基于Harris Hawks优化算法的介质波导滤波器优化设计

舒佩文 麦健业 褚庆昕

（华南理工大学，广州 510640）

引 言

随着5G移动通信时代的到来，移动通信系统对微波滤波器提出了通带内损耗更低、带外抑制更高、尺寸更小的苛刻需求[1].针对此需求，文献[2]基于广义切比雪夫多项式提出了交叉耦合滤波器，通过引入非相邻谐振器的交叉耦合，在通带外产生传输零点，进而提升滤波器的选择性；且在相同滤波特性需求下，交叉耦合滤波器的谐振器数目比传统滤波器少，故其插入损耗更低、尺寸更小，因而广泛应用于移动通信基站天线系统.然而，目前基站天线滤波器大多采用金属腔体[3]，无法满足5G基站天线的小型化要求.使用高介电常数材料填充的介质波导滤波器可以有效减少滤波器的体积，并且更容易系统集成，因此成为5G移动通信基站天线的主流选择[4].介质波导滤波器主要依据耦合矩阵理论进行设计[5-6]，由于模型误差，利用该理论设计的滤波器通常不能直接满足技术指标，还需进行反复调试，即进行滤波器的优化设计.由于引入额外的耦合路径，相比传统滤波器，优化设计更为复杂[7].因此，如何高效地对交叉耦合介质波导滤波器进行优化设计十分重要.

群智能(swarm intelligence, SI)优化算法是一种新型的优化范式，通过模拟自然界中生物的行为来解决优化问题[8].SI优化算法包含许多著名的智能算法，例如粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)算法[9]、差分进化(differential evolution, DE)算法[10]、花粉算法(flower pollination algorithm, FPA)[11]和灰狼优化器(grey wolf optimizer, GWO)[12]等.相比梯度类优化算法[13]，SI优化算法稳定性强且无需梯度信息，已广泛应用于微波器件与天线的优化设计[14-20].文献[17]给出了一种改进的自适应型DE算法实现滤波器及其双工器的耦合矩阵综合，并与PSO和DE算法进行比较，验证了改进型DE算法的卓越性能.文献[18]将高斯回归模型与DE算法相结合，提出一种混合算法以加快模型的优化速度.通过与DE算法、序贯二次规划和Nelder-Mead方法的比较，验证了该算法的优越性.文献[19]提出了一种多目标DE算法，实现多层介质滤波器和开口谐振环滤波器的优化设计，取得了优于已有算法的结果.文献[20]将自适应DE (self-adaptive DE, SADE)[21]用于滤波器、天线与天线阵列等的优化设计，取得了满意的结果.

Harris Hawks优 化(Harris Hawks optimization，HHO) 算法是近年提出的一种新型SI优化算法[22].与PSO类似，该算法同样是一种随机的全局优化算法.不同的是，HHO算法将优化流程划分为两个子阶段——探索、开发阶段，并引入控制参数，在两种模式间自适应地进行切换，从而提升了优化效率及精度.相比PSO等单策略型SI优化算法，HHO算法采用混合策略进行迭代优化，其性能更好.在标准函数测试下，HHO算法收敛效果优于著名的PSO、DE等算法[22].但是，目前缺乏该算法的应用研究及完整的收敛分析.

本文对基于HHO算法的介质波导滤波器的优化设计进行了探究.首先对HHO算法的基本流程进行介绍，基于该算法提出一种通用的优化框架.然后将收敛分析转化为Lyapunov稳定性问题，导出期望意义下HHO算法的确定型迭代方程，并利用HHO算法优化设计了两款介质波导滤波器，同时进行了加工测试，实测与仿真结果吻合良好.最后将HHO算法与另外三种SI型算法(SADE，FPA和GWO)进行了比较.结果表明，HHO算法具有收敛速率快且优化效果好的优点.

1 HHO算法的优化框架

HHO算法受鸟类捕食行为的启发，模拟鸟类捕猎时的合作行为，通过n个潜在解的相互协作，逐步逼近全局最优解[22].

