COMSOL Multiphysics软件在矩形波导课堂教学中的应用

崔小斌， 季文杰

（1.南京工业大学数理科学学院，南京211816；2.南京大学物理学院，南京210093）

0 引 言

“电磁场与电磁波”课程是大学物理类、电气电子类和通信类专业的重要必修基础课［1-6］。在此课程中，主要教学内容都与以偏微分方程组形式描述的麦克斯韦方程组有关［7-8］。对于学生来说麦克斯韦方程组过于抽象，学生很难准确理解公式背后的物理内涵和图形。在此课程的教学中，如能将抽象的数学公式，以清晰、直观的图形或动画形式呈现出来，则会极大地帮助学生理解相关的物理原理和内涵。

COMSOL Multiphysics软件是基于有限元法（Finite Element Method，FEM）开发的一种求解偏微分方程边值问题近似解的数值软件，该软件带有的电磁波模块可以很好地用来计算和研究电磁波的传播。COMSOL软件具有图形界面直观、参数设置简单、仿真能力强大等特点，同时带有丰富的后处理功能，可将抽象的数学公式以各种曲线、图片及动画的形式输出与分析。目前，该软件已被广泛地应用于电磁场与电磁波领域的前沿研究，例如：等离激元学［9-10］、光学超材料［11-12］等。

针对当前“电磁场与电磁波”课程教学的现状［13-15］，以服务课程教学为目的，探索将有限元仿真引入到课程教学。利用COMSOL软件自带的APP开发工具，以金属矩形波导内电磁波物理性质仿真为例，设计一个带有图形用户界面（Graphical User Interface，GUI）的有限元仿真实验，该仿真实验可以清晰、真实地模拟电磁波在金属矩形波导中传播的过程，有助于学生对矩形波导部分学习内容的理解。这种有限元仿真的方法也可推广到该课程内其余内容的教学，对提升学生的学习兴趣有一定的促进作用。

1 仿真系统开发

金属矩形波导电磁性质仿真系统主要由矩形波导仿真计算模块和仿真GUI界面两部分组成。矩形波导仿真计算模块依托COMSOL软件的有限元处理能力，保证了仿真的可靠性和运算效率。仿真GUI界面基于COMSOL软件APP的开发环境开发，主要包括仿真系统的参数设置和仿真结果的显示。GUI界面提供了仿真时的图形交互式界面，降低学生使用COMSOL软件的要求，对提升学生学习兴趣有一定的帮助。

1.1 仿真计算模型开发

利用COMSOL软件开发矩形波导仿真模块，在模型开发向导中依次选择三维模型→电磁波物理场→频域分析。在几何模块建立如图1所示矩形波导模型，设置波导管尺寸；设置波导内介质材料参数；在物理场部分设置波导的边界条件和激励源。将波导壁设为理想导体。在波导沿z轴方向的两个开口端设置两个波导的端口，即：电磁波发射和接收端口。在发射端口将端口类型设为“矩形”，端口波激励设为“开”，接收端口设置保持不变。

图1 金属矩形波导的结构示意图

1.2 仿真GUI界面开发

在仿真模型开发和测试无误之后，利用COMSOL Multiphysics软件的APP开发器功能，将上述模型编制成“金属矩形波导电磁性质仿真软件”程序，并设计程序GUI界面。GUI界面主要包括参数输入、功能按钮和结果显示区3部分。

参数输入区用于输入矩形波导仿真必需的参数，包括波导的几何尺寸、波导中介质的物理参数（相对介电常数，相对磁导率和电导率）、传播模式选择和工作频率。在参数输入区下方设置了一个“计算截止频率”按钮，根据输入的几何尺寸和选定的传播模式，点击按钮，就会显示相应波导模式的截止频率，便于学生仿真时选择波导工作频率。

功能按钮区包括“计算”“报告生成”和7个结果显示按钮。参数输入完成后，点击“计算”按钮，程序会按照输入参数进行计算，并将“结果”在结果显示区显示。7个结果显示按钮包括6个查看所需重要结果的按钮和1个“动画”按钮，通过点击这个7个按钮可以在设定的多个重要视角观察波导内电磁波的各种性质。也可在结果显示区内用鼠标对模型拖动、旋转和缩放，从不同角度观察结果。当仿真结束时，点击“报告生成”按钮，可将仿真结果以PDF格式文件提交。

2 仿真软件计算案例

在金属矩形波导中，允许传播的导行电磁波有横电波（TE波）和横磁波（TM波）两种模式。由于主模在波导管研究中最具意义，本文基于编制的仿真软件详细讨论TE10模式横电波在矩形波导中的传播特性，并对TM11模式横磁波在波导中的传播特性做简单介绍。为与仿真结果对照，给出金属矩形波导TE10模式和TM11模式电磁波的主要理论公式。

