值的后验概率值变化更新参数值，并迭代到收敛。PF法类似于BM，通过采样大量带权粒子确定物理模型参数。在残余应力对疲劳寿命影响研究中，常采用NLS方法进行参数估计。

传统物理模型如Kodama提出的对数线性模型等往往未充分考虑初始残余应力与构件疲劳状态间的关系，以及材料、环境等因素的影响。本文在有限数据条件下，考虑初始残余应力，试样差异性以及环境因素等对疲劳状态的影响，利用传统物理模型设计高斯过程核函数，建立物理模型和数据驱动的高斯过程融合的残余应力疲劳状态评估模型(Kodama-Gaussian process，K-GP)，并通过铝合金进行了对比试验，验证了模型有效性。

1 残余应力寿命模型

基于残余应力的寿命模型已得到相关研究。研究表明，残余应力越稳定，材料疲劳寿命越高。Kodama通过研究退火碳钢喷丸处理后单轴循环加载下表面残余应力演化规律，提出如式(1)的对数线性模型。

σN,rs=A+mlnN

(1)

式中：σN,rs为当前循环周期对应残余应力；A,m为待定超参数；N为当前循环周期。然而该模型仅适用于残余应力的缓慢松弛阶段。

残余应力松弛现象同时与应力梯度、应力比、材料应力应变、冷作硬化、粗糙度[14-16]有关。在考虑冷作硬化等因素的条件下，有如式(2)所示的寿命模型。

(2)

(3)

式(1)和式(3)模型均仅适用于构件的缓慢松弛阶段，式(3)同时考虑了初始残余应力的影响。

2 基于残余应力的K-GP疲劳状态评估

由于材料高应力幅值会加速残余应力驰豫速率，使传统物理模型计算结果在低周疲劳阶段失准。因此在评估时，一般不考虑低周数据。而基于拟合回归的参数估计方法，要求物理模型本身简洁，因此评估误差会增大。由数据驱动的高斯过程，将残余应力松弛模型引入高斯过程核函数，建立构件疲劳循环周期预测模型。

2.1 高斯过程

高斯过程回归(Gaussian process regression，GPR)假设多变量特征符合联合高斯分布，从而通过计算联合分布的边缘概率密度获得目标条件分布。GPR广泛用于机械性能评估，寿命预测，金融股票走势预测等问题有诸多研究和运用[17-19]。

(4)

式中：f(X*)为关于Y*的高斯分布，其分布参数与X*有关；K为核函数，用于定义样本空间的内积关系；K(X,X)为以K(xi,xj)为元素的矩阵。

则f(X*)概率分布的均值μ(X*)以及协方差Σ*如式(5)和式(6)。

μ*=K(X*,X)[K(X,X)+σ2I]-1×

[Y-μ(X)]+μ(X*)

(5)

Σ*=K(X*,X*)-K(X*,X)×

[K(X,X)+σ2I]-1K(X,X*)

(6)

式中，σ2为高斯噪声的系数[20-21]。

根据上述分析，高斯过程回归关键在于设计核函数K[22]。不同的核函数有不同的超参数，通常采取优化极大似然边缘概率估计核函数的超参数。设超参数向量为θ，则有

L(θ)=-ln[p(y|X,θ)]=

(7)

式中，Σθ为超参数θ下的协方差矩阵。

2.2 K-GP状态评估模型

假设构件当前循环周期关于残余应力符合高斯过程。根据式(1)物理模型，可得到如式(8)的增量表达式。

σN,rs+ΔσN,rs=A+mS+mΔS

(8)

式中：ΔσN,rs为残余应力增量；S=lnN为对数疲劳周期；ΔS为对数疲劳周期增量。式(8)表明表示残余应力改变时(增量ΔS)引起对数疲劳周期变化(ΔσN,rs增量)成线性关系。

结合式(8)的线性过程和式(9)所示的高斯过程线性核函数

(9)

有

(10)

根据式(5)和式(10)，可建立式(11)所示的高斯预测模型。

(11)

对于式(1)所示的物理模型，通常只适用缓慢松弛阶段。而由式(3)，初始残余应力和疲劳周期呈指数关系。考虑构件材料差异、环境因素以及测量误差等因素影响，本文在线性核函数的基础上，融合式(12)所示的径向基函数核

(12)

