两种标准正交化方法的比较

丁照银

（安徽三联学院 基础部，安徽 合肥 230601）

1 概述

施密特方法可以轻松实现将欧式空间中的任意一组基变换成标准正交基，借助矩阵的初等变换也可以实现同样的目的。

2 主要结论及其证明

定理1[1]对于n 维欧式空间中任意一组基ε1，ε2，···，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，···ηn，使L（ε1，ε2，···εi）=L（η1，η2，···ηi），i=1，2，···，n。

证明 设ε1，ε2，···，εn是一组基，我们来逐个地求出向量η1，η2，···ηn。

定理2[3]欧式空间中的一组基是标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵。

定理2 的证明是十分容易的。实际上，定理2 给出了一种从矩阵的角度来求标准正交基的思路。具体步骤叙述如下:（1）计算出已知欧式空间一组基ε1，ε2，···，εn的度量矩阵A，显然度量矩阵A是正定阵。（2）模仿二次型中寻找对称矩阵合同标准型的方法对度量阵实施初等行列变换[5]，找到非退化的矩阵C，使得C'AC=E。（3）则（η1，η2，···ηn）=（ε1，ε2，···εn）C 就是欧式空间的一组标准正交基。

应该指出，C的确定是多种多样的，即C 是不唯一的。这样的结果是很容易被接受的，因为欧式空间中标准正交基本来就不是唯一的。

上述过程中的矩阵C 是由基ε1，ε2，···εn到基η1，η2，···ηn的过度矩阵。再看施密特正交化的结果，由基ε1，ε2，··εn到基η1，η2，···ηn的过度矩阵是一个主对角线上元素是正值的上三角形矩阵。其实，在实行初等变换的过程中完全可以保证C的结果是一个主对角线上的元素是正值的上三角形矩阵。

易见，利用初等变换的方法来求解所得到的结果与之前利用施密特方法所得的结果是完全一致的。

引理1[5]上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为+1 或-1。

得a2ii=1 所以aii=1 或-1。

定理3[6]设A是一个n 级实矩阵，且A 是非退化的，则必然可以找到唯一一个主对角线上元素是正值的上三角形矩阵C，使得AC是一个正交矩阵。

证明 由定理1 或结合利用初等变换方法求标准正交基过程的叙述，主对角线上元素是正值的上三角形矩阵C的存在性是显然的。接下来就是要说明C的唯一性。

假设满足条件的C有两个，记为C1和C2。记A的度量矩阵为B=A/A。

3 结论

施密特正交化过程，从欧式空间已知的一组基出发来构造欧式空间的一组新的基并且这组基是标准正交基。其实，可以把标准正交化视为两个过程，即正交化过程和标准化过程。施密特方法求标准正交基既可以交叉实现这两个过程，也可以待正交化完成以后再实现标准化的过程。初等变换方法求标准正交基的过程，是利用欧式空间中度量矩阵的性质来实现的，而且度量矩阵的初等变换方法更能体现全局性。殊途同归是对施密特正交化过程和度量矩阵的初等变换过程两者之间关系最为形象和贴切的概括。