HPM视角下复数的教学

陈碧如

摘要：复数是为了解决数学本身的问题而引入的。本文对复数教学进行了研究，阐明了复数的历史发展过程以及复数的几何意义，针对当今学生学习复数的情况，给出了教学上的意见。

关键词：复数;历史;应用;教学

很长一段时间以来，似乎数学教育的目的仅仅是弘扬科学精神，而人文教育则很少被提及，从而导致数学与其他学科特别是人文学科的过度分离，导致数学教育过程中人文精神的进一步丧失。针对这个问题，教育部进行了新一轮的课程改革。新课程的改革主旨就是提高学生的数学素养和整体素质，在《普通高中数学课程标准》的课程理念中要求了体现数学的文化价值，提出“数学是人类文化的重要组成部分”。

复数的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月，具有深刻的历史意义，而我们在平时的教学中总是忽略。复数是在人们解方程时引入的。从意大利数学家卡丹1545年写下复数平方根那一刻起，到1831年德国数学家提出了完备的复数几何解释，人类认识复数经历了漫长的300年。这300年的历史包括了虚数的引入，复数的几何解释和复数的应用。虚数在很长的一段时间内都笼罩在一层神秘的面纱之下，后来因为复数被广泛地应用到各个领域，人们才慢慢地开始接受它。随着复变函数理论的日渐发展和壮大，复数不仅在数学学科内，还在其他领域，比如力学、电学、航海航空等方面扮演着重要角色，正因为如此，人们对复数的认识也从此进入了一个新的境界。

从复数发展的历史来看，我们发现人类在认知复数的过程中曾经产生了困惑。由此可见，数学家在研究复数的进程中遇到的问题也可能是学生在学习复数的过程中的难点。前车之鉴，后事之师，根据历史上数学家冲破认识障碍的这个过程，可以指导如今的教学设计和课堂活动。

（一）、复数教学中应注意的问题

如今复数是中学内容和高等数学紧密联系的重要内容，也是高考考查的重点之一。因为复数具有多样的表示形式，灵活地计算方法，以及具有融合代数、三角函数、几何为一体的特点，使学生在应用复数解决问题时感到了较大的难度。因此，复数的教学应该如何抓住重点，突破难点是一个重要的问题。结合实际，我认为，妥善处理好以下几个问题至关重要。

1、复数与实数的关系

因为复数是由实数扩充来的，它与实数既紧密联系又有区别。在教学中，教师往往因为在介绍复数与实数的联系和区别上不到位导致学生在解题时总是出现知识性的错误。因此老师在教学中除了讲授好复数与实数的基础知识以外，还应该补充一些针对性的问题给学生多加练习，以利于加深学生对复数与实数的联系与区别的认知。

2、复数表示的多样性和运算的合理性的关系

复数表示形式的多样性决定了它既有代数运算又有三角函数的计算，因此，复数的运算在复数的教学过程中应该被加以足够的重视。实践证明：采用实践—类比—归纳总结的教学方式效果最好。比如，复数代数式的加减与合并同类项进行类比，代数式的除法与分母有理化进行类比等等。在此基础上，引导学生注意运算的合理性以及灵活性，努力做到避繁就简。

3、复数中数形结合的思想

任何一个复数，它的表示形式无论是代数式还是三角式，都有鲜明的特点和意义。因此在明确了其意义的前提之下，将复数问题代数化，通常可以得到化繁为简，事半功倍的效果。

（二）、复数的教学

为了更好的做好教学设计，我查阅了相关的文献。研究表明，已经学过复数的学生中，百分之六十的学生对这个定义产生过疑惑，历史上人们刚开始接受复数的时候也存在着同样的疑惑，这一点验证了历史理论的相似性。百分之八十的学生对的来历不甚了解，即使学了复数还有百分之六十的学生认為虚数是虚幻的，是不存在的，百分之七十七的学生认为虚数没有用途，将近一半的学生认为虚数这个概念是复数整章中最难的部分。而百分之二十八的学生对于书本中利用方程引入虚数单位这种做法表示不能接受甚至是非常不能接受，仅只有百分之三十八的学生对此表示没意见。以上这些数据表明，学生在复数的学习过程中确实存在了一些问题，对于复数的概念的存在性都不甚了解，对于书本中的引入方式也不是很能接受。从上述数据可以看出目前学生学习复数的情况：对于复数本身的相关概念知之甚少，例如虚数单位怎么来的？复数有什么用途？这种刻板的学习方式并没有达到学习数学的真正目的—数学学于生活并应用于生活。因此我们为了达到更好的教学效果需要尝试改变复数的教学方式。