当算法处于第一阶段探索阶段时，各潜在解的更新策略为

式中：xk+1为 粒子在执行迭代之后的位置；xk为粒子在第k次迭代的位置为从种群中随机抽取的某粒子；为当前阶段搜索到的最优解；r1、r2、r3、r4和q为服从 [0,1)区 间内的随机数；lb和ub分别为搜索空间的下、上界；为当前种群的平均位置，其计算方式为

能量参数e可自适应地实现不同阶段间的转换.该参数随迭代次数的变化为

式中：k为当前迭代次数；K为预设最大迭代次数；e0为初始能量.对大多数约束优化问题，依据文献[13]建议，e0=2rand−1是 较合理的初始设置，rand为 [0,1)区 间内的随机数.HHO算法规定当 |e|≥1时，执行探索阶段；否则，执行开发阶段.

第二阶段开发阶段的目的在于提升当前最优解的精度.主要有四种提升策略：软围攻(soft-besiege,SB)、硬围攻(hard-besiege, HB)、渐进式快速SB (SB with progressive rapid dive, SBPRD)和渐进式快速HB(HB with progressive rapid dive, HBPRD).

当r≥0.5且 |e|>0.5时，各粒子进行SB过程：

式中： ∆xk为在第k次迭代下粒子与已知最优解间的距离；J为随机跃迁概率，J=2(1−r5)，r5为 [0,1)区间内的随机数.

当r≥0.5且 |e|≤0.5时，各粒子进行HB过程：

当r<0.5且 |e|≥0.5时，各粒子进行SBPRD过程：

当r<0.5且 |e|<0.5时，各粒子进行HBPRD过程：

显然，HBPRD与SBPRD过程的更新策略几乎相同，但HBPRD主要考虑种群的平均特性.

完成更新操作后，依据贪心策略保留优势个体：

当算法满足迭代计数(k)达到预设的最大迭代次数(K)时的终止条件时，输出作为结果，结束流程.

基于HHO算法的基本流程，本文提出的微波滤波器优化框架如图1所示.首先依据待优化对象，设定优化变量及搜索空间，HHO算法自动生成初始潜在解集；然后依据HHO算法的更新策略构造生成解集，利用EM仿真软件(例如HFSS、CST等)，结合预设的目标函数，对生成解集进行评估，并依据贪心策略选择优势个体，使其参与下次迭代，直到满足终止条件.

图1 基于HHO算法的微波滤波器优化框架Fig.1 The framework for the optimization of microwave filters based on HHO algorithm

2 HHO算法收敛行为分析

本节对HHO算法的收敛行为进行定量分析.将算法的两个阶段进行划分，引入两个基本假设，将HHO的随机策略转化为确定型迭代式，以分析算法的平均收敛行为.

2.1 阶段分析与基本假设

虚线表示探索/开发阶段的分界.可以看出，探索阶段主要集中在算法前期.开发阶段中，e>0情况下，粒子处于SB或SBPRD过程时，依据前文对上述过程的定义再结合式(3)可知E(ek)=0.75，E表示随机变量的期望；粒子处于HB或HBPRD过程时，E(ek)=0.25.由对称性可知e<0的分析类似.

参数e决定粒子所处阶段.依据式(3)设置K=500，得e的动态变化曲线如图2所示.图2中的

图2 e的动态变化曲线Fig.2 The dynamic property of e

HHO算法的更新策略较为复杂，但本质上是基本迭代式的随机组合.且更新策略对各粒子按位更新，故仅考虑粒子的分量行为.基于上述两点考虑，做出如下假设[23]：

2) 仅考虑更新策略中随机变量的期望.

为简化分析，不失一般性，考虑搜索区间[–1,1].假设1限制全局最优解p的动态变化，以定量考察个体的逼近方式.尽管p将随迭代过程变化，但粒子的逼近方式不变.另一方面，假设2将算法的随机策略转化为确定型更新方式，可从平均意义下考察粒子的动态行为.