式中，σ2和l2为超参数，形成式(13)的残余应力疲劳状态评估模型核函数。

K=KlKrbf+Kl

(13)

上述模型融合了物理模型和数据驱动方法，解决了数据驱动建模过程中的模型缺乏可解释性问题，并综合了初始残余应力对评估的影响。

3 试验验证

3.1 试验试样

根据GB/T 228.1—2010《金属拉伸试验标准试验类型及尺寸》，设计了如图1所示的2024铝合金试样，其试件中间喷完部位表面粗糙度0.4 μm，材料性能参数如表1所示。

图1 试验样件Fig.1 Experimental samples

表1 2024铝合金力学性能Tab.1 Mechanical properties of 2024 aluminum alloy

3.2 试验过程

3.2.1 表面喷丸强化

表面强化技术可在基本不改变材料基体的前提下可显著提高其材料表层的抗疲劳性能[23]，喷丸区域如图2框选区域，喷丸丸粒直径0.3 mm，出口压力0.3 MPa, 喷丸时间30 s, 覆盖率100%。

图2 喷丸件实物Fig.2 Shot peening parts

3.2.2 初始残余应力检测

采用μ-X360nX射线衍射仪检测各试样的初始残余应力，并选取其中7个残余应力相近的试样进行后续试验。初始残余应力检测结果如表2所示。1号试样用来载荷测试。2号试样是3.3节中全寿命试验样件，3号、4号、5号、6号、7号试样用于阶段疲劳试验。

表2 各样件初始残余应力表Tab.2 Initial residual stress of each piece

3.2.3 拉伸疲劳试验

应力比为0.1，正弦加载，频率为20 Hz，加载载荷为15 kN。2号试样全寿命加载试验结果如表3所示。4～7号试样阶段加载，结果如表4所示。

表3 2号试样疲劳残余应力检测结果Tab.3 Fatigue residual stress test results of No.2 sample

表4 阶段性试验疲劳残余应力检测结果Tab.4 Test results of fatigue residual stress in step test

3.3 疲劳状态评估

通过全寿命试验以及阶段性试验数据建立模型，结合蒙特卡洛方法对初始残余应力以及当前残余应力进行随机采样增加样本总量，评估对象是对数疲劳周期。图3(a)是融合模型评估结果;图3(b)中不同初始残余应力下残余应力-疲劳循环周期曲线，每条曲线对应一个试样。该曲线簇反映不同试样具有不同初始残余应力下的演化特性。图4、图5分别是式(1)、式(3)利NLS方法得到评估结果(以Kodama模型和Omar模型表示)。

图3 K-GP评估结果Fig.3 Assessment results of K-GP

图4 Kodama模型评估结果Fig.4 Assessment results of Kodama model

由图4图5可知，可验证传统物理模型并不适用于构件疲劳的低周阶段，图5横坐标为残余应力比即当前残余应力与初始残余应力比值，说明构件疲劳过程与初始残余应力有关，图3(c)中表明不同初始残余应力则对应于不同的构件疲劳曲线，但是其变化趋势是相似的，且KGP适用于低周疲劳阶段。

图5 Omar模型评估结果Fig.5 Assessment results of Omar model

误差结果如图6所示，以2号样件总寿命百分比表示，误差计算公式为

图6 评估误差对比Fig.6 Evaluation error comparison

(14)

Nf_t取二号试样的总疲劳周期。由于我们评估模型输出的是对数周期，因此需将对数周期转换为周期，对数周期在KGP中认为是符合正态分布，则周期符合对数正态分布，其期望计算公式为

E(Np)=eE(S)+Var(S)/2

(15)

式中，S为模型评估的对数周期。

图6给出各个点对应误差并通过3阶多项式拟合给出误差趋势，相较于其他疲劳寿命模型，本文提出的K-GP模型引入初始残余应力，有效的提高了疲劳状态评估的准确性，Omar模型效果最差。

4 结 论

本文分析了残余应力演化传统物理模型的局限性，结合初始残余应力，将数据驱动的高斯过程融入到物理模型中，提高了残余应力疲劳状态评估模型的准确性并使模型适用于低周疲劳阶段。K-GP模型目前涉及初始残余应力对疲劳状态评估的影响，后续可考虑表面粗糙度，冷作硬化等对模型的影响；并优化模型，减小对样本数据量的依赖。