单元教学理念下“多边形的面积”习题比较研究——以人教版、青岛版、苏教版为例

杨慧娟，吕晓敏，刘文静，尚怡鑫，孙明宇

(青岛大学 师范学院，山东 青岛 266000)

一、 问题提出

在以提升学生核心素养为教学目标的趋势下，单个知识点的教学已经不能满足时代需求，单元教学成为研究的重点。数学单元教学设计是在整体思维指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，通过教学团队的合作，对相关教材内容进行统筹重组和优化，并将优化后的教学内容视为一个相对独立的教学单元，以突出数学内容的主线以及知识间的关联性，在此基础上对教学单元整体进行循环改进的动态教学设计。(1)吕世虎，杨婷，吴振英：《数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤》，《教育与文化》2016年第4期，第41-46页。在数学教材与教学中，由于学科特性，习题是一项重要的内容，其在数学教材中所占篇幅与其他内容相当，有着巩固、补充与延伸、运用新知识，领会数学思想方法，及时反馈，补救及育人等功能。(2)吴立宝：《中澳数学教科书习题比较研究——以人教版和HMZ8年级教科书为例》，《数学教育学报》2013年第2期，第58-61页。从单元教学的角度思考，单元内的习题对于知识之间的链接起着举足轻重的作用，习题的数量、类型、难度、所包含的思想方法等均应体现本单元的内容特征与教学特征。

“多边形的面积”作为小学数学“图形与几何”领域的内容之一，是求规则图形面积的第二个单元(第一个单元是“长方形和正方形的面积”)，对培养学生的几何思维有重要意义，也有利于进一步发展学生的“空间观念”、“应用意识”和“创新意识”(3)王若男：《小学数学教材习题的比较研究——以人民教育出版社与北京师范大学出版社两版多边形的面积为例》，《首都师范大学学报(自然科学版)》2020年第1期，第67-74页。。在“一标多本”的背景下，不同版本教材对“多边形的面积”这一单元教学的设计逻辑与内容结构非常清晰与一致，但是该单元的习题风格、特色却不尽相同。通过比较国内不同版本教材中该单元的习题，能较为直观地看到各版本教材的差异，从而在单元教学的习题设计与使用中更好地认识习题的价值，相互借鉴，取长补短。

二、 研究设计

(一) 研究对象和方法

研究选取的是根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》(4)中华人民共和国教育部主编：《义务教育数学课程标准(2011年版)》，北京师范大学出版社2011年版。全面修订的，并由教育部2013年审定通过的人民教育出版社(人教版)、青岛出版社(青岛版)和江苏凤凰教育出版社(苏教版)出版的小学数学教材。人教版教材普及性广，权威性高；青岛版教材是一套极具地方特色的教材；江苏作为教育大省和教育强省，其教材具有很大参考价值。

具体研究对象是“多边形的面积”单元的习题，分布于人教版五年级上册第六单元、青岛版五年级上册第五单元和苏教版五年级上册第二单元。

习题的数量、类型(呈现方式)、难度以及所包含的思想方法不仅是教材质量的体现、教学效果的有力保障，而且高质量的习题有助于保持学生的学习兴趣，更是单元教学特征的体现。因此本文采用定量研究和定性研究相结合的方法，考虑习题编排特点和呈现方式，在单元教学理念下，对“多边形的面积”单元的习题数量、习题类型、习题难度进行比较，从而得出相应的结论和启发。由于本单元教学内容与习题所涉及思想方法主要为“割补、转化”的思想，较为单一，故在比较中不再涉及。

(二) 研究内容

1. 习题数量

在进行习题数量统计时，首先把本单元的习题分为课堂练习题、课后练习题、章末复习题三部分。然后在统计时以“1、2、3……”的大题数量计数，在数量统计时会发现一道大题有多次提问和一道大题下有多道小题的情况。如图1中1道大题提问了3次，按1道题目数量统计；如图2中1道大题有两道小题，按两道题目数量来统计。(5)吕世虎，孙学敏：《中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究》，《数学教育学报》2010年第6期，第70-73页。另外在章末的部分复习题根据习题涉及的本单元知识点多少划分题目数量。

