一类双层小世界振子网络的稳定性研究

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2021.08.007

摘  要：研究了一类具有随机长连接的双层小世界振子网络的稳定性。首先给出双层小世界振子网络的结构和矩阵表示，然后分析了网络连接强度矩阵C的最大特征值γ1在数学期望意义下的取值，讨论了双层小世界振子网络在无时滞和有时滞两种情况下，系统平衡点稳定和不稳定时，矩阵C的最大特征值γ1需要满足的条件。最后，给出了双层小世界振子网络的稳定性和不稳定性区域。

关键词：双层网络;随机长连接;时滞;概率;稳定性

中图分类号：O157.5       文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2021）08-0024-03

Study on the Stability of a Class of Double-layer Small World Oscillator Network

ZHOU Jing

（College of Information Technology，Jilin Agricultural University，Changchun  130118，China）

Abstract：In this paper，the stability of a class of double-layer small world oscillator network with random long connection is studied. Firstly，the structure and matrix representation of the double-layer small world oscillator network are given，and then the value of the maximum eigenvalue γ1 of the network connection strength matrix C in the sense of mathematical expectation is analyzed. The conditions of the maximum eigenvalue γ1 of matrix C need to be satisfied are discussed under the two conditions of the double-layer small world oscillator network without time delay and with time delay，and when the equilibrium point of the system is stable and unstable. Finally，the stability and instability regions of the double-layer small world oscillator network are given.

Keywords：double-layer network;random long connection;time delay;probability;stability

0  引  言

双层网络是普遍存在于我们生产生活中的一类比较简单的多层复杂网络，它是由两个单层网络通过固定的或是随机的长连接耦合而形成的“网络的网络”，如神经网络、代谢网络、新冠病毒传播网络及交通网络等一些网络中都存在着两个单层网络的彼此连接和相互作用。近年来，关于双层网络的研究已经成为众多学者的主要研究方向^[1-3]。在大多数的研究中，往往为了方便讨论，通常假设双层网络的结构和节点间的连接方式是固定不变的，且不存在时滞。然而，在真实的双层网络系统中，网络内部的结构和外部的干扰对双层网络的性能有着非常大的影响。特别地，双层网络节点间的长连接是一个网络的重要标志，起着关键性的作用，因此，如果对双层网络节点间长连接的连接方式的研究更接近于实际网络的长连接的话，将更有利于人们了解和掌握双层网络的结构特征和作用机理，为探索双层网络或更复杂的多层网络的发展奠定良好的基础。

目前，在双层网络的研究中，关于网络的动力学行为的研究受到了国内外专家和学者们的广泛关注，如稳定性问题、鲁棒性问题、同步问题、分岔问题等。如张楠^[4]利用线性稳定性分析方法，讨论了当双层星型复杂网络的层间耦合强度不同时，网络的层间同步问题和层间耦合强度对同步稳定区域的影响;于东元^[5]研究了单层网络具有相同拓扑结构的一类双层复杂网络的层内及层间同步问题，分析了镜面波和反射波的层间相互作用的动力学原理;周晶^[6]探讨了一类层间由固定的连接耦合而成的双层振子网络的稳定性和分岔问题，给出了网络系统平衡点局部稳定性的判定条件和Hopf分岔存在的条件。但是，对于节点间具有随机长连接，特别是网络层间具有随机长连接的双层复杂网络模型动力学方面的研究却较少。本文考虑了一类具有随机长连接的双层小世界振子网络，其网络节点间的长连接是随机的，且单层网络的长连接概率和层间的长连接概率不是必须相等的，我们在以上条件下研究了双层小世界振子网络的稳定性问题。

