环轨起重机主臂拓扑优化与算法改进

高顺德 徐振东 徐金帅 李 鑫 滕人鹏

1大连理工大学机械工程学院 大连 116024 2大连理工大学装备结构分析国家重点实验室 大连 116024 3大连船舶重工集团有限公司 大连 116083

0 引言

环轨起重机主臂是环轨起重机最重要承载结构，其结构形式对力学性能起着至关重要的作用，结构设计的合理与否直接关乎环轨起重机的起吊性能。目前，国内环轨起重机产品鲜见，国外环轨起重机的主臂均采用A字形结构[1]，如图1所示。

图1 环轨起重机主臂结构形式

不同的结构形式对于环轨起重机主臂的质量、刚度等参数影响很大。传统的设计方法由于在设计初始时不能将这些参数作为驱动参数，往往不能设计出最合理的受力结构形式。拓扑优化从材料本身的性质出发，将材料的物理参数映射到优化模型中，通过求解优化模型得出最优解，从而得到最优结构形式，是一种更合理的结构设计方法[2]。

当前，起重机臂架拓扑优化设计的方法主要为基结构法[3]。虽然该方法更适合用于臂架拓扑优化，但基结构法也有诸多缺点[4]：基点位置是人为选定且不连续的，故不能保证是最优解；每2个基点之间都需要连接，问题的规模却会随基点数量的增加呈指数上升态势。

随着优化理论的发展，越来越多的学者将连续体拓扑优化应用于结构设计中。陈涛等[5]将拓扑优化应用于汽车电池外结构设计中，使强度在极端条件下得到提升；张庭玮等[6]将拓扑优化应用于热传导件设计中，在提高散热效率的情况下减小了散热肋片的质量；周奇才等[7]采用分层优化的思想，对2 500 t环轨起重机主臂进行了优化设计，实现了减重的目的。

然而，将连续体拓扑优化应用于环轨起重机主臂的研究却很少，本文以柔度为目标函数、体积分数为约束的连续体拓扑优化[8]为切入点，研究了环轨起重机主臂系统的刚度最优设计问题，得出了人字形加平行臂的最大刚度结构形式；针对该方法在计算大型三维问题的计算速度慢的问题[9]，本文提出了一种修正移动限法对原算法进行修正，算例结果显示该方法能够有效地减少迭代次数，提升计算效率。

1 连续体拓扑优化的概述与分析

1.1 插值模型与过滤方法

本文研究的问题基于SIMP插值模型[10]，SIMP法是将单元的密度参数利用惩罚函数映射到刚度矩阵中，通过迭代准则改变单元的密度从而影响刚度阵，实现材料的删减，从而实现拓扑优化。

拓扑优化由于存在棋盘格和网格依赖性问题，需要采用一定的过滤技术。常用的有柔度敏度卷积过滤和二重敏度过滤[11]，二重敏度过滤是在柔度敏度过滤的基础上加入对密度梯度的过滤，这一方法对解决网格依赖性具有很好的效果。

环轨起重机主臂受力形式可简化为臂头部分受到重物重力和拉索的拉力作用，臂架底部受到底部支撑的约束。本文所研究模型的设计域和约束均一致，在图2所示坐标系中，左下2个单元的4个被标注点进行全约束，用以模拟起重机臂架底部的支撑；右上角的中心点处加载-x、-y的单位力，用以模拟起重机臂头受到重物的重力和拉杆的拉力。

图2 结构设计域的约束形式

1.2 算例验证与问题分析

算例参数设置：网格规模为40×40×20，体积分数为0.1，过滤半径为2，惩罚因子为3，移动限为0.2。由于不同的计算机整体计算时间不同，而迭代次数不变，故以迭代次数作为计算速度的依据。算例1使用密度和柔度敏度的二重过滤方法，算例2使用柔度敏度过滤方法。迭代曲线如图3和图4所示。

图3 算例1迭代曲线

图4 算例2迭代曲线

由图3、图4可知，当采用二重敏度过滤方法时，迭代出现震荡现象，最终结果不收敛；采用柔度敏度过滤时，迭代至103步收敛。相较之下，柔度敏度法过滤的迭代曲线较平稳，对计算是有利的。

由算例可知在三维大规模问题计算中，不同的敏度过滤法对收敛性影响很大。本文研究重点不在敏度过滤方法，而是在后续分析中均采用柔度敏度过滤法。

2 计算模型的修正

SIMP插值模型在计算大规模问题时，由于计算机数值计算的问题，迭代计算过程中很可能出现刚度阵奇异现象，导致计算失败。因此，考虑对原模型进行修正，以防出现矩阵奇异现象。

2.1 改进的SIMP法

SIMP插值模型可表示为

在迭代过程中，当单元设计变量趋于0时，会因计算机的误差导致组装总刚度阵时出现奇异现象。为了防止这种现象出现，采用Sigmund提出的修正SIMP模型[12]，即

式中：Emin为设定空单元的弹性模量，取E0＝1 000Emin。

与原方法相比，此方法设定了弹性模量的下限，避免了刚度阵的奇异，提升了程序的稳定性。

2.2 改进的卷积过滤法

原卷积过滤方法可表示为

式中：Hf为卷积算子。

当设计变量xe趋近于0时，修正的敏度值将趋于无穷大，故对其进行修正的表达式为

式中：γ为一个较小的正值（10-3），可有效防止除以0现象的发生。

2.3 修正模型的验算

综上所述，对图1所示模型进行拓扑优化，计算可得图5所示对应约束条件下使刚度最大的环轨起重机主臂结构形式。从拓扑优化得到的结构形式来看，在最大刚度要求下，人字形加平行主臂结构形式更为合理。