图1 习题示例1(苏教版教材第11页)

图2 习题示例2(苏教版教材第24页)

2. 习题类型

习题类型主要分为客观题和主观题两类。客观题分为选择题、是非题(判断题)、填空题；主观题分为解答题、证明题、作图题等。(6)吴立宝，王建波，曹一鸣：《初中数学教科书习题国际比较研究》，《课程·教材·教法》2014年第2期，第112-117页。根据所研究的单元内容，这里把习题类型主要分为选择题、判断题、填空题、计算题、解答题、作图题、综合题七类题型，凡包含两种或两种以上类型的题型均归为综合题。

三个版本教材“多边形的面积”单元均没有选择题与判断题，青岛版和人教版中有个别习题属于其他单元的复习题，人教版有1道行程问题，青岛版有1道解方程计算题和1道行程问题，称此类习题为“单元间螺旋式复习题”，为了方便分析，把估算题和螺旋式复习题单独作为一种题目类型进行分析。

3. 习题难度

鲍建生建立的数学综合难度模型被许多学者认可并采用，因此我们在对习题进行难度分析时借鉴此综合难度模型(7)鲍建生：《中英两国初中数学期望课程综合难度的比较》，《全球教育展望》2002年第9期，第48-52页。，从探究、背景、运算、推理、知识含量五个因素进行分析，这五个因素又包含不同水平，具体详见表1。

从低到高把这5个难度因素的不同难度水平进行赋值，依次为1, 2, 3, ……确定每道题目在不同因素上的难度水平后，根据公式计算出每个难度因素的加权平均值。习题综合难度(加权平均)计算公式：

其中，di(i=1, 2, 3, 4, 5)依次分别表示“探究”、“背景”、“运算”、“推理”和“知识含量”五个难度因素上的取值；dij为第i个难度因素的第j个水平的权重(依水平分别取1, 2, 3, ……)；nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n。

三、 研究结果

(一) 习题数量

对人教版、青岛版和苏教版“多边形的面积”的习题总数量统计见表2。

由统计结果可以看出，苏教版的习题数量是最多的，在课堂、课后、章末复习题这三部分习题分布占比上差距较为明显的是课堂练习题和章末复习题的部分。例如，在青岛版的习题数量分布中，课堂练习题数量最少，只有1道题，但章末复习题最多，有24道，可以看出青岛版在习题编排上更加注重提高学生在课后巩固知识的能力。苏教版的课堂练习题数量最多，有13道题，可见苏教版设置的习题更注重学生课堂及时练习与反馈。从总体分布上看，苏教版习题分布比例相较于其余两个版本来说更为均衡。(8)吴侗芯：《人教版、苏教版和沪教版小学数学教材中“长方体和正方体”比较研究》，扬州大学2018年硕士学位论文。这样既能让学生在课堂上及时进行练习反馈，又能在课后巩固提升。

为了进一步分析“多边形的面积”这一单元的习题数量，将本单元的习题按照小节进行了单独数量统计，统计结果见表3。

表3 三个版本教材“多边形面积”的习题数量分布

从表3中首先可以看出，“平行四边形的面积”、“三角形的面积”和“梯形的面积”这三个小节的习题总量较多，分布比例也较为均衡。“组合图形的面积”相比以上三节的习题数量少一些。因此，三个版本教材均比较注重对三种多边形面积公式的掌握，通过练习组合图形面积的习题能够把不同多边形面积公式灵活运用起来。其次，人教版课堂练习题主要集中在三角形和梯形面积上；青岛版仅有1道课堂练习题，在组合图形面积部分；而苏教版课堂练习题数量相较于其他两个版本数量最多，同时题量在各个小节分布比例上也最为均衡。

(二) 习题类型

对三个版本教材“多边形的面积”单元的习题类型数量统计见表4所示。统计结果显示，习题数量占比最大的都是解答题。其中青岛版的计算题占比最高，为18.84%，可见其比另两个版本更加注重引导学生掌握基础知识。苏教版的综合题占比最大，主要是作图题与计算题相结合，重视培养学生动手解决问题的能力。