2.2 探索阶段收敛行为

基于2.1节对HHO算法探索阶段的更新策略进行分析.依据假设2，式(1)中的随机变量期望为

式中，i=1,2,3,4.

由于探索阶段处于算法前期，此时种群尚未进行有效搜索，故可假设粒子分布与初始种群无明显差别.初始种群的生成方式为搜索空间内的均匀分布，且各粒子相互独立生成，可得：

式中：xi为第i个粒子；U(−1,1)表示搜索空间内的均匀分布.

将式(10)～(11)代入式(1)，可得算法在探索阶段的迭代方式如下：

显然上述迭代方式是稳定的，而且是两种基本模式的随机组合.方式1是粒子指数型，逼近搜索空间的中心位置.方式2直接采用p对粒子进行更新.

假设p=0.2、x0=0.9和K=50，来模拟粒子的实际收敛行为，结果如图3所示.由图3(a)可以看出，粒子在方式1的影响下迅速收敛至搜索空间的中心.此外，尽管x0距离p较远，但x0将在方式2的影响下迅速收敛至p，如图3(b)所示.图3(c)给出上述基本模式的混合策略.可以看出，该混合策略既可使粒子快速收敛，又具备跳出p的能力.

图3 探索阶段不同策略下粒子的收敛行为Fig.3 The different convergence behaviors of particles in exploration phase with different strategies

2.3 开发阶段收敛行为

SB，HB，SBPRD和HBPRD四种过程的更新策略(开发阶段)推导方法与探索阶段类似.当粒子处于SB过程中，式(4)转化为

类似地，在HB过程中，式(5)转化为

而SBPRD过程的两种策略为

HBPRD过程中的两种策略为

式中，C为levy算子的期望值.由于levy过程属于随机游走，其将产生较大随机步长，当C>2时，粒子将发散并远离p.因此SBPRD和HBPRD过程可扩展搜索区域，使个体具备跳出局部最优解的能力.另外在本阶段可认为算法接近收敛且种群较为聚集，故可假设此时种群近似服从均值为p1的正态分布.此时p1与p不一定相同.

选择p=0.2、x0=0.9、K=50、p1=0.5和C=2来模拟粒子在开发阶段的动态行为，结果如图4所示.图4(a)为SB过程的粒子收敛行为，可以看出，个体并未直接收敛至p，而是聚集在p附近，表明算法具有较强抗局部极小解的能力；图4(b) HB过程的粒子将直接收敛至p；图4(c)中当个体处于SBPRD过程且采用方式1时，算法逐渐收敛至p，但收敛速率小于HB过程；图4(d)中SBPRD方式2将导致粒子逐渐远离p，并扩展了搜索空间；4(e)中HBPRD的方式1与SB过程类似，将使粒子快速收敛至p附近；图4(f)中HBPRD方式2也提升了算法的搜索能力.综上结论，六种更新策略的混合可使粒子快速收敛至p，也有相应手段确保算法具有跳出局部极小解的能力.

图4 开发阶段不同策略下粒子的收敛行为Fig.4 The convergence behaviors of particles in exploitation phase with different strategies

本节将HHO算法分为两个阶段，并基于两个简单假设推导出确定型更新方程.依据导出方程，模拟并分析了单个粒子的动态行为以研究HHO算法的基本原理.实际算法运行中，各粒子行为应是本节导出的基本策略的随机组合.因此，本节的分析将指导HHO算法的具体应用.

3 滤波器优化实例

本节将利用HHO算法对两款介质波导滤波器进行优化设计，以满足指标要求.与另外三种SI优化算法(SADE, FPA, GWO)进行比较，来考察HHO算法的性能.各算法的特有参数设置依据各自的相关参考文献，而公共参数粒子数n和最大迭代次数K分别设置为20和100.优化算法均采用MATLAB实现，电磁场仿真使用HFSS实现.

