交换环上的n-w-余纯投射模

2022-01-15 07:54李庆

西南民族大学学报（自然科学版） 2021年6期

李庆

(西南民族大学数学学院，四川成都 610041)

1 引言及准备知识

本文恒设R为具有单位元的交换环.Enoch和Jenda在文献[1-2]中引入余纯内射模和余纯平坦模.所谓R-模M是余纯内射模[1]，是指对任意内射R-模E，所谓R-模M是强余纯内射模[1]，是指对任意内射R-模E和任意正整数＝0.R-模N称为余纯平坦模[2]，是指对任意内射R-模E，模N称为强余纯平坦模[2]，是指对任意内射R-模E和任意正整数i≥1E)＝0.我们知道平坦模的右正交类是余挠模，而余挠模在刻画环的结构等方面起着重要的作用.类似，平坦模的左正交类成为众多代数学者思考的研究对象，于是Fu等人在文献[3]中引入了n-余纯投射模和强余纯投射模.这里设fdR(F)表示R-模F的平坦维数.所谓M称为n-余纯投射R-模[3]，是指对任意fdR(F)≤1的R-模F，称R-模M是强余纯投射模[3]，是指对任意平坦R-模F和任意正整数F)＝0.随后Gao在文献[4]中进一步刻画了n-余纯投射R-模.在文献[5]中Glaz和Vasconcelos引入了半v-模(semi-divisorial module)，推广了v-模(divisorial module)和内射模，随后Vasconcelos修正了半v-模，引入了w-闭包，也就是所谓的w-算子，该算子在乘法理想理论和模论研究中起到了重要的作用，特别是在平坦模类中w-算子的引入产生了许多漂亮的结果，比如文献[6-10].

以下恒设n是非负整数，w-ζn表示w-平坦维数不超过n的所有R-模类.R的极大w-理想的集合记为w-Max(R).

本文研究的目的是在n-余纯投射R-模和强余纯投射模中引入w-算子，提出n-w-余纯投射模和(强)w-余纯投射模的概念以及相关性质刻画.本文讨论了n-w-余纯投射模和强w-余纯投射模在扩张之下的封闭性问题.证明了若R-模正合列0→A→B→C→0，其中A，C都是n-w-余纯投射模，则B也是n-w-余纯投射模.证明了若R-模正合列0→A→B→C→0，其中A，C都是强w-余纯投射模，则B也是强w-余纯投射模.最后分别给出了n-w-余纯投射模和w-余纯投射模的等价刻画.证明了M是n-w-余纯投射R-模当且仅当对任意R-模正合列0→K→K‘→M→0，其中K‘是n-w-余纯投射R-模，则对任意N∈w-ζn，诱导序列0→HomR(M，N)→HomR(K‘，N)→HomR(K，N)→0是w-正合列；当且仅当对任意R-模正合列0→A→B→C→0，其中A∈w-ζn，则诱导序列0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomRM，C)→0是w-正合列.

下面回顾一些本文常用定义和结果.假设J是交换环R的理想，由文献[11]，J称为GV-理想，是指J是R的有限生成理想，且自然同态中φ:R→HomR(J，R)是同构的.GV(R)代表R中所有GV-理想.设R-模M，记torGV(M)＝{x∈M|Jx＝0对某J∈GV(R)}.若torGV(M)＝M，称M为GV-挠模；若torGV(M)＝0，称M为GV-无挠模.GV-无挠R-模M称为w-模，是指对任意J∈GV(R)有Ext1R(R/J，M)＝0.设f:M→N是R-模同态，若对R的任意极大w-理想m，fm:Mm→Nm是单同态(满同态或同构)，则称f为w-单同态(w-满同态或w-同构).R-模同态序列A→B→C称为w-正合列，是指对R的任意极大w-理想m诱导的R-模同态序列Am→Bm→Cm是正合列.由[12，命题1.1]，R-模同态序列是w-正合列当且仅当f:A→B是w-单同态当且仅当ker(f)是GV-挠模；R-模同态序列是w-正合列当且仅当g:B→C是w-满同态当且仅当cok(g)＝C/Im(g)是GV-挠模.由文献[13，定理2.7]，R-模M是GV-挠模当且仅当对R的任意极大w-理想m，Mm＝0.本文涉及的其他概念等，参见文献[14-16].