大空间运动3-RRRU并联机器人运动学标定与误差分析

赵 磊 闫照方 栾倩倩 赵新华1, 李 彬1,

(1.天津理工大学天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室， 天津 300384；2.机电工程国家级实验教学示范中心(天津理工大学)， 天津 300384；3.天津理工大学机械工程学院， 天津 300384； 4.天津市金桥焊材集团股份有限公司， 天津 300384)

0 引言

串联机器人具有工作空间大、结构简单和成本低等特点，最早被应用于工业生产[1]。但由于仅拥有一条控制链，存在明显的误差积累效应，且连杆机构各构件的惯性负荷与原动构件转速的平方成正比，高速下多个关节的弹性变形以及内部惯性力的耦合作用越加明显，使得其高速与高精度之间的矛盾更为明显，故该类机器人工作速度相对较低[2]。目前，农业果园采摘的产业自动化加速了机器人在该领域的推广和应用，其工作精度一般在毫米级。

相比串联机器人，并联机器人具有高速、高负载和高刚度等优势，近年来被广泛应用到工业生产中。但由于存在多条支链和大量的关节，导致该类机器人误差标定难度很大。目前，对于多支链并联机器人误差标定方法的研究相对较少，主要原因是该类机器人的支链和关节数量较多，运动学模型很复杂，且难以获取含有大量被动关节的转角信息。现阶段成熟的单步标定方法无法实现该类并联机器人的误差标定工作[3]。此外，由于安装过程中存在不同程度的关节间隙和晃动，其不确定性难以将大量被动副的转角误差进行精确量化并引入误差模型，致使该类大空间并联机器人的工作精度不高[4-6]。

对于拥有多关节的并联机器人，实现高精度误差补偿，需要高精密传感器来获取大量被动关节的转角信息，安装复杂且标定成本极高[7-8]。因此，寻求一种自动化程度高、易操作和较高精度的误差标定方法成为工程上亟待解决的问题[9]。

工作空间是衡量机器人性能的重要指标之一。早期连杆式平面四杆、五杆和六杆并联机器人具有良好的运动速度，但工作空间狭小仅能实现平面二维空间的运动。经典的Stewart并联机构以其特有的高刚度和高载荷等特点被应用到工业中，但适用于工作空间较小的场合。3-RRRU并联机器人是一种具有多支链、三维平动机构，各支链结构相同且由多个连杆和运动副组成，支链长度较大使其终端可达静平台以外的空间，相比经典的平面并联机器人和Stewart平台，具有明显的大空间特性。

本文针对3-RRRU并联机器人的运动学标定和误差补偿等问题进行研究，对比分析两种不同轨迹标定方式下机器人补偿前后的控制精度，并通过实验验证标定方法的有效性和可行性。

1 机器人运动学坐标系建立

图1为本文所研究的3-RRRU并联机器人，由静平台、动平台和3条支链构成。

图2为图1的结构示意图，静平台固定在支架最上方，3条支链对应的驱动关节(驱动副)均固定于静平台上，动平台则位于下方。3条支链结构相同，靠近静平台的关节为驱动副，其余为被动副。

Aij代表第i(i=1,2,3)条支链的第j(j=1,2,…,5)个关节，以第1支链为例，驱动关节A11轴线平行于被动关节A12，同时平行于静平台所在平面，垂直于转动关节A13轴线，虎克铰A14(A15)与动平台连接，动、静平台均为等边三角形，其外接圆半径分别为r和R。

第1支链运动学坐标系如图3所示，机器人的基坐标系ORXRYRZR建立在静平台的几何中心，ORZR垂直于静平台，θij为第i条支链上的第j个关节的转动角，动平台坐标系Ox′y′z′位于动平台几何中心，Lij代表第i条支链中第j个连杆长度，虎克铰由两个轴线相互垂直的转动关节A14和A15组成,L14为虎克铰中A14与A15之间的连杆长度，L15为关节A15与动平台之间的连杆长度。

2 并联机器人运动学解耦与误差建模

2.1 运动学建模

为了实现3-RRRU并联机器人的自动化控制，应用DH法建立机器人的运动学模型，第i条支链第j个关节到第j+1关节间的齐次变换矩阵Tij,i(j+1)可表示为

(1)

式中θij、αij——绕zij和xij轴旋转角

Lij、dij——沿zij和xij轴平移的距离

其中cθij表示cosθij，sθij表示sinθij，cαij表示cosαij，sαij表示sinαij。

故并联机器人第1支链闭环运动学方程表示为

T=T1RT11T12T13T14T15

(2)