同时，研究表明，学生学习新概念的最直接的动机是来自于这个概念的用途，有用的知识学生才愿意去学。对于一个新的概念，百分之七十二的学生希望了解它的历史背景，百分之四十五的学生希望最先知道新概念的来源，百分之三十五的学生希望最先了解新概念的用途，只有百分之二十的学生希望直接介绍新概念的内容。据调查，最受学生喜欢的概念的介绍的顺序是来源——内容——用途，理由是：符合逻辑顺序，从了解到应用。

1、虚数的引入

这部分的内容教材安排在3.3.1节“数系的扩充和复数的概念”，为第一课时，作为新课的引入部分。

在教材中，引入虚数是为了解决方程x2+1=0在实数域中无解这个问题。假设i为方程x2+1=0的根，那么i2=-1。再把这个i添加到实数集中，就构成了一个新的数集。在这个数集中，方程x2+1=0是有解的，x=i。这种引入似乎是一种很好的引入虚数的方式，但是，有的学生就会问，初中里老师说x2+1=0是没有实根的，那么现在为什么又要引入这个i作为这个方程的根呢？

其实在历史上，引入虚数i并不是为了解决二次方程根的问题，而是为了解决三次方程的根的问题。先是有卡丹等人发现三次方程的解中有负数平方根的存在，再到后来的邦贝利和莱布尼兹等人对负数平方根的思考以及理解，才引入这个数。那么，遵循历史来给学生引入虚数是不是能更加符合学生的认知呢？因此，根据虚数的历史，我做了以下教学设计，以供参考。

“虚数的引入”教学设计

回顾我们之前学过知识，可以看到，数系的每一次扩充都是为了更好地解决问题。自然数中我们为了解决减法运算我们引入了负数;整数中为了解决除法运算我们引入了分数;有理数中，我们为了解决开方运算引入了无理数。那么，在实数范围内，是不是也存在着我们解决不了的问题呢？

我们知道二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为。同样的，对于三次方程x3+bx+c=0也有求根公式，。但是当用这个求根公式解三次方程x3-15x-4=0是遇到了困难。一方面，带入公式我们得到。我们知道，在实数范围内，负数是没有平方根的，所以这个根不存在。但是，另一方面，对方程进行因式分解我们可以得到（x-4）（x2+4x+1）=0，显然这个方程有三个实数根。

那么怎么解释这两种求解的结果不一样呢？问题的关键在与是否有意义。为了解决这个问题，我们只能承认负数在某一个数系里面能开平方根，规定为虚数单位，这样问题就得到了解决。

2、复数的几何意义

这部分的内容是教材3.1.2节，是第二课时。教材中的做法是直接给出的复数的两种几何意义：（1）a+bi与复平面上的点（a，b）一一对应;（2）a+bi与平面向量OZ一一对应。这种方式虽然简单，但是没有让学生体验这两种几何表示的形成过程，没能展现虚数的直观形象。

我们知道历史上，引入虚数是为了满足人们解方程的需要。但是虚数毕竟是想象出来的数，是抽象的，人们找不到它的原型，所以一直对它持有怀疑的态度，复数也一直笼罩着一层神秘的面纱。这种情况一直持续了200年。在这期间为了证明这个虚数的存在，人们一直试图寻找一些能够直观表达虚数的方式，韦塞尔、阿尔冈就是其中的代表人物。在他们工作的基础上，才创立了如今的复平面。因此，了解复平面的由来能帮助我们更好地理解复平面。此外，让学生经历这样一个探索复数几何意义的过程能让学生将虚数化抽象为具体。

3、复数的应用

复数的应用这部分内容被安排在学生学完复数之后，是为了消除学生脑中虚数是“虚幻”的这个错误的观念而安排的。教师可以在课堂上做简单的介紹，或者让学生自主学习。

复数通过复数的几何意义可以直观地展现在人们面前，这证实了虚数的存在性。但是虚数的广泛及其奇妙的用途才是被人们接受的真正理由。复数在无论上理论上还是实际生活中都起到了重要的作用。同样地，对于学生，只有让他们知道复数的实用性，才能让他们真正的认识复数，接受复数。数学是源于生活并且服务于生活的。作为一名老师，应该使学生树立正确的数学观。因此，学完复数之后，让学生了解复数的奇妙的用途很有必要。

参考文献

[1]郭龙先，胡晓飞. 虚数神秘性的破解 [J]. 昭通师范高等专科学校学报，2012，34（5）：24-29.

[2]赵瑶瑶. 复数的历史与教学 [D]. 上海：华东师范大学，2007.

[3]M.克莱因.古今数学思想第4册 [M].上海：上海科技出版社，1981，1-376.

[4]刘玉琏，付沛仁. 数学分析讲义 [M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，1995，1-500.

[5]堀埸芳数. 虚数i的奥秘 [M]. 科学出版社，2000，1-224.

[6]翟连靖.复数教学中应处理好的几个问题[J].曲靖师专学报，1998（17）：36-39.