齿轮马达的制动机理研究及性能最大化措施

甄 帅， 左铁峰

(1.滁州职业技术学院， 安徽 滁州 239000； 2.滁州学院， 安徽 滁州 239000)

引言

齿轮马达是通过注入一定压力的流体介质，促使壳内相互啮合的2个(或多个)齿轮转动的液压元件，多用于高速低载场合[1]。由于与齿轮泵工作原理相反，结构基本一致[2]，所以针对齿轮马达的研究多归结为齿轮泵研究[3-7]，单独研究相对较少[2,8]， 尤其对齿轮马达的制动性能研究更少，其中，该制动主要由关闭齿轮马达的进出油路来实现，为装运、起扬等机械所必需。目前，该制动性能基本处于“制动后因马达内泄漏会导致齿轮副缓慢转动”的定性认识上。鉴于此，拟从制动后齿轮副啮合过程出发，定量分析马达内密闭介质的液压制动机理，并就制动性能最大化提出相应的措施。

1 齿轮马达制动后的啮合过程

由于制动后的负载驱动，齿轮副会按负载转矩方向缓慢转动。图1描述了以输出齿轮的齿顶点刚进入啮合时为起始位置的一个啮合过程[9]。其中，o1，o2为同尺寸输出、空转齿轮的中心；“工”字形点划线表示矩形对称卸荷槽轮廓；N为理论啮合线端点；n，c为啮合点、侧隙点；n′，n″为双齿啮合区的另一啮合点。

图1a～图1d先后表示o2齿顶点n、节点c,o1齿顶点n′，o2另一齿顶点n″ 进入啮合时的几何位置。图1b下卸荷槽的对称轮廓分别过n，n′，为最小困油位置[10]。

图1a～图1c、图1c～图1d为双齿、单齿啮合区，由此构成了制动后的注入、困油、释放的3个密闭腔。

设Nn的连线长度为s，图1a～图1d对应的s为s1～s4。则，由齿轮副传动的几何关系，知：

图1 齿轮马达制动后的一个啮合过程

(1)

no1，no2的连线长度rn1，rn2为：

(2)

(3)

设:

(4)

式(1)～式(4)中，ra，rb为顶、基圆半径，pb为基节，L为理论啮合线的长度。

2 齿轮马达制动后的液压转矩

由于制动后负载的驱动转速很缓慢，则困油腔内的介质压力p(s)先、后分别与注入腔、释放腔内的介质压力pi(s)，po(s)相等，即：

(5)

由液压介质分别作用在o1，o2上的制动转矩Moil-1，Moil-2为[1]：

(6)

作用在o1上的总液压制动转矩Moil为：

Moil(s)=Moil-1+Moil-2=b[ki×(pi-p)+

ko×(p-po)]

(7)

设扣除摩擦等制动分项外的剩余负载转矩为Mload，由Moil(s)=Mload，得：

pi(s)-po(s)=Mload/[bkio(s)]

(8)

其中，

(9)

式中，b为齿宽；q为马达排量；r′为节圆半径；kio为关于啮合点位置的变量。

3 制动后负载的驱动转速

在注入侧、释放侧的两密闭腔内，如以压缩为正，膨胀为负，则两侧密闭腔内介质的容积变化率dVi/dt和dVo/dt。理论推导后为：

dVi/dt(s)=-dVo/dt(s)=ωload×[bkio(s)]

(10)

式中，ωload为Mload的驱动角速度。

由于ωload很缓慢，所以注入侧、释放侧密闭腔内各流量总能达成平衡，即：

dVi/dt(s)-QR-QZ=0

dVo/dt(s)+QR+QZ=0

(11)

式中，QR和QZ为注入介质通过o1，o2两齿顶间隙和两端轴向间隙泄漏到释放侧中的流量。

由于ωload很缓慢，齿顶间隙cR、轴向间隙cZ内的剪切流量非常小，故只存在压差流量，所以由矩形平行平板缝隙流量计算方法[11]，得：

(12)

式中，bZ和lZ为图1b所定义的卸荷槽中间半密封区域的宽度和长度；μ为介质黏度；lR为齿顶径向密封总长度=齿顶厚度×密封齿数；α′为啮合角；rf为基圆半径；qleak为“pi-po=1 Pa”即单位压差下的马达内泄漏。

将式(8)、式(10)代入式(12)中，得制动后Mload=1 N·m，即单位负载下的驱动角速度ωunit和单位负载下的驱动转速nunit为:

(13)

4 齿轮马达制动性能的最大化措施

例取模数m=3 mm，齿数z=14，顶高系数h=1，变位系数x=0.178，顶隙系数0.25，压力角α=20°，齿顶间隙cR=0.08 mm，轴向间隙cZ=0.06 mm，介质黏度μ=0.09 Pa·s，马达排量q=9×10-6m3/r，齿侧间隙0.2 mm，齿顶径向密封齿数9。计算得啮合角α′=24°，重合度ε=1.36，宽径比φ=齿宽/节圆直径=0.28，则1个啮合过程中kio和nunit的变化情况，如图2所示。

由图2知，min(kio)=123.3 mm2和max(nunit)=7.55 r·N·m·min-1发生在最小困油位置即s=s2处；max(kio)=142.9 mm2和min(nunit)=5.65 r·N·m·min-1发生在节点啮合时。为达成nunit(s2)最小化下的制动性能最大化，总希望kio(s2)最大化。

图2 kio和nunit随啮合点位置的变化曲线

为此，构建出对应于制动性能最大化措施下ωunit的最小化模型：

(14)

式中，X—— 齿形参数组

gii(X) —— 约束函数组[12]

一组优化后的X=[4,14,0.8,0.023]T，对应的啮合角α′=21.26°，重合度ε=1.28，宽径比φ=0.16；优化前后单位负载下的驱动转速，如图3所示。此时，max(nunit) =4.07，降幅达46.1%；min(nunit)=2.80，降幅达31.2%，即制动性能提高了31.2%～46.1%，且φ，h越小，轴向、径向的泄漏越少。

图3 单位负载下驱动转速的优化前后对比

5 结论

(1) 啮合点的位置不同，制动后负载驱动转速也不同，其中，最小困油位置处的驱动转速最高，节点啮合处的驱动转速最低；

(2) 齿形参数对制动后负载驱动转速的影响很大，案例优化前后的制动性能提高了31.2%～46.1%;

(3) 负载转矩与马达内客观存在的泄漏途径为驱动转速产生的外因与内因，齿轮较小的宽径比和齿顶高系数能有效控制马达内泄漏。