1  双层小世界振子网络的结构

本文考虑一类具有随机长连接的双层小世界振子网络模型，其结构用以下微分方程表示：

这里，xi（t）表示第i个振子的位移，f（xi）表示一个非线性函数，满足f（0）=0，f '（0）=1，τ≥0表示时滞，cij表示网络的第i个节点和第j个节点之间的连接强度，如果两个节点间不存在相互连接，则cij=0，如果两个节点之间存在相互连接，则c_ij≠0，且c_ij=c_ji（i≠j）。双层小世界振子网络的结构示意图如图1所示，它是由A层和B层两层网络构成的，其中每一層网络都是一个含有n个节点的Newman-Watts小世界网络，图中每个小圆圈代表网络的一个节点，每一条实线或者虚线代表网络的两个节点之间的一个连接。单层小世界网络的构建方式为：首先，在每个单层网络上，建立一个含有n（n充分大）个节点的规则环形网络，其中每个节点都与它左右各两个节点相连，且每个节点都不与它自身相连。然后，在规则环形网络的基础上，以概率p₁（p₁=1）随机的选取两个节点用直线连接起来，形成小世界网络的长连接。同时，两个单层网络的节点之间也存在着长连接，这里，设A层与B层网络以概率p₂（p₂=1）随机的选取两个节点进行连接。本文规定双层网络的任意两个节点之间的连接（包括规则连接和长连接）均是激励的连接，图中使用“+”来表示，如果节点i与节点j之间存在连接，则连接强度都是固定的常数，即c_ij=c_ji=k>0（i≠j）。本文规定，双层网络的任意两个节点之间只有一条连接。

2  双层小世界振子网络的局部稳定性

为讨论双层小世界振子网络的动力学性质，将式（1）在零平衡点处进行线性化，可得：

这里，矩阵x=（x₁，x₂，…，x_2n）^T表示双层网络节点间的状态矩阵，矩阵C=（c_ij）_2n×2n是一个随机的实对称矩阵，表示双层网络任意两个节点间的连接强度构成的矩阵。由于规则环形网络的连接是确定的，而单层小世界网络的长连接和两层网络之间的长连接都是随机的，所以，构成矩阵C的元素是比较复杂的。为了方便问题的研究，我们设单层网络的节点数n充分大，则矩阵C就可以近似的表示为两个矩阵V和W的和矩阵，即C=V+W的形式，其中V=（v_ij）_2n×2n是网络固定连接的连接强度矩阵，W=（w_ij）_2n×2n是长连接强度矩阵。根据所构建的双层小世界网络模型的结构特点，可知矩阵C，V，W均为实对称矩阵。

下面，我们讨论双层小世界振子网络的稳定性。

显然，当γ₁<1时，所有的特征值γ₁都满足γ_i<1，（i=1，2，…，2n），此时λ_1，2的实部都是负数，式（1）所示的系统的平衡点是稳定的。因此，可以得出如下结论。

结论2：对于式（1）所示的无时滞的双层小世界振子网络，当网络连接强度矩阵的最大特值γ_i<1时，系统的平衡点是稳定的;而当γ₁≥1时，系统的平衡点是不稳定的。

当时滞τ≠0时，通过文献^[8]的研究发现，当网络节点间的连接都是激励的连接时，网络的最大特征值γ₁首先离开稳定性区域。因此，如果网络特征值的取值为最大值γ₁时，系统是稳定的，那么对于取其他小于γ₁的值时，系统也一定是稳定的。所以，只需讨论最大值γ₁处系统的稳定性即可。考虑如下特征方程：

3  结  论

综上，本文研究了一类具有随机长连接的双层小世界振子网络的稳定性。首先我们给出了双层小世界振子网络的结构示意图，它是一类以两个单层的Newman-Watts小世界网络为基础，两层节点之间以一定概率随机连接的复杂网络。在数学期望意义下，分析了网络连接强度矩阵C的最大特征值γ₁=[（n-3）p₁+np₂+2]k。显然，网络节点间的连接强度k、单层网络的节点个数n和长连接概率p₁、以及层间的长连接概率p₂都对γ₁的取值有着非常重要的影响。然后，分别讨论了双层小世界振子网络在无时滞和有时滞两种情况下，系统平衡点稳定和不稳定时，最大特征值γ₁需要满足的条件。最后，给出了双层小世界振子网络的稳定性和不稳定性区域。通过以上讨论和研究，有利于深入了解真实双层复杂网络的结构和性能，能够为我们继续探索多层复杂网络的动力学性质奠定良好的基础。

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作者簡介：周晶（1980—），女，汉族，吉林德惠人，讲师，博士，研究方向：复杂网络的动力学与控制。

收稿日期：2021-02-25

基金项目：吉林省教育厅“十三五”科学技术项目（JJKH20180636KJ）