3.1 介质波导滤波器1的优化设计

首先，考虑一个四阶介质波导滤波器.该滤波器的技术指标为：2.515～2.675 GHz频段内|S11|<−20dB； 2.515～2.675 GHz频段内|S21|>−3dB；2.00～2.25 GHz频段内 |S21|<−20dB；2.75～3.00 GHz频段内|S21|<−20dB.设置两个对称的传输零点w1,2=±2j.依据上述指标要求，选择滤波器的拓扑结构为四极子模型，如图5(a)所示.依据文献[3]中的方法，(N+2)型归一化耦合矩阵为

确定耦合矩阵之后，为了滤波器的物理实现，还需确定谐振器结构、腔间耦合方式和外部耦合方式，及其相应的参数.本文的谐振器采用带调谐盲孔的TE101模矩形腔，调节盲孔深度可以改变谐振器的谐振频率.图5(b)给出该谐振器频率f0随盲孔深度hr的变化趋势，采用波导H面窗口实现腔间耦合.图5(c)给出了腔间耦合系数k随窗口宽度w的变化曲线，利用 50Ω同轴线探针实现外界耦合，通过探针的插入深度hp来调节端口群时延，端口群时延τ 随同轴插入深度hp的变化如图5(d)所示.

图5 滤波器1的初始设计信息Fig.5 The initial design information of filter 1

该滤波器的结构如图6所示，盲孔的直径均为2 mm，滤波器的整体高度为7 mm.图中给出了所有的结构参数与优化变量，优化变量主要包括盲孔深度hr、耦合宽度w与探针插入深度hp.表1为各优化变量的初始值及优化结果.

表1 滤波器1设计变量的初始参数与优化结果Tab.1 Initial value of design variables and optimization results of filter 1 mm

图6 滤波器1的结构示意图Fig.6 The structure of filter 1

图7为滤波器1的初始仿真模型及结果.该初始响应显然不满足指标要求.利用罚函数法综合各指标要求的目标函数如下：

图7 滤波器1的初始模型及其散射参数Fig.7 Initial model and scattering parameters of filter 1

式中：fP、fSL和fSU分别为通带、下阻带和上阻带的频率；CP、CSL和CSU分 别为对应频带内的约束值； Θ 为惩罚因子，取 Θ =109.

图8给出了|S21|>–3 dB下滤波器1 HHO、SADE、FPA和GWO算法的收敛曲线.可以看出，HHO算法的收敛速度最快.表2给出了各算法得到的目标函数值.可以看出，HHO和GWO算法的优化效果优于SADE和FPA算法，SADE和FPA在迭代结束后，仍保持较大目标函数值，说明这两种算法未能完成预设优化目标.尽管GWO在本例中也得到了可接受的解，但其收敛速率和质量都劣于HHO算法，其原因在于算法的更新策略.GWO采用单一策略来更新潜在解，而HHO算法的更新策略更加灵活，既包括快速收敛的探索过程与HB过程，也有可避开局部最优解的SBPRD、HBPRD过程.因此，HHO算法有大概率跳出局部最优解且能保持较快的收敛速率.因此，HHO算法收敛最快，且获得的结果最优.

图8 |S21|>–3 dB下滤波器1不同算法的收敛曲线Fig.8 The convergence curves of different algorithms (filter 1 when |S21|>–3 dB)

表2 |S21|>–3 dB情况下滤波器1不同算法的目标函数值Tab.2 Objective function value of different algorithms

图9为算法的优化仿真与实测结果的比较，两者吻合良好.图10为依据仿真结果所设计的四阶介质波导滤波器1加工实物.

图9 滤波器1优化仿真与实测结果比较Fig.9 The comparison between optimization and measurement results (filter 1)

图10 滤波器1的加工实物Fig.10 Prototype of filter 1

3.2 介质波导滤波器2的优化设计

第二个实例为三阶双模介质波导滤波器，结构上与图6实例1类似，但谐振器同时工作于TE101和TE102模式.图11和图12分别为有无金属盲孔的谐振器各个模式的磁场分布，TE101和TE102模的谐振频率分别为2.23 GHz和2.6 GHz.添加金属盲孔可以降低TE102模的谐振频率，并提升TE101模的频率，使得两个模式均工作于2.6 GHz，形成双模谐振器.

