“吉他弦上驻波实验”授课重点与难点剖析

尚 军，王新元

(河南师范大学 物理学国家级实验教学示范中心，河南 新乡 453007)

驻波是振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加而产生的合成波[1]，是大学物理波动学中较为重要的一个知识点，大学物理实验课程中主要使用“弦线上驻波实验”“吉他弦上驻波实验”两种实验仪。“弦线上驻波实验”中电动音叉振动不是严格的直线振动，容易出现立体驻波现象[2]，产生较大的实验误差。而“吉他弦上驻波实验”实验装置如下图1所示，利用电磁学原理使在竖直磁场中的通电钢质弦在水平面中振动起来，减少了立体驻波对实验的影响更显其优越性，在教学实践过程中，同学们能够感受到音乐与驻波的联系，激发学生学习的兴趣,该实验仪受到广泛欢迎。

图1 吉他弦上驻波实验装置示意图

在第六届全国大学生物理实验竞赛讲课比赛中，笔者团队讲解了吉他弦上驻波实验，引起了海选评委及决赛答辩评委的兴趣，荣获一等奖。当前对该实验仪授课内容的相关文献报道较少，笔者结合自身授课体会，对“吉他弦上驻波实验”的重难点展开解读。

本文以教学目标为指引，对“吉他弦上驻波实验”的授课重难点展开剖析，把握该实验的内在逻辑和备课重心，加深对弦振动以及驻波的理解；培养学生从理论出发联系实际解决问题的能力。

1 教学目标

2010年版最新版《理工科类大学物理实验课程教学基本要求》呼吁广大教师在以下两点帮助学生。第一,培养学生具备基础的实验知识和技能,掌握物理实验的基本原理以及基本方法,形成科学的物理实验思维。第二,通过现代化的实验教学来提升大学生的科学素养,形成独立思考、独立判断的能力。因此实验课程的设计须具备严密的逻辑，能逐步引领学生深入到实验本质，使得学生清晰地理解掌握实验原理与实验方法，并能将其有效地运用于实践当中；同时要给予学生启发，提升他们的创造性和实践能力，增强学生自身的综合素质。

根据以上课程目标的解读，为“吉他弦上的驻波实验”制定了如下三个教学目标：

(1)观察弦振动形成驻波时的波形，使学生了解弦在空气中振动的传播规律；

(2)通过测量驻波波长，测定弦线的线密度ρ及横波速度v；

(3)通过实验课程培养学生数据分析的能力，传递勇于探索的精神。

2 授课重点剖析

根据制定的教学目标，“吉他弦上驻波实验”的落脚点应该定位于驻波，“驻波的形成”是该实验原理讲授的重点之一；其次，该实验的重点在于“吉他弦上驻波”，那么“弦是如何振动的”理应是我们关注的第二个重点；本实验的两个物理量ρ、v的推导过程也要重点把握；回归到实验的根本，须关注实验的操作流程以及注意事项。

2.1 驻波

“驻波的形成”主要围绕以下四个问题展开，“什么是驻波”“驻波是怎么样形成的”“驻波与行波有什么样的区别与联系”“吉他弦上驻波的产生需要满足什么条件”。从问题出发，环环相扣讲解出驻波理论。

首先第一个问题“什么是驻波”，驻波本质上就是一种特殊的干涉现象，要解释这个问题可以从两列波的叠加入手。图2(a)和图2(b)为不同时刻行波的叠加情况。图(a)显示入射波与反射波干涉相长的情形，图(b)为二者干涉相消的情形，其余时刻驻波的振幅则处于两种情形之间。若采用动画的形式展现上述过程效果更佳，可以加深学生对驻波的直观印象。接着引出驻波形成的条件，即振幅相同、振动频率相同、振动方向一致、相位差恒定以及传播方向相反的两列波进行叠加，由此形成驻波的基本物理图像。

图2 驻波形成示意图

为了对驻波的形成有一个本质的认识，还需要对驻波的形成过程进行定量分析。如果用Y1与Y2分别表示入射波与反射波，那么驻波的表达式就可以通过数学计算得出，如图3所示。

图3 行波叠加形成驻波的表达式

2.2 弦振动

吉他弦振动是琴弦上产生驻波现象的先决条件，因此探讨“弦是如何振动起来的”是“吉他弦上驻波实验”这节课的重点之一。

如何巧妙地讲解“弦振动”问题需根据具体学情进行调整，此阶段学生已掌握左手定则，讲述弦的振动只需点出吉他弦所受的磁场方向、弦中电流的情况，即可引导学生得琴弦所受安培力的情况。具体受力示意图如图4，这里注意强调安培力是“平行于水平面”。由受力引出弦振动规律的同时联系驻波理论，点出弦振动与驻波的关系，将学生所掌握的知识串联起来。