表4 三个版本教材“多边形面积”的习题类型分布

对于螺旋式复习题，苏教版的数量占比最大，而且这些题目是结合相应小节公式内容设计的乘除法混合运算(见图3)，青岛版教材中螺旋式复习题是三、四章学习的行程问题和简易方程问题。人教版教材中是本册书第三章学习的行程问题。这三个版本教材都意识到复习的重要性，但苏教版的习题在前后单元整合能力上要比人教版、青岛版更灵活。

图3 乘除法混合运算习题(苏教版教材第12页和第18页)

(三) 习题难度

根据鲍建生的综合难度模型对人教版、青岛版、苏教版的习题难度水平进行统计，分别从5个因素及其相应的水平进行统计并计算出相应水平的加权平均，统计结果见表5所示。

1. 探究因素的水平比较

三个版本教材探究因素水平习题占比如图4所示。从图中数据可以看出人教版探究水平的习题数量占比最高，为17.46%，比青岛版和苏教版依次高出7.32%和8.92%，人教版相比其余两个版本更加注重培养学生的探究能力。另外，苏教版识记水平的习题占比最高，为20.73%；探究水平的习题占比最低，为8.54%。苏教版探究因素难度水平的加权平均最低，为1.88(见表5)，与人教版和青岛版依次相差0.1和0.12，苏教版相较于其他两个版本更加注重引导学生掌握基础知识。

图4 三个版本教材探究因素水平上的比较

2. 背景因素的水平比较

通过图5背景因素难度水平的占比可以看到无背景水平差异较大。人教版占比最高，为52.38%；苏教版占比最低，为42.68%，两者相差9.7%。但苏教版的个人生活和公共常识水平占比均高于人教版，依次相差2.29%和6.93%。三个版本教材科学情景的习题都低于10%(9)王丽玲：《小学数学教材“圆的周长”习题比较研究——以人教版、青岛版和苏教版为例》，《中国人民大学复印报刊资料(小学数学教与学)》2020年第4期，第24-27页。，青岛版涉及的科学背景水平习题占比最高，为8.70%，比人教版和苏教版依次高出5.53%和5.04%。其中青岛版相较于其余两个版本能够将科学领域的知识与数学学科教学结合起来。从加权平均方面看(见表5)，苏教版的加权平均最高，为1.89，与人教版和青岛版依次相差0.18和0.06，可见苏教版相较其他两个版本教材更加贴近学生个人生活，注重习题与背景的结合。

图5 三个版本教材背景因素水平上的比较

3. 运算因素的水平比较

结合小学阶段的教材特征以及本章内容的习题结构，将运算因素的四个水平进行调整，分为无运算、简单数值运算(1—2步运算步骤)、复杂数值运算(3步及以上运算步骤)和符号运算四个水平并进行赋值。(10)林琦，韩宝玲，赵晨，李雯：《中美小学数学教材习题的比较研究——以人教版、加州版四年级为例》，《课程教学研究》2018年第9期，第34-39页。

通过图6可以看出，三个版本教材简单数值运算习题在各自运算水平上占比都是最高的，因此三个版本教材较为注重学生基础知识的掌握。其次习题数量占比差距最明显是符号运算这一部分，占比最高是青岛版，为7.25%，人教版为1.59%，而苏教版为0。青岛版和苏教版涉及的符号运算习题一部分是复习前面章节简易方程的简单运算，另一部分是将“简易方程”章节与本章节内容知识的整合。再加上苏教版教材习题有无运算的习题，所以苏教版在基础知识的掌握上相较于其余两个版本教材要求更高。从加权平均方面看(见表5)，青岛版教材习题的加权平均最高，为2.26，比人教版、苏教版依次高0.03，0.17，这也与已有的研究结果相一致，即“可以看出在运算水平比较上青岛版的习题难度水平要比人教版和苏教版习题难度水平高。”(11)王丽玲：《小学数学教材“圆的周长”习题比较研究——以人教版、青岛版和苏教版为例》，第24-27页。