2.1 金属矩形波导电磁性质的理论公式

如图1所示的金属矩形波导，其腔体内为真空、波导壁为金属导体，波导管矩形截面的长边尺寸为a，沿x轴方向；短边尺寸为b，沿y轴方向。假设波导中导波的传播方向沿z轴方向，对于角频率为ω的时谐场，波导内电磁场可表示为：式为传播常数，表征导波系统中电磁场的传播特性；kc为截止波数；k为传播波波数。E（x，y）、H（x，y）为导波系统中垂直于z轴平面内的电场和磁场分布。将式（1）代入到麦克斯韦方程组，再结合金属矩形波导边界条件，即可求解出矩形波导中电磁波的电磁场瞬时场分布［1］。

（1）TE10模式。利用波动方程和边界条件，可解析推导出金属矩形波导中TE10波的电场、磁场的理论公式［1-3］。电磁场各分量如下：

式中：ω为电磁波的角频率；μ0为真空磁导率；H0为磁场强度分量Hz的振幅；β为相位常数。

基于式（2）并由理想导体表面边界条件：

式中：n为波导腔壁表面的外法向单位矢量；H为内壁表面磁场矢量。可以得到金属矩形波导的4个内腔壁上的电流密度瞬时值：

式中，ex、ey、ez分别为沿x、y、z轴的单位矢量。

（2）TM11模式。对于TM11模式，由于Hz=0，根据波动方程和边界条件可得该模式下电磁场各分量分别为：

式中：ε0为真空介电常数；E0为电场强度分量Ez的振幅。

在矩形波导中，TE波和TM波电场E和磁场H的关系分别为：

式中，ZTE、ZTM分别为两种模式下波阻抗。

2.2 TE10模式仿真

在参数输入区内，将波导几何尺寸设置为：a=60 mm；b=20 mm；L=200 mm；μr=εr=1；G=0（电导率）。选择计算TE10模式，点击截止频率按钮，界面上会显示该模式在此条件下的截止频率为2.49 GHz。根据截止频率，设置导波工作频率为3 GHz，点击“计算”按钮，即可计算出此频率下TE10模式电磁波在矩形金属波导管中的传播特性。

（1）TE10模式电磁波立体图形。点击功能按钮区中的“立体电磁场”按钮，界面显示结果如图2所示，图中红色有向箭头为波导管中的电场分布，蓝色有向箭头为磁场分布。箭头方向为该点处场的方向，箭头的密度分布为场强的相对大小。

图2 TE10模式下电磁波立体图

由式（2）可知，TE10模式下电场在仅存在y方向分量，且沿z方向为一正弦波，与图2中红色箭头显示结果相同。由于电磁感应，磁场H与电场E的关系满足式（6），所以当电场沿y轴方向时，磁场H在xz平面内呈涡旋状，且无y方向分量。

点击“动画”按钮，即可观察TE10模式下电磁波在波导管沿z轴正向传播的动态图像，如图3所示。图3（a）中，黄色箭头处为波导内电场分量位于波导入口处的一相位，随着波导内电磁波的传播，该相位沿着z轴方向运动。图3（b）～（d）分别为该相位传播到不同位置时的动画截图。图3（a）～（d）演示了TE10模式下电磁波在波导中的传播过程。由图3还可见，波导内TE10模式电场分量沿z轴方向以一行波方式传播，同时磁场分量伴随着电场按式（6）呈涡旋状运动。

图3 TE10模式下电磁波沿波导管传播的动态图像

（2）电场分布情况。为更清楚地看出电场强度的分布特点，仿真软件还给出了电场强度E的3个分量Ex、Ey、Ez在z=L/2处矩形波导横截面上的分布图和电场强度E在垂直于x、y、z轴的截面上的分布图，如图4、5所示。

图4 电场强度分量在垂直于z轴的截面上的分布图

由图4（a）、（c）可见，电场强度的x和z分量Ex和Ez都为0，y分量Ey不为0，因为对于TE10模，电场强度只有y分量，没有x和z分量。由式（2）可知，Ey的振幅大小是的函数，这可由图4（b）、5（a）可以看出，Ey的振幅大小沿x轴方向呈现出两端弱、中间强的特点，这是因为电场在x方向会形成一驻波，在x=0、a两个波导壁处为波节，中间x=a/2处为波腹。

由式（2）可知，在z轴方向上，电场以简谐波的行波形式传播。图5（b）、（c）绘制了x=a/2、y=b/2截面上沿z轴方向一个完整周期内的电场分布，可见，电场分布与式（2）相吻合。

图5 电场强度在垂直于z、x、y轴的截面上的分布图

（3）磁场分布情况。与电场分量的讨论类似，绘制出磁场强度H的3个分量在z=L/2处矩形波导横截面上的分布和磁场强度H在y=b/2截面上的分布，如图6、7所示。

由式（2）可知，当电场E沿y轴方向时，磁场H在xz平面内呈涡旋状，且无y轴分量，结果与图6（b）、7（b）吻合。

磁场分量Hx和Hz均为驻波。其中，Hx为sin（πx/a）的函数，即x=0、a处为波节，x=a/2处为波腹，由图6（a）、7（a）可见，绘制出的Hx强度与式（2）吻合。而Hz为cos（πx/a）的函数，如图6（c）、7（b）所示，x=0、a处为波腹，x=a/2处为波节，其结果也与式（2）吻合。