其中

式中Px、Py、Pz——机器人动平台几何中M坐标

第1支链闭环运动学方程中对应的DH矩阵参数如表1所示。

表1 第1支链DH矩阵参数Tab.1 DH matrix parameters of the first branch chain

对式(2)作如下变换

(3)

将DH矩阵参数代入式(3)可得

(4)

由式(4)矩阵方程左右相等，并联机器人关节角θ13的转动范围为[-π/2,π/2]，则有cosθ13≥0，求解计算方程组可得

(5)

将式(5)代入式(4)并求解方程组，可求得

(6)

其中K16=4L11Pz

同理，完成其他两条支链转角的求解，实现运动学解耦计算，详细计算过程详见文献[10]，不做过多赘述。

工业串联机器人的关节数量较少，且关节均为驱动副，实际转角可由内部传感器直接读取，因此，单步标定的误差补偿精度高[11]。3-RRRU并联机器人存在大量的被动关节，单步标定并不适合，寻求一种自动化程度高、快速有效的误差标定方法成为并联机器人机构学领域的研究焦点[12]。因此，合理建立运动学模型并完成解耦是实现误差标定的前提和基础[10，13-14]。由于关节间隙和晃动等因素具有不确定性和随机性，难以精确量化。为了测试所提出方法的有效性和可行性，故忽略上述误差因素。

为建立机器人的误差模型，本文从支链构型出发，应用空间矢量法构建闭环方程。以第1支链为例，如图4所示该支链的闭环方程可表示为

lA11A12+lA12A13+lA13A15=lORP+lPA15-lORA11

(7)

其中

由式(7)可得第1支链的闭环方程，同理，也可获得其余两条支链方程，进而得到机器人的运动学模型为

(8)

具体推导过程详见文献[10]。

2.2 机器人误差建模

具有大范围平动3-RRRU并联机器人的结构参数见表2。基于偏微分原理，将对应结构参量的误差项表示为Δθi1、ΔLi1以及ΔLi2以及ΔLi3(i=1,2,3)以及ΔR和Δr，共14项误差。

表2 结构参数Tab.2 Structure parameters mm

各误差项定义为

θi1——第i条支链驱动角理论值

Δθi1——对应驱动角误差

(9)

式中 ΔLi1、ΔLi2、ΔLi3——每条支链上驱动杆件以及两个被动杆件存在的加工误差

由于连杆加工在同一机床完成，故其余两支链上的连杆加工误差相同，则有ΔL11=ΔL21=ΔL31,ΔL12=ΔL22=ΔL32和ΔL13=ΔL23=ΔL33。

(10)

式中Re、re——静、动平台外接圆半径实际值

ΔR、Δr——静、动平台外接圆半径误差

(11)

式(11)为目标函数，通过获取机器人终端实际空间数据，应用数值算法开展寻优计算，目标函数补偿后在允许误差范围内停止寻优。

3 误差标定

3-RRRU并联机器人常用于工业生产线中产品的分拣和搬运工作，如图5所示。

对于工业生产线上，分拣和搬运机器人的工作精度要求不高，将货物放置在指定位置，适合于精度要求不高的场合。基于实际应用工况，生产线要求搬运机器人的工作误差为3 mm±1 mm，故设定3-RRRU并联机器人的允许误差为2 mm。

3.1 遗传算子优化

选取不依赖初值的遗传算法开展寻优计算[15-16]。适应度函数根据目标函数来检测群体中的每个个体，判断其是否能够达到最优解程度[17-18]。由于遗传算法整体搜索不依赖于梯度信息，常用于非线性系统的优化计算和机器人动态最优路径的规划[19-23]。

(1)交叉概率

以步距为0.1进行搜索，并通过Matlab遗传算法工具箱输出窗口可获取交叉概率Pc与适应度Fv测试结果和分布曲线，如表3和图6所示，故本文交叉概率选取0.8。

表3 交叉概率与适应度值Tab.3 Crossover probability and fitness value

(2)迁移概率

基于上述原理，迁移概率Pm与适应度Fv的测试结果和分布关系如表4和图7所示，当迁移概率Pm为0.7时获得适应度Fv为0.511 2。因此，迁移概率取0.7。

表4 迁移概率与适应度值Tab.4 Migration probability and fitness value

本文采用归一化实数制编码，初始种群尺度为30，遗传算子中交叉概率Pc=0.8，迁移概率Pm=0.7，适应度比例和选择算子分别选取线性转换和随机均匀分布方式。

3.2 直线轨迹标定

跟踪靶标固定在机器人动平台(图8)，匀速阶段速度为80 mm/s，加速度为40 mm/s2，采用梯形控制策略，理论起点为(-800 mm,0 mm,600 mm)，终点为(-300 mm,0 mm,600 mm)，每条直线等间距方式采集26个点，借助激光跟踪仪获取对应空间位置信息，共进行7组直线轨迹跟踪实验。第1组直线轨迹位于机器人工作空间中心区域的xoz平面上，第2组和第3组轨迹最靠近第1组轨迹，第6组和第7组靠近边界区域，应用Matlab遗传工具箱，采用上述遗传算子值和目标函数，对14项运动学误差进行寻优计算，结果如表5所示。

