基于改进马尔可夫模型的深基坑沉降预测研究

摘  要：针对传统马尔可夫模型存在随机扰动和可靠性比较低的缺点，该文建立了基于改进马尔可夫模型。该模型先用无偏灰色模型拟合系统的总体变化趋势，然后对拟合残差进行马尔可夫状态划分，进而对转移矩阵利用权重进行加权处理，最后得到加权后的马尔可夫模型，利用此模型对基坑沉降进行预测研究。将该模型用于深基坑沉降预测工程实例，实例结果表明：基于改进马尔可夫模型解决了深基坑沉降预测的随机扰动，同时也增加了预测模型的可靠性，有效提高了深基坑中、长期预测的稳定性。

关键词：灰色模型   无偏灰色   改进马尔可夫   状态区间   深基坑沉降预测

中图分类号：T73                             文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）08（c）-0034-04

Study on Settlement Prediction of Deep Foundation Pit Based on Improved Markov Model

LYU Xianmeng

（Fuzhou Investigation and Surveying Institute， Fuzhou， Fujian Province， 350100  China）

Abstract： Aiming at the shortcomings of traditional Markov Model， such as random disturbance and low reliability， an improved Markov Model is established in this paper. Firstly， the unbiased grey model is used to fit the overall change trend of the system， and then the fitting residual is divided into Markov states. According to the weight of each order， the transfer matrix of different steps is weighted， and the weighted Markov Model is used to predict. The model is applied to the engineering example of deep foundation pit settlement prediction. The results show that the Improved Markov Model solves the random disturbance of deep foundation pit settlement prediction， increases the reliability of prediction model， and effectively improves the stability of medium and long-term prediction of deep foundation pit.

Key Words： Grey model; Unbiased grey; Improved Markov Model; State interval; Settlement prediction of deep foundation pit

隨着城市建设进度的日益加快，深基坑沉降预测对确保工程的顺利进行尤为重要。深基坑的沉降预测传统的方法有灰色系统理论[1]、小波分析法[2]、神经网络法[3]和时间序列法[4]等。马尔可夫链适用于处理随机波动较大的序列[5]，灰色模型可以拟合系统的整体发展趋势[6]。灰色马尔可夫模型取两者优点，提高了沉降预测的精度，并在深基坑沉降预测中具有很好的效果。但此方法的缺点是随着时间的推移，老数据的新息意义将逐步降低，未来的一些抗干扰因素将不断地侵入系统并产生影响，模型的精度会降低，不利于中、长期深基坑沉降预测。该文采用基于改进马尔可夫预测模型是在马尔可夫模型上进行的模型改进，利用无偏灰色模型建模步骤简单、模型计算速度快等特点，用无偏灰色模型预测基坑时间序列的总体变化趋势，消除传统灰色模型对指数序列建模中的固有偏差。为进一步提高深基坑沉降预测的预测精度，对转移矩阵加权处理，用改进后的马尔可夫模型进行预测。

1  基于改进的马尔可夫预测模型

1.1 建立加权马尔可夫模型

计算各阶权重wk和自相关系数rw。

为了正确反映各阶（各种步长）对马尔可夫链预测值的影响权重，权值大小采用灰拟合精度指标Y（k）的各阶自相关系数来反映，即

（1）

对各阶自相关系数作归一化处理，得到各阶权重：

（2）

对不同步长的转移矩阵按所求取的权重大小进行加权处理，进而求得到新的概率分布，具体如下：

（3）

由式（2）可求取在状态空间E中的所有状态的概率值，由这些状态的概率值进一步形成新的概率分布P={pi│i∈E}。

1.2 预测值的计算求取

系统未来状态的转向Ei由pi中最大的概率值来确定，进一步求取预测值的变动区间[E1i，E2i]，由预测值的变动区间的中点值即为预测值，具体如下：

（4）

2  实例验证分析

案例选自某地基坑监测工程“Z70”监测点观测值。将监测点观测数据的前28期为样本，进行模型构建，进行预测，并将预测值与后4期数据进行对比，验证该文提出的改进马尔可夫模型在深基坑沉降预测研究中的有效性。

