影响折射率梯度各因素的研究

时威 李萍 杨成晓 张震 胡旭东 谢瑜 刘慧

摘要：为了探究各种因素对折射率梯度的影响，以2020年全国大学生物理学术竞赛（CUPT）“甜蜜的海市蜃楼”这一题目为基础，研究温度、观察角度和介质对折射率梯度的影响。结合费马原理以及光学拉格朗日方程得到大气内的光线传导的轨迹规律;改变溶液的浓度、温度等进行多种实验，用Origin软件对实验数据进行分析，探究了影响海市蜃楼现象的各种因素。研究结果表明：处于扩散层内的光线出现弯曲现象，并在该扩散层发生全发射形成倒立像以及发生折射形成正立像。

关键词：海市蜃楼;折射率梯度;光线传播

在安静的湖面、沙漠地带以及海面等地方，在特定情况下，眼前可能会出现高耸着的亭台楼阁、城市古堡以及其他现象，此类虚幻形式的奇异景观，如同处于仙界，此即为典型的海市蜃楼景观[1]。这是在一定条件下发生的自然现象，比较少见，一般很难观察到。其实这一现象为典型的大气光学现象，光线基于各个密度的空气层等影响之后出现折射，结合地形环境等多方面要素呈现出上现蜃景、下现蜃景和复杂蜃景等。上现蜃景主要表示光线在不同密度的空气层中出现折射以及全发射等情况，使得构成的虚像处在实物上层[2];与此相反的则是下现蜃景[3]。

近年来，人们对海市蜃楼现象在实验室进行了模拟，并从理论上探究了产生海市蜃楼的原因。例如，于凤军对海市蜃楼发生时能够返回地面的光线的初始角度进行探讨，从理论上初步解释了海市蜃楼现象[4];房若宇对海市蜃楼现象进行了理论模拟;黄思俞等人研究了海市蜃楼形成的理论分析与实验模拟，有效制备出折射率和高度保持均匀梯度发展的盐水溶液，分析指出实物景致的清晰可靠的上现蜃现象[5];尹学爱对海市蜃楼演示装置进行了改进，可以快速、直观地得到需要的结果，同时实验成功率也较高[6]。

虽然人们在理论和实验上得到了一定的结果，但是关于折射率梯度还有许多问题值得研究。2020年全国大学生物理学术竞赛（CUPT）中一道“甜蜜的海市蜃楼”题目：法塔莫干纳是一种特殊形式的海市蜃楼的名字，而使用激光照射具有折射率梯度的流体时，也会产生类似的效果，请研究这一现象。本文以这道海市蜃楼题目为基础，并考虑有关因素，来深入研究影响折射率梯度的各种因素。其中，本文中的实验是利用了浓度连续变化的蔗糖溶液来模拟连续变化的空气，并且在实验中实现了上现蜃景。见图1。

1    理论模型

我们用蔗糖配置具有折射率梯度的溶液。在玻璃容器中倒入清水，并在其中玻璃容器内放入较大量的冰糖，静置数小时以上，待大部分冰糖溶解即完成配液。糖水溶液的密度随着浓度升高而逐步降低，对光的折射率则会逐步降低，继而形成具有一定折射率梯度的溶液层，如果光线等经过某层溶液时，则随即出现偏转。根据文献[2]，假定一束自然光a产生的光线按照i角度入射，自折射率为n的位置进入溶液层，结合折射定律分析出：

n·sini=n1·sin·i1              （1）

n1·sin·i1=n2·sinr             （2）

不难发现，如若i、n是定值情况下，因为n1>n2得到r>i，故而自下端液体至上端液体的入射角持续增加，如果增加到临界角的情况下，随即出现全反射。如果人眼于a位置背着光Ab'观测，即可发现基于全反射形成的倒立的影像。