图6 三个版本教材运算因素水平上的比较

4. 推理因素的水平比较

图7显示，推理因素占比差异较明显的是无推理和简单推理部分。其中，苏教版的无推理水平习题占比最高且超过一半，为52.44%，比人教版和青岛版依次高出11.17%和7.51%。但是苏教版简单推理占比最低，为37.80%，比人教版和青岛版依次低6.64%和10.03%。可见苏教版的习题相较于其余两个版本教材更侧重让学生掌握基础知识，学生记住公式定理便可进行推理运算，并不需要进行过于深入的思考。(12)王若男：《小学数学教材习题的比较研究——以人民教育出版社与北京师范大学出版社两版多边形的面积为例》，第67-74页。从加权平均方面看(见表5)，人教版的习题加权平均最高，为1.73，比青岛版和苏教版依次高0.11和0.16。这也能够看出苏教版习题更注重基础性，而人教版习题更注重考察学生的推理和思考能力。

图7 三个版本教材推理因素水平上的比较

5. 知识含量因素的水平比较

从图8中可以看出，知识含量因素差异较为明显的是1个和2个知识点的这两个难度水平。其中苏教版中习题所含知识量为一个的数量占比最大，与人教版和青岛版依次相差4.58%和9.35%。但是苏教版2个知识点的习题数量占比最小，比人教版和青岛版依次低3.84%和14.60%。说明苏教版习题注重学生对于当前所学习知识的练习巩固，而青岛版习题更注重整合两个知识点来解决问题。从加权平均方面看(见表5)，人教版知识含量因素的加权平均最高，与青岛版和苏教版依次相差0.01和0.05。因此，人教版习题在知识点整合方面相较于苏教版和青岛版习题更加灵活，对学生知识的运用和掌握要求更高。

图8 三个版本教材知识含量因素水平上的比较

6. 习题综合难度的比较

将表5计算统计的数据处理后绘制了三个版本教材习题综合难度的雷达模型图，如图9所示。

图9 三个版本教材“多边形的面积”习题难度的统计

表5 三个版本教材“多边形面积”习题难度的统计

由图9可以看出，三个版本教材习题难度水平集中在1.5—2.3的范围内。从总体上看，首先三个版本教材习题“运算因素”的难度水平提高，本单元内容主要是多边形面积的计算，这也是结合本单元课程安排设定的。其次，差距最大的是背景因素，习题背景最丰富的是苏教版，与人教版相差0.18。在对苏教版与沪教版“认识加法”教学比较时发现苏教版的情景引入比较合情合理，学生也较为容易接受。(13)张园：《以“认识加法”教学为例谈小学数学教学——浅谈如何在整合苏、沪两版教材中进行高效合理教学》，《华夏教师》2017年第2期，第76页。可见苏教版相较其他两个版本教材更贴近学生个人生活，注重习题与背景相结合。

从五个难度因素上看，“探究”因素水平最高的是青岛版，为2.00，最低是苏教版，为1.88；“背景”因素水平最高的是苏教版，为1.89，最低是人教版，为1.71；“运算”因素水平最高的是青岛版，为2.26，最低的是人教版，为2.09；“推理”因素水平最高的是人教版，为1.73，最低的是苏教版，为1.57。“知识含量”因素水平最高的是人教版，为1.81，最低的是苏教版，为1.76。

四、 思考与建议

(一) 均衡数量，协调单元内各模块习题比例

在三个版本教材习题总量统计中发现，苏教版的习题数量最多，虽然整体数量相差不大，但是各模块习题的数量并不均衡；青岛版各小节课堂练习与课后练习的数量不均衡。建议教师在教学中可以将部分课后练习拿到课堂中或借鉴其他版本教材的特色来优化习题设计，以此来平衡课堂练习题的数量，并对不同的学生弹性使用课后习题与单元复习题，如缩减单元内的同类题型，增加创新题目等。