图11 无金属盲孔时双模谐振器的磁场分布Fig.11 The magnetic fields of dual-mode resonator (without metallic holes)

图12 含金属盲孔时双模谐振器的磁场分布Fig.12 The magnetic fields of dual-mode resonator (with metallic holes)

待优化变量的初始值如表3所示.滤波器2的指标为：2.515～2.675 GHz频段内|S11|<−20dB；2.515～2.675 GHz频段内 |S21|>−3dB；2.00～2.40 GHz频段内|S21|<−20dB； 2.75～3.50 GHz频段内 |S21|<−20dB.图13(a)为滤波器的拓扑结构，其对应耦合矩阵为

表3 滤波器2设计变量的初始参数与优化结果Tab.3 Initial value of design variables and optimization results of filter 2 mm

图13(b)给出了TE101模与TE102模的谐振频率f0随盲孔深度hr的变化曲线.谐振器间耦合、激励方式、目标函数及待优化变量与滤波器1类似.图13(c)给出了两个模式间的耦合系数随中心盲孔深度ht的变化.图13(d)为端口群时延τ 随同轴插入深度hp的变化.

图13 滤波器2的初始设计信息Fig.13 The initial design information of filter2

图14给出了滤波器2的初始仿真模型以及结果.

图14 滤波器2的初始模型及其散射参数Fig.14 Initial model and scattering parameters of filter 2

表3给出了滤波器2设计变量的初始参数及利用HHO算法优化的结果.

图15给出了|S21|>–3 dB滤波器2四种不同算法的收敛曲线，表4给出了各算法得到的目标函数值.可以看出：HHO算法同样表现出收敛最快的优势，且结果更优；而SADE和FPA算法因为失效未能完成优化目标；GWO算法最终收敛，但速度不及HHO算法.

图15 |S21|>–3 dB下滤波器2不同算法的收敛曲线Fig.15 The convergence curves of algorithms with different objectives (filter 2 when |S21|>–3 dB)

表4 |S21|>–3 dB情况下滤波器2不同算法的目标函数值Tab.4 Objective function value of different algorithms (filter 2 when |S21|>–3 dB)

为进一步考察敏感性，选取其他不同优化目标：|S21|>−1dB，|S21|>−0.5dB，|S21|>−0.1dB.图16(a)～(c)给出了不同优化目标下滤波器2不同算法的收敛曲线.由图16(c)可看出，对 |S21|的限制加强，将导致搜索空间缩减.此时，尽管HHO算法获得符合要求的结果且其收敛速度明显优于FPA与SADE算法，但略差于GWO算法.该现象是由HHO算法的多策略混合机制导致的，由于搜索空间缩小，GWO的单策略搜索方式更加偏重种群特性，而具有复杂搜索方式的HHO在搜索过程中不断尝试扩展搜索空间，这将使算法收敛变慢.尽管如此，从图15、图16(a)及图16(b)可以看出，在大多数目标中，HHO算法都给出满足要求的结果且收敛最快，表明HHO算法具有较强的稳定性.

图16 不同优化目标下滤波器2不同算法的收敛曲线Fig.16 The convergence curves of algorithms with different objectives (filter 2)

图17为依据仿真结果所设计的三阶双模波导滤波器加工实物.

图17 滤波器2的加工实物Fig.17 Prototype of filter 2

图18给出了滤波器2的优化结果与实测结果，可以看出，优化结果与测量结果吻合良好.

图18 滤波器2优化仿真与实测结果比较Fig.18 The comparison between optimization simulation and measurements (filter 2)

4 结 论

文中基于HHO算法提出了一种通用的微波滤波器优化框架，并严格分析了算法的动态收敛行为.利用HHO算法设计了两款介质波导滤波器.结合理论分析和实验结果分析，探究了HHO算法性能突出在于它的混合策略搜索模式.实验结果表明，相比目前流行的SADE、FPA和GWO优化算法，HHO算法不仅收敛快，并且优化解的质量更优.