在图形与几何学习中发展空间观念的课例研究——以“认识圆柱”的教学设计为例

薛舒引

（江苏省南京市江宁区秣陵中心小学，江苏南京 211111）

引 言

笔者在小学高年级数学教学中发现，学生普遍缺乏空间观念。由此，笔者产生了疑问：空间观念看不见、摸不着，如何衡量学生空间观念的发展水平？如何在“图形与几何”的教学中落实学生空间观念的发展？笔者通过研读《课程标准》，学习范希尔几何思维水平理论，在“认识圆柱”的教学中进行了以下思考和实践。

一、衡量空间观念发展的理论依据——范希尔几何思维水平理论

在对学生几何概念形成的研究中，范希尔的几何思维水平理论是最具影响力的理论之一。基于皮亚杰的认知发展阶段论，范希尔夫妇指出，学生的几何思维发展包含五个层次，分别是水平0——视觉、水平1——分析、水平2——非形式化演绎、水平3——形式化演绎、水平4——严密性。学生的几何思维水平发展是循序渐进、逐步进阶的。小学第一、第二学段学生的几何思维发展主要集中于前三个水平。

基于该理论，笔者认为，在“认识圆柱”的学习中，学生空间观念的发展主要分为三个层次。水平0——视觉：能够从生活实物中或几何图形中分辨出圆柱，用“生活语言”片面描述圆柱的特征，这是学生在本节课中的学习起点。水平1——分析：了解圆柱各要素名称及其特征，能用数学语言系统地描述圆柱的外部及内部特征。水平2——非形式化演绎：理解圆柱与平面图形之间的联系，这是本节课的学习难点。

二、发展空间观念的教学策略——以“认识圆柱”为例

《课程标准》和小学数学教材中都没有对空间观念内涵的解释，但《课程标准》中给出了学生是否具备空间观念的具体表征：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。从《课程标准》的表述可以看出：学生发展空间观念，需要从生活中的实际物体出发，经历抽象、想象和表达的思维活动。

基于对《课程标准》的理解，笔者确定了“认识圆柱”一课的教学目标：结合观察、比较、证明等操作，探索、验证圆柱的基本特征；结合切、旋转、平移等活动，探索在圆柱与平面图形的变形转换中相对应的关系；在探索活动中，积累图形研究的经验，发展空间观念；在小组合作中能清晰地表达自己的想法，积累与他人合作交流的经验。在此基础上，笔者设计了以下教学活动。

活动一：基于原型，调动经验，初步建立表征——唤醒水平0

《课程标准》指出，学习素材的选择应在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。基于这样的思考，笔者在课前让每位学生在生活中选择1～2个圆柱形物体并记录下它的特征。这样的活动既调动了学生的已有经验，又为观察活动提供了丰富的原型素材。

活动二：经历观察，结合语言表达，归纳图形外部和内部特征——达到水平1

1.在丰富的学习素材中求同存异，发现外部特征

观察活动中的素材要丰富和直观，贴近学生生活，能激发学生的探究欲望。学生在丰富的圆柱形物体素材中求同存异，结合对比、推理等，发现圆柱的外部特征，开展小组共同观察的活动。

2.调动多感官参与观察，与伙伴共同学习，发现内部特征

观察是研究图形的重要方法[1]。探索图形特征的方法多样且具有挑战性，才能激发学生的学习动力，达到促进学生在方法、能力和情感价值方面获得多重提升的目的。具体活动（见图1）会促使学生在观察过程中调动多感官参与，在与伙伴的合作学习中互相启发，对圆柱特征认知实现“再创造”。

图1

考虑到学生思维水平和接受、掌握知识的能力的不同，为了让全体学生都能参与探究活动，笔者提供了“研究提示”（见图2），指导学生结合多感官进行具体观察，促使每位学生在原有基础上都能得到发展。

图2

3.归纳抽象特征，以语言为载体发展空间观念

在学生进行合作学习、讨论前，笔者设计如下活动并提出要求（见图3）。学生对圆柱的特征和圆柱的表征逐渐清晰，“归类”“简洁描述”“标一标”等要求促使他们用系统、简洁的数学语言描述发现的圆柱的特征。语言是思维的外衣，不同的语言表达代表着学生不同的思维方式和思维水平。笔者将学生的结论分层展示，让他们进行对比分析，产生思维碰撞，在交流中发展认知。

图3

活动三：基于知识本质，设计操作活动，积累空间想象经验——达到水平2

1.认清知识本质，设计适合学生的操作活动

圆柱有静态定义和动态定义。以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆柱。这是圆柱的动态定义。可见，圆柱的本质是旋转体。在小学阶段，教材对圆柱的概念只做静态的描述，但学生在认识圆柱的过程中也有对动态定义的理解。例如，人教版小学数学教材中先出示生活中各式各样的圆柱形物体，揭示“上面这些物体的形状都是圆柱体，简称圆柱”，再研究圆柱的各部分组成及特征，紧接着通过“把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来的是什么形状”的活动体现圆柱的动态性。基于对圆柱本质的理解，笔者设计动态的操作活动，提供丰富的素材，创设两个问题情境：圆柱里“藏着”哪些平面图形？平面图形能通过变形或者运动变成圆柱吗？

2.想象在先为主，操作在后为辅，积累空间想象经验

在课堂伊始，笔者以动态的旋转门引出课题，为学生开启想象活动提供经验。“先想象再操作验证”的要求促使学生发挥空间想象能力展开思考。但只有想象是不够的，在操作中试误、验证才能帮助学生建立清晰表象，寻找对应关系，学会用数学的方法解决问题。

结 语

综上所述，小学数学教师要正确认识和理解《课程标准》中空间观念的含义与对不同学段的要求，掌握学生空间观念发展的各阶段特征，结合具体的课程内容渗透空间观念，梳理小学阶段“图形与几何”领域中发展学生空间观念的教学内容，引领学生经历活动的过程，逐步发展其空间观念。