(二) 丰富习题类型，关注单元内容特征

从表4数据统计分析中可以知道，三个版本习题类型中解答题的比例占比最高，就“多边形的面积”这一单元来说，作图题数量较少。虽然本单元面积公式的推导是建立在对已有图形的数、剪、拼等操作活动之上，没有将作图作为主要教学内容，但是结合本单元的教学目标、单元内容的基本数学特征(给定图形，面积唯一；反之，给定面积，图形不唯一)以及学生已有的经验，大部分学生在方格纸(点子纸)上作图应该没有问题。所以建议在教学中可以适当增加作图题数量，让作图成为动手操作的一条主线，从而检验学生对面积公式的理解，培养学生的几何直观能力、创新与批判意识，手脑并用地积累数学活动经验。这部分内容也是数学教学中实施美育的良好契机，学生创造美、欣赏美，并意识到数学的多姿多彩，这种不确定性更有利于数学学习兴趣的保持、发展学生的数学思维品质，为以后的学习奠定坚实的基础。

(三) 增强单元练习递进性，重视学习进阶一体化评价

本单元的内容编排以“平行四边形的面积→三角形的面积→梯形的面积→组合图形的面积”为序进行相关学习。每一节的内容并不是独立设置，都是在前一节内容的基础上进行下一步学习，如“三角形面积=平行四边形的面积÷2”。因此教师在教学中可以选择通过进阶式、环环相扣的教学活动，引导学生运用“数方格”、“割补法”等不同方法对面积公式进行推导和应用，建立已知与未知之间的联系，提升单元整合建构能力，建构新的知识体系，为后续学习打下基础。在习题练习中遵循学生已有认知水平，根据不同水平的学生设置不同层次的习题。在教学评价中重视学习进阶一体化评价，可以让学生通过解决诸如关联结构层次、抽象拓展层次的问题，训练思维，向高阶思维迈进。

(四) 注重习题的二次开发，培养学生创新意识

从国内外关于数学学业成就评价试题编制的研究成果中可知，如果将学生的认知维度划分为“获得事实、应用规则、推理证明、拓展思维”四个层次，那么四个层次的试题数量之比为“2∶4∶3∶1”是比较合适的。(14)梅松竹，朱文芳，冷平：《数学学业成就评价试题编制研究》，《课程·教材·教法》2013年第3期，第76-80页，第91页。本研究从探究因素水平数据统计中发现，三个版本教材都较为注重引导学生理解所学知识，单元内探究水平的习题数量占比相对较少(也因为本研究中教材的“探究”显然是比试题中的“拓展思维”难度要低)。课标中提出“图形与几何”单元知识的学习应注重对学生空间观念、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识等方面的培养，所以在教学时教师可以在充分考虑学情的基础上根据单元教学的整合性，引导学生在完成练习题的过程中探究单元内知识之间的关系。在教学中通过带领学生深入研究习题，更好地发挥习题“温故知新”的价值，即利用习题将单元内容串联起来。在单元复习时，教师可以整合单元内容，改编或进一步挖掘教材习题，从而帮助学生从教材习题中累积相关的数学活动经验，提高学生对单元内容的整体认识。如本单元可以让学生认识到三种规则图形面积公式的本质一致性，从而提升学生的创造性思维能力与创新意识。

(五) 丰富习题背景，提升单元中的数学文化

从背景因素水平数据统计中可以看出，三个版本教材习题无背景习题占比较多，尤其人教版占比超过50%，青岛版和苏教版都超过40%，且三个版本教材科学背景习题都是10%以下。丰富的习题背景不仅帮助学生了解数学文化，而且可以拓展学生的视野并获得其他学科经验。因此，编排习题时在照顾到贴近学生生活经验的背景材料的基础上，可以适当丰富其他背景材料，例如设置蜂巢、雪花、化学晶体结构形状等为背景的习题，在激发学生学习兴趣的同时渗透多学科教学，让学生认识到数学应用的广泛性。另外可以多角度渗透数学文化，如《九章算术》的第一章就论述了平面图形面积的算法，所以可以在介绍了《九章算术》中的“方田章”之后，单元内每一小节的习题编排或教师教学中都从《九章算术》选取合适的题目，以进一步巩固加深学生对中国古代数学成就的理解，培养学生重视与敬畏中国古代数学成就的情感。