图4 磁场中通电吉他弦受力示意图

2.3 实验原理

前面讲解了很多关于驻波的知识，下面我们针对理论知识的第二个层面——公式推导进一步分析。在本实验中实验内容主要是利用控制变量法，分别在频率一定以及张力一定时测定弦线的线密度ρ和横波传播的速度v。那么本实验公式推导的目标就是要导出间接测量量ρ和v与直接测量驻波段数n、频率f、弦线长L以及弦上张力大小T之间的关系式，具体推导过程如图5。由吉他弦上驻波形成的条件知，驻波的波长为

(1)

波长频率以及波速的普遍关系为

ν=fλ

(2)

将(1)式带入(2)式，则弦线上横波传播的速度为

(3)

根据波动理论[5]，弦线上横波传播的速度为

(4)

由(3)(4)两式，知弦线的线密度

(5)

线密度是吉他弦自身固有属性，须提醒学生线密度不是由T、f、n、L物理量决定的。

图5 横波传播速度v与线密度ρ公式推导

2.4 实验注意事项

明确实验注意事项可以让学生的实验达到事半功倍的效果，启发学生关注影响实验结果的因素。“吉他弦上的驻波实验”的实验表面上看似容易，实则暗藏玄机。实验中需要注意：弦线要始终与导轨保持平行，否则测量出来的L并非真实弦长；改变挂在弦线一端的砝码后，要等砝码稳定后再测量；而且磁钢不能处于波节下的位置。这三方面常有同学忽略，造成较大的实验误差。

3 授课难点剖析

3.1 数据分析

数据分析需要用到不少的数学知识，这对学生来说是有些难度的，作为教师应该适时地帮助同学们回顾有关误差分析的知识[6]。通过分析，可以得到影响实验结果的误差主要有：

(1)由L的读数产生的偶然误差。

(2)由仪器本身精度不够而造成的系统误差。

(3)由于理论推导过程中把弦线看作是一个理想化模型，认为吉他弦上各点所受张力大小相同而引起的系统误差。

(4)由分析方法导致的计算误差。本实验中存在四个直接测量量驻波段数n、张力T、频率f、弦线长L，其中L的读数存在误差。确定ρ和v的误差需根据间接测量量相对误差的公式[7]，因此存在计算误差。如果采用直线拟合的方法求线密度ρ，则不存在此误差。

3.2 课程完整性设计

除去课堂的基本知识外，还应注重课程完整性的设计。课程整体的设计应做到有头有尾、前后呼应，帮助学生形成整个课程的知识体系，提升个体认知能力。

图6 解释美妙音乐的产生

关于音乐与声波、驻波还有一些联系，如“音阶”“拍频”的出现，均可加入课程设计当中，提升学生理论联系实际的能力，让课堂更加活跃有趣。

3.3 课程思政与科学前沿

教育的根本任务是“立德树人”，因此教师应深度挖掘实验，设计不同的课程模块来加强学生们的爱国主义以及创新精神；积极促进同学们之间的合作，增强学生们的集体荣誉感。这部分的内容安排虽然给教师备课增加了挑战，但是给学生们提供了积极提升自我的机会。

授课者可以加跟踪物理学前沿，灵活地将其运用到课程设计当中。例如在“吉他弦上的驻波”这一实验中从弦与谐波入手，讲述关于弦理论的内容。结合Kinney William H等人2019年发表在《Physical Review Letters》上关于永恒膨胀与精细的德西特泽猜想的研究[9]对弦理论进行深入地讨论，该研究表明如果上述两个猜想成立，那么一个永恒膨胀的多元宇宙，将存在于弦景观中，而不是位于德西特泽沼泽当中，这将对弦理论的构建产生重大影响。最后，以诗人李白的诗“何当凌云霄，直上数千尺”来激励学生树立远大的志向去勇敢地深入弦理论的研究,为物理学为国家不断奋斗。

为了进一步提升学生的科学素养，本实验课程设计的最后，可参考IYPT2021第34届国际青年物理学家竞赛11题，加入相关的合作探究竞赛题，题目具体内容是：“使用电磁铁对钢吉他弦施加周期性的力，探究吉他弦在其共振频率附近的运动。”该题目与吉他弦上的驻波实验类似，又有超越本文实验的独特之处。它能很好地培养学生们的创新意识、协作精神以及动手实践能力，非常适合作为课后扩展提升题目。

4 总 结

“吉他弦上驻波实验”着重点在于对驻波原理、弦振动以及实验原理的深入讲解，同时实验的误差分析以及课程思政是这一节的难点，需要教师在备课时收集足够多的资料做好准备，才能充分调动学生自主发展的积极性，提升学生的自主创新能力。实践是检验真理的唯一标准，愿此文能为各位老师同学们提供切实可行的教学帮助。