《全称量词与存在量词》教学设计

李智钢

一、内容和内容解析

1.内容

“全称量词与存在量词”作为人教A版普通高中教课书数学必修第一册，第一章 集合与常用逻辑用语1.5节，可以自成一个单元组织教学。本单元内容可分2课时完成：第1课时，全称量词和存在量词;第2课时，全称量词命题与存在量词命题的否定。也可以先把“两种量词及含有其中一种量词的命题的否定”一气呵成地学完，再进行练习等深化理解。本文为第1课时“1.5.1全称量词与存在量词”的教学设计。

2.内容解析

命题是可以判断真假的陈述句。数学中，一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题。是如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语成为量词。

大量而丰富的数学实例中可以发现有两类短语可以起到限定变量范围的作用：“所有的”“对任意一个”这类短语叫做全称量词，用符号“ ”表示。“存在一个”“至少有一个” 这类短语叫做存在量词，用符号“ ”表示。含有全称量词的命题叫做全称量词命题。全称量词命题“对 任意一个 ， 成立”，可用符号简记为“ ”。含有存在量的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在 任意一个 ， 成立”可用符号简记为“ ”。这样就得到了含有一个量词的两种命题的符号表示。

熟悉了全称量词命题和存在量詞命题的形式，并能够判断其真假，这样就使命题形式更加丰富，能够更精准和更高效地表达数学问题和结论，使数学表达和交流更具严谨性和准确性。

另外引入了新的数学符号“ ”“ ”，以及特定命题的数学符号表示： ; .鼓励学生多使用符号语言，对数学内容进行表达，体会其简洁、准确的特点.从而培养学生能够准确地运用符号语言表达数学内容的良好习惯。

基于以上分析，确定本课时的教学重点：全称量词和存在量词的意义、全称量词命题及存在量词命题真假的判断方法。

二、教学问题诊断分析

学生初中学习过一些含有全称量词和存在量词的命题，例如“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”， 等，通过本节课可以将其归纳并用确定的符号表示出来。生学习的难点在于判断一个命题是否为含有量词的命题，所以在教学过程中需要注意帮助学生提炼语句中的量词，并更多地把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题形式的语句。于在之前的学习过程中学习过的数学定理、规律、公式基本上都是对所有变量都成立的命题，所以学生理解全称量词命题并判断真假并不困难，相对而言，存在量词命题是对部分变量甚至是唯一变量成立的，不常以结论形式出现，在学生之前的学习过程中出现得相对较少，学生掌握起来稍有难度，学生对命题中不同的存在量词的识别上以及对存在量词命题的真假性判断中都有可能出现理解的障碍，所以在存在量词命题的教学中可以更多的举例分析，帮助学生找到量词，并锻炼学生将自然语言语句向逻辑语言语句转化的能力。在性问题是一类重要的数学问题，通过本节中对存在量词命题的学习和研究，学生能够更好的理解和掌握存在性问题的处理方法。

本节课的教学难点是判断全称量词命题和存在量词命题的真假。

三、教学过程设计

1.5.1  全称量词与存在量词

（一）概念的引入

问题1：阅读教科书第26页“思考”，关于思考中的4个语句哪些是命题？说明理由？

师生活动：学生判断（1）～（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问。

追问：含有变量的语句一定是命题吗？（1）（2）不是命题的原因？（3）（4）是命题的原因？

师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流。

设计意图：通过师生对话交流，复习初中所学命题的概念。学生初步认识到在数学中，含有变量的陈述句不一定都能够判断真假，从而不一定都是命题。题中的变量是否具备明确的限定范围是决定其是否能成为命题的关键。

（二）概念的形成

问题2：在教科书第26页“思考”中的4个语句，比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

师生活动：学生判断（1）～（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问。

追问：（1）比较（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？

（2）比较（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？

师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流。

教师引导学生梳理讨论交流的结果，语句（1）（2）中含有变量 ，由于不知道变量 代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题。句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 进行限定;语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题。

（三）概念的深化

问题3：你能再举出几个全称量词命题的例子吗？通过这些例子能否写出全称量词命题的一般形式？

师生活动：学生独立思考，举例，讨论交流。

教师选取学生的举例板书，引导学生梳理、完善讨论交流的结果，并运用符号语言简洁、准确地表达出全称量词命题的一般形式。

设计意图：教师引导学生通过多举一些数学例子加深对全称量词命题的认识，通过引入符号表述全称量词命题，使学生体会到用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性。

（四）概念的巩固应用

（五）存在量词及存在量词命题概念的形成、深化及应用

问题5：阅读教科书第27页“思考”，关于思考中的4个语句，哪些是命题？为什么？

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，常见的全称量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等，含有存在量词的命题叫做存在量词命题。

问题6：你能再举出几个存在量词命题的例子吗？通过这些例子能否写出存在量词命题的一般形式？

问题7：请同学们思考：对给定的存在量词命题，如何判断它的真假呢？

五、目标检测设计

教材p35复习参考题1，复习巩固6。

设计意图：考查学生是否会判断全称量词命题、存在量词命题的真假。