基坑沉降具有先快后慢的特点，即在刚开始的一段时间内基坑沉降的速度比较快，但随着时间的推移，基坑沉降速度会逐渐变缓。结合该基坑的实际情况，对需要建模的前28期的基坑沉降数据，利用平均缓冲算子进行预处理：

（5）

由上式计算可得：

根据无偏预测模型定义，求，可知：A=15.95312083894797，E= 0.01578644418077761。代入式（7）可知无偏灰色预测模型为：

（8）

根据无偏灰色拟合残差来划分为划分3种状态区间，具体情况见表1。选取相对误差阈值分别为0.90、0.95、1.03和1.08，可得：

状态1：E11=0.90×E21=0.95×

状态2：E12=0.95×E22=1.03×

状态3：E13=1.03×E23=1.08×

根据相对误差的阈值可得到系统的状态一次转移次数统计表，具体见表2。

由表2得一步状态转移概率矩阵：

（9）

利用切普曼-科尔莫哥方程，计算求取得2阶状态转移概率矩阵和3阶状态转移概率矩阵分别为：

（11）

由式（1）求取各階自相关系数分别为：r1=0.86，r2=0.70，r3=0.53。

由式（2）进行归一化处理，求取各阶权重分别为：w1=0.41，w2=0.34，w3=0.26。则整个深基坑沉降预测的过程参数见表3。

对表3中各状态转移概率进行加权求和，得到需求量的各状态概率：p1=0.74，p2=0.23，p3=0.0146。故max（p1，p2，p3）=p1=0.74，分别利用无偏灰色预测模型和改进马尔可夫预测模型依次求取第29期、30期、31期和第32期的改进马尔可夫预测值。将29～32期的实测值与灰色预测值和改进马尔可夫基坑沉降预测值进行比较，相对误差具体见表4。

3  结语

该文在传统的深基坑沉降预测模型的理论基础上，提出基于改进马尔可夫预测模型，消除传统灰色模型对指数序列建模中的固有偏差。将此方法应用到深基坑沉降预测中取得了比较满意的结果，结论如下。

（1）灰色预测模型自身最大的特点就是可以通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测，这种特点使得灰色模型广泛的应用于基坑沉降预测中来。但是灰色系统自身存在的一些缺点制约了其更深层次的运用，会导致预测模型的稳定性不足和预测结果精度降低。

（2）该文通过利用改进马尔可夫预测模型进行深基坑沉降预测实例验证，通过结果进行对比分析可知，改进马尔可夫预测模型可以提高深基坑沉降预测的精度。

（3）通过选取相对误差进行对比分析，可以看出改进马尔可夫模型预测精度明显高于传统灰色模型和无偏灰色模型，在长时间、多周期的基坑沉降预测中是一种实用且有效的方法。

参考文献

[1] 彭广民.基于对数、正弦变换优化的灰色模型预测基坑沉降[J].测绘技术装备，2021，23（1）：28-31.

[2] 靳祠.基坑变形监测预测模型的建立与运用[D].成都：成都理工大学，2016.

[3] 谷彦斐.基于GA-PSO组合优化BP神经网络模型的基坑变形预测研究[D].青岛：山东科技大学，2020.

[4] 徐爽，孙阳，肖敬宇，等.一种监测基坑变形的灰色时序组合模型研究[J].测绘与空间地理信息，2019，42（11）：228-232.

[5] ZHAO R.Forecast of US Retirement Assets Using Unbiased Grey-Fuzzy-Markov Chain Method[C]//2015 4th International Conference on Computer Science and Network Technology （ICCSNT）.IEEE，2015，1：568-573.

[6] YANG Y，ZENG J，WANG J，et al.Prediction of Chinese Financial Total Loan Amount via Unbiased Grey-Fuzzy-Markov Chain Method[C]//2015 8th International Symposium on Computational Intelligence and Design （ISCID）.IEEE，2015，2：388-391.

作者简介：吕贤锰（1986—），男，本科，中级工程师，研究方向为城市工程测量。