利用人工配置的折射率连续变化的介质，模拟光于非均匀介质内传播过程中，能够获得光线弯曲情况和模拟大自然中转瞬即逝的海市蜃楼现象。

1.1 根据费马原理推导大气中光线传播的轨迹方程

根据文献[5]，如图2所示，当光线自空间内的具体点P经过路径C到达Q点，则所通过的空间折射率分布为n（x，y，z）情况下，经过路程元ds的光程为：

（3）

结合费马原理，光线沿着光程是极值的路径传播，所以有

（4）

假设大气折射率仅为高度z的函数，根据几何关系运算整理得光线在大气中传输的轨迹微分方程为：

（5）

其中K为常数。假定折射率基于高度变化表现为指数形式：n=n0e-αz，其中n0为底层的空气折射参量，α为正系数，则

（6）

分离变量并整理得光线在大气中传输的轨迹方程：

（7）

这之中α，n0，K，c分别选定合理的参量，该方程即为往上凸起的抛物线。

1.2 利用光学拉格朗日方程推导大气中光线传播的轨迹方程

结合相关文献[5]，假定空气折射率和高度之间的关系n=n0e-αz，综合光学拉格朗日方程，获得光线方程：

（8）

在近轴情况下ds≈dx，光线方程变为：

（9）

因为对称性，只要求探讨光线于XOZ平面中的传导，解（9）式可得：

（10）

此式为一元二次方程，因为α为正的，故<0，所以光線的轨迹为一系列往上凸的抛物线。

2    实验分析

2.1 “海市蜃楼”影响因素的探究

先在玻璃容器里注入清水，用激光笔射入，观察光路，可以发现激光通过清水的光路是一条直线。接着我们在装有清水的玻璃容器里放入冰糖，静置一段时间，冰糖溶液形成具有折射率梯度的液体。用激光笔射入，观察光路，可发现糖溶液中由于存在折射层，光路是弯曲的，见图3。

保持溶液温度不变，改变溶液（糖溶液）的浓度，观察光路偏离角度（与水平方向夹角），见表1。保持溶液浓度不变，改变溶液（糖溶液）的温度，观察光路偏离角度（与水平方向夹角），见表2。用表中的数据作图，可得到图4和图5。

由图4可知，浓度越大，偏转角度越大，折射现象越明显;由图5可知，温度越大，偏转角度越大，折射现象越明显。

2.2 “海市蜃楼”现象的观察

图6  光路的轨迹

用激光从一侧斜下方照射具有折射率梯度的溶液，发现光路朝上凸形成一条抛物线。建立如图6所示的坐标系XOZ，O、A两点为抛物线与X轴的两交点，B为抛物线的顶点，C为顶点的横坐标，即OA中点。实验中测量出：OA=12 cm，BC=1 cm。将O、A、B 3点坐标分别代入（10）式中得：

解出：

所以有：

（11）

此式即為抛物线的轨迹方程。

然后，将带箭头的红纸条贴在玻璃容器一侧，在另一侧观察，见图7。首先，保持溶液的浓度为60%，改变溶液的温度，观察其产生的蜃景。发现温度越高，产生的蜃景越清晰（见图8）。其次，保持溶液的温度为20°，改变溶液的浓度，观察其产生的蜃景，发现浓度越大，产生的蜃景越清晰（见图9）。然后，我们从不同的位置来观察，可以发现若人在较远（高）处，逆着弯曲的反射光线看去，可看到正立的图像，如果人员处于较近位置，逆着光线来看，则能够发现倒立的虚像。

3    结论

本文用理论模型和实验分析研究了各种因素对折射率梯度的影响。结果表明：“海市蜃楼”成因与温度、观察角度、介质有关，这一现象主要基于光的折射导致的。观察的视角差异导致出现成像差异，观察的现象为倒立状态或是正立形式，也只是和观察所处的点位不同有关。如果所处位置较高，逆着光路光差，则能够发现基于折射形成的正立虚像;如果处在较低的位置，逆着光路进行观察，则可以发现经全反射形成的倒立形式的虚像。

参考文献

[1] 王长波，王章野，周麒，等.海市蜃楼现象的真实感绘制[J].计算机学报，2006，29（12）：2079-2085.

[2] 房若宇.海市蜃楼现象的模拟与研究[J].大学物理实验，2016，29（4）：46-48.

[3] 王忠纯.线性变折射率模型解释海市蜃楼[J].大学物理，2001，20（9）：24-27.

[4] 于凤军.海市蜃楼发生时能够返回地面之光线的初始角探讨[J].大学物理，2017，36（7）：12-13.

[5] 黄思俞，许艳秋，王宗箎，等.海市蜃楼形成的理论分析与实验模拟再现[J].物理实验，2019，39（6）：23-26.

[6] 尹学爱.海市蜃楼演示装置的改进[J].物理实验，2014，34（5）：24-25.