图6 磁场强度分量在垂直于z=L/2平面上的分布图

（4）管壁电流分布情况。当电磁波在金属波导管内壁传播时，由于磁场的感应，在波导内壁上会产生感应面电流，即管壁电流。由式（3）可知，管壁电流由磁场产生，其分布取决于传播波形的磁场分布。点击“管壁电流”，即可绘制出如图8所示的矩形波导腔壁的电流分布图。如图7所示，对于x=0处内壁，在z=50 mm附近处磁场方向沿z轴正向，根据式（4），感应面电流方向应为y轴负向，与图8所示结果相同。类似的还可讨论x=0、a管壁上其他位置的电流分布。

图7 磁场分量在y=b/2的平面上的分布图

图8 矩形波导内壁电流分布图

对于y=0、b两个面上的电流，由于这两个面上磁场呈涡旋状分布，由式（3）可知，这两个面上的面电流应与磁场垂直，其分布应呈从涡旋中心向外发散或向涡旋中心会聚状，如图8所示，其中面电流发散或会聚的状态由磁场分布的旋转方向决定。

研究管壁电流的实际意义在于：实际应用中经常在波导上开槽，根据需要有时尽量避免切断管壁电流，有时又要最大限度的切断管壁电流。通过仿真软件，可以从图8中清楚地看出，开槽位置在P1处沿z轴时，可以尽量避免切断管壁电流；开槽位置在P2处沿z轴时，可以最大限度的切断管壁电流。这些结论在仿真软件上可以很直观的看出来。

（5）传播常数γ对传播特性的影响。传播常数γ对研究电磁波传播非常重要，当传播常数γ＞0时，根据式（1），电磁波幅度随传播过程逐步衰减。为模拟该过程，在软件参数输入位置将工作频率设为2 GHz，此时导波频率小于截止频率2.49 GHz，使得传播波波数k大于截止波数kc，因此传播常数γ＞0。点击“计算”按钮，即可计算出此频率下TE10模式电磁波在矩形金属波导管中的传播特性。如图9（a）所示为该模式下电磁场立体图，图中电磁波进入矩形波导管后，电磁波强度逐步衰减，不能在管中传播。图9（b）所示为电场强度分量Ey在x=a/2平面上沿z轴的分布，可以看出Ey幅度不再是一余弦波变化形式，而是沿z轴方向幅度逐步衰减。

图9 传播常数的影响

2.3 TM11模式仿真

类似的方法，可以对横磁模主模TM11模式进行仿真。在参数输入区内，选择计算TM11模式，其他参数不变，再点击“计算截止频率”按钮，界面上显示该模式在此条件下的截止频率为7.90 GHz。根据计算得到的截止频率，设置导波工作频率为9 GHz，点击“计算”按钮，即可计算出此频率下TM11模式电磁波在矩形金属波导管中的传播特性。

如图10 TM11电磁波立体图所示，磁场H没有Hz分量，在xy平面内呈涡旋状分布。通过点击“动画”可以观察到，随着电磁波在波导内传播，磁场在xy平内按顺、逆时针方向来回振荡，电场按式（3）随磁场而变化。

图10 TM11模式电磁波立体图

图11为腔内电磁场在x=a/2和z=L/2平面上的投影图。由图11（a）可见，电场分量Ez在y方向为驻波，由式（5）可知Ez为sin（πx/a）的函数，即x=0、a处为驻波的波节，x=a/2处为波腹。结合图11（a）、（b）可见，磁场分量在x和y方向均为驻波。其中：Hx为sin（πx/a）的函数，即x=0、a处为驻波的波节，x=a/2处为波腹；Hy为cos（πx/a）的函数，x=0、a处为驻波的波腹，x=a/2处为波节。上述结果与式（5）吻合。进一步按照上节中的TE10仿真实验过程中在重要投影面对TM11模式进行研究，可以验证其电场和磁场特性与式（5）理论结果吻合。

图11 电磁场在x=a/2和z=L/2平面上的分布图

3 结 语

以“电磁场与电磁波”课程中的金属矩形波导内容为例，设计和编制了金属矩形波导有限元仿真软件，利用该软件可以用图像和动画的方式展示波导内TE10模式和TM11模式电磁波的主要物理特性。这些清晰、直观的图像和动画有助于学生理解电磁波在金属矩形波导中的传播规律、掌握金属矩形波导的相关理论。这种有限元仿真的方法也可用于该课程内其他内容的教学，有助于加深学生对理论知识的理解，提升学生的学习兴趣。