表5 直线轨迹标定结果Tab.5 Calibration result of straight-line track

应用表5结果进行直线轨迹误差补偿，第1组实验轨迹采样点补偿前后分布和误差曲线如图9所示。图9表明，由于并联机器人存在大量关节和连杆机构，导致运动过程中其最大误差高达8.356 mm，补偿前最小误差为4.232 mm，此时机器人连续轨迹跟踪性能较低；此外，补偿前位置误差曲线存在多个明显的尖峰误差，侧面反映了机器人轨迹跟踪时并不平稳。

通过以上7组实验数据证明：补偿后机器人的位置误差有效控制在0.14～1.34 mm，达到了预期控制要求。从图10a发现，第2、3组即位于机器人工作空间的中心区域，其补偿前、后的精度优于其他4组；由图10b看出，第6组和第7组轨迹误差明显高于其余5组，其最大误差高达9.36 mm，出现在第6组直线轨迹即靠近边界区域，说明该类结构的并联机器人在工作空间的中心区域具有较高的精度。

3.3 曲线轨迹标定

3-RRRU机器人是一种平动并联机构，通常搬运轨迹主要以直线轨迹为主。然而，在某些工作环境下需机器人完成部分的曲线轨迹运动，本文同时开展了曲线轨迹标定实验。预设曲线轨迹为螺旋线如图11a所示，共设置40个采样点，基于同样标定原理，完成曲线轨迹标定实验；此外，应用直线轨迹标定结果对该曲线路径进行误差补偿，则两种不同轨迹标定方式下在x、y、z方向的误差补偿曲线如图11b～11d所示，标定结果如表6所示。

表6 曲线轨迹误差标定结果Tab.6 Error calibration result of curve track

实验结果表明：直线标定方式对曲线轨迹误差补偿的效果较差，补偿后在x方向的位置误差分布在-5.03～4.78 mm；在z方向误差最小，其最大绝对值误差小于3 mm；而曲线标定方式的补偿效果明显优于直线标定补偿，在3个方向的位置误差均分布在-1.63～1.52 mm，满足控制要求。可见，直线标定并不适用于机器人曲线路径的误差补偿。

对比表5和表6可知，直线标定不涉及曲线加减速和插值计算，动平台因间隙产生的微小晃动不明显，故表5中驱动角误差相对较小，动平台半径加工误差仅为0.886 5 mm；然而，曲线轨迹运动中存在大量的小距离插补计算，更真实反映出驱动角存在的实际误差。因此，驱动角误差标定结果相差很大。此外，两种标定方式下所得到的连杆加工误差几乎一致，说明对线性误差标定效果良好。另动平台误差标定结果相差较大的主要原因是各支链均通过一个虎克铰与动平台连接，虎克铰中两个转动副存在间隙耦合效应，当进行曲线加减速运动时，由于惯性导致动平台产生的间隙晃动严重，故该误差项包含了虎克铰的间隙因素，故动平台半径加工误差为1.675 2 mm。

为验证曲线标定结果的有效性和通用性，对第2～7组直线轨迹进行误差补偿，6组直线轨迹的整体误差控制在0.08～1.12 mm，优于直线标定补偿后的0.14～1.34 mm，如图12所示。

由图12可知，拥有对称支链结构的并联机器人在中心区域附近即第1～3组直线轨迹的精度较好，边界区域明显较差。

4 结论

(1)拥有对称支链结构的3-RRRU并联机器人在工作空间的中心区域具有较好的工作精度，边界区域精度低。

(2)该标定方法仅需1台激光跟踪仪即可实现对拥有大量关节并联机器人的误差自动化标定工作，为结构更为复杂的并联机器人误差标定工作提供了重要的理论基础，解决了目前单步标定方法存在的效率低、操作繁琐和标定成本高的难题。

(3)直线轨迹标定方式仅适用于直线路径的误差补偿，存在一定局限性；而曲线标定可实现直线和曲线轨迹的误差补偿，通用性强，对直线轨迹补偿后的误差控制在0.08～1.12 mm，优于直线标定补偿后的0.14～1.34 mm。

(4)由于忽略了关节间隙和晃动等因素，虽然补偿精度相对较低，但可广泛用于工业生产线的分拣和搬运工作，充分利用并联机器人的高速和高负载特性，大幅提高生产效率。