图5 环轨起重机主臂的最大刚度结构形式

3 迭代准则法的改进

在单约束情况下，使用基于K-T条件的准则法[12]是计算优化模型最快的方法。基于K-T条件的更新准则表示为

式中：λ为拉格朗日乘子；m为移动限；η为阻尼函数，取0.5。

3.1 移动限对计算速度影响的分析

准则法以K-T条件为基础，为防止设计变量变化过快，引入了移动限m。在利用K-T条件求解优化问题时，问题的收敛性与迭代点位置有关，而移动限m是直接影响迭代点位置的重要参数，故其取值对收敛性影响较大。准则法中的移动限m是由二维算例经验设定的值，但三维问题的参数的影响程度与二维不相同。

算例3：移动限m取0.1，其余设计参数和算例2均一致。计算得模型柔度值为7.52，迭代收敛曲线及结构拓扑如图6、图7所示。

图6 算例3的迭代收敛曲线

图7 算例3的拓扑构型

由图6可知，当移动限取0.1时，迭代至72步时收敛且收敛过程较为稳定，未出现震荡现象。与图4对比可知，移动限取0.1时迭代过程更稳定，且收敛速度更快。进一步对比两模型拓扑（见图5、图7）发现，2次计算得到的拓扑形状无区别。

3.2 参数关系验证

体积分数f也是影响迭代速度的参数之一，在通常情况下，体积分数f越大则迭代次数越少。在根据实际需求设置体积分数f后，确定移动限m的数值是加快迭代速度不可忽视的一步，尤其当模型体积分数f较小时，移动限m对计算速度的影响更加显著。

为探究移动限m与体积分数f取不同值时对计算速度的影响，进行如下验证：当体积分数f取0.1～0.3时，以移动限m为横坐标，迭代次数为纵坐标；横坐标取值范围为0.02～0.2，间隔0.02采样迭代次数，得出移动限m关于迭代次数的曲线。再按曲线的变化趋势，以体积分数f取0.2为分界点，可将11条曲线分为2组。其中体积分数f取值范围为0.1～0.18时m-f曲线如图8所示；体积分数f取值范围为0.2～0.3时m-f曲线如图9所示。

由图8、图9可知，当体积分数f＜0.2时，迭代次数随移动限m增加先减小后增加，且随体积分数f的增大，这种趋势逐渐放缓，曲线逐渐演变为单调递减的趋势；当移动限m取值范围为0.04～0.08时，迭代次数最少。当体积分数f＞0.2时，迭代次数随移动限m增加单调递减，移动限m越大则迭代次数越少，且在移动限m＞0.2时，迭代次数趋于稳定。

图8 m-f迭代次数曲线（f取0.1～0.18）

图9 m-f迭代次数曲线（f取0.2～0.3）

本文研究臂架系统的拓扑优化，体积分数f取值较小，故对其取值0.1～0.2、m取值0.01～0.1时进行细化研究。其中，采样区间0.005，记录迭代次数，迭代曲线如图10所示。图10的趋势与图8基本一致，当体积分数f变化范围为0～0.2时，迭代次数总是在移动限m取值0.05～0.06时最少。

图10 细化的m-f迭代次数曲线

3.3 修正的移动限法

由前述分析可知，参数移动限m、体积分数f与收敛性密切相关。考虑移动限m与体积分数f的关系变化趋势，采用Sigmoid函数拟合二者的关系，通过对Sigmoid函数进行线性变换后再修正，得出移动限m与体积分数f之间关系的表达式为

式中：f为体积分数；Lu、Lb为移动限m的上下基准，Lu＝0.2，Lb＝0.05；α为Sigmoid曲线转折时变化的剧烈程度，取200；b为曲线映射突变的转折点，根据以上分析，取0.18；β为控制系数，取0.01。可得图11所示移动限m与体积分数f的关系。

图11 m-f关系函数曲线图

3.4 算例验证

算例4采用修正的移动限法进行计算分析，设计参数除移动限外与算例2均相同。计算得迭代曲线和拓扑形状如图12、图13所示。

图12 算例4的迭代曲线

图13 算例4的拓扑构型

由以上算例分析结果可知，在采用修正的移动限法后，柔度值为7.52，迭代步数在48步收敛，速度提升了1倍，且相较于算例2的方法（迭代103步），该迭代过程更平稳。对比图7、图13可知，2个模型拓扑基本一致。通过以上算法的优化计算，所得结构形式均为A字形加平行臂的形式，验证了本文提出的修正移动限的正确性。

4 总结

本文以SIMP拓扑优化方法研究了环轨起重机主臂的优化问题，通过对大量计算数据的分析发现了移动限m、体积分数f和收敛性之间存在联系，并针对三者间的关系提出了移动修正限法。该方法针对体积分数f取值范围为0.1～0.3时m-f曲线趋势突变的现象，采用修正的Sigmoid函数对移动限m的数值进行拟合，实现了在不同体积分数f情况下取得最适合移动限m的目的。该方法增强了SIMP法的稳定性和计算速度，对于解决小体积分数f时的大规模三维拓扑优化问题具有较好效果，能显著加快其计算速度和收敛稳定性。为了使环轨起重机主臂结构形式更合理提供了依据。