具有预设暂态性能的一类不确定非线性系统渐近状态跟踪控制

陈浪雷,刘勇华,苏春翌

(广东工业大学自动化学院,广东广州 510006)

1 引言

在过去几十年中,不确定非线性系统跟踪控制研究得到了众多学者的广泛关注[1–2].考虑预设暂态性能的跟踪控制设计是其中的一个热点问题.具有预设暂态性能的跟踪控制是通过设计合适的控制器使得跟踪误差满足系统预设的控制性能要求.在现有文献中,存在两种行之有效的解决方案,即漏斗控制[3]和预设性能控制[4].漏斗控制是一种基于高增益自适应控制方法的时变控制策略,已成功地应用于各类非线性系统中[5–7].另一种方法为预设性能控制,该方法主要采用误差变换来解决系统跟踪控制中的预设性能约束问题[8–10].

近年来,基于上述两种方法,不确定非线性系统的预设性能跟踪控制取得了一系列具有重要意义的研究成果[11–22].然而,这些结果存在一个共同的不足,即当被控系统函数缺少足够的先验知识时,所设计的控制器仅能满足闭环系统的预设性能要求,无法确保系统输出或状态的渐近跟踪.为解决这一问题,文献[23]结合误差符号鲁棒积分(robust integral of the sign of the error,RISE)技术和预设性能控制方法,提出了一种自适应神经网络渐近跟踪控制算法,但该算法要求系统扰动的一阶与二阶导数存在且有界.同时,神经网络的使用增加了控制器的复杂度.为克服这一不足,文献[24]基于切换逻辑技术,设计了一种由局部控制模块和预设性能控制模块组成的无逼近结构混合控制策略,在满足输出跟踪预设暂态性能要求的基础上,实现了闭环系统全局渐近稳定性.值得注意的是,尽管文献[24]保证了输出跟踪的预设暂态性能要求与渐近状态跟踪,但其无法实现状态跟踪的预设暂态性能.

基于以上讨论,本文研究一类不确定非线性系统的预设暂态性能渐近状态跟踪控制问题,提出了一种新颖的鲁棒自适应控制算法.本文的主要贡献在于如下两方面:1)采用漏斗控制技术和障碍李雅普诺夫函数方法设计时变状态反馈控制器,有效消除了系统中未知非线性函数引起的技术困难;2)所提控制算法不仅保证了预设的状态跟踪性能,而且实现了状态跟踪误差渐近收敛至零点.仿真结果表明了文中所提控制算法的有效性.

下文采用如下符号:R,R≥0,Rn和Rn×n分别表示实数,非负实数,n维实向量和n×n维实矩阵的集合.|·|表示绝对值,‖·‖为欧氏范数.Wr,∞(R≥0→R)表示r次连续可微函数h:R≥0→R的集合,并且h,˙h,···,h(r)在R≥0上有界.exp(·)表示指数函数.ln(·)表示自然对数函数.如果对任意向量z都有zTSz>0成立,或者对称矩阵S的所有特征值都为正数,则称对称矩阵S正定.S>0表示S正定.λmin(S)为对称矩阵S的最小特征值.

2 问题描述与预备知识

2.1 问题描述

考虑如下一类单输入单输出非线性时变系统:

其 中:x(t):[x1(t)··· xn(t)]T∈Rn,u(t)∈R为 控制输入,y(t)∈R为系统(1)的输出.系统函数f,g:R≥0×Rn →R在t上分段连续,且关于x(t)满足局部Lipschitz条件.

注1需说明的是,许多实际系统的数学模型可转化为系统(1)的形式,如单机械臂系统、压电驱动定位系统、倒立摆系统等[25].

本文的控制目标:对任意初始条件x(0)[x1(0)··· xn(0)]T,设计时变状态反馈控制器u(t,x(t)),使得状态跟踪误差e(t)在预设性能漏斗

2.2 预备知识

定义1[26]考虑初值问题

其中:ζr:R≥0×Ξr →Rm在t上分段连续,且关于ξr满足局部Lipschitz条件,Ξr ⊂Rm为非空开子集.若初值问题(5)的解不能向右再延拓,所得到的存在区间称为解的最大存在区间.

3 自适应控制设计和稳定性分析

为实现具有预设暂态性能的渐近状态跟踪控制,本节提出了一种基于障碍李雅普诺夫函数的自适应控制策略.本文的主要结果可总结为如下定理.

定理1考虑由系统(1)和自适应控制器

则对任意初始条件x(0),闭环系统的所有信号都一致有界,并且状态跟踪误差在预设性能漏斗Fϱ内收敛至零点.

证本证明包括3个部分.首先,证明由系统(1)和控制器(7)–(8)构成的闭环系统在最大存在区间[0,tm)上存在唯一解.其次,通过反证法证明tm+∞.最后,实现本文控制目标.

P1:根据式(1),可推得状态跟踪误差系统为

由式(1)(7)和式(8)构成的闭环系统可表示为

P2:本部分将通过反证法证明tm+∞,不妨假设tm <+∞.

考虑如下障碍李雅普诺夫函数:

其中ϑmax,γmin为未知常数.进一步,根据引理1,对所有t ∈[0,tm),易得

显见,若Q>0,即式(9)成立,对所有t ∈[0,tm),有

即状态跟踪误差e(t)始终在预设的性能漏斗Fϱ内.

证毕.

注4与文献[11–18]提出的渐近输出跟踪结果以及文献[23–24]所提的预设性能渐近跟踪控制方法相比,本文所设计控制器的显著优点是在缺乏系统函数先验知识的条件下,不仅可确保渐近状态跟踪,而且满足状态跟踪误差的预设暂态性能要求.

4 仿真

为验证文中所提控制策略的有效性与通用性,本节分别对单机械臂系统和倒立摆系统进行仿真实验.

例1考虑如下一类单机械臂系统:

其中:M为惯性,y(t),分别为角位置、角速度和连杆的角加速度,g9.8 m/s2为重力加速度,l和m为机械臂的长度和质量,ν(t)为机械臂的控制力,d(t)为外部扰动.

控制目标是设计控制器u(t)使得系统状态向量x(t)[x1(t)x2(t)]T渐近跟踪期望轨迹[sintcost]T,且状态跟踪误差收敛速度不低于exp(−t).

本次仿真中,选取单机械臂的系统参数M1 kg·m2,m1 kg,l1 m,d(t)0.1 sint.系统的预设性能采用漏斗函数

来描述.为得到满足条件(9)的正定矩阵P,令K[1 1]T,η1,通过MATLAB LMI工具箱计算可得

控制参数设置为ς1,σ1和υ(t)系统(27)和自适应律(8)的初始条件设置为[x1(0)x2(0)]T[0.2 1]T,1.仿真结果如图1–3所示.显然,在本文所提控制器作用下,状态跟踪不仅满足预设的性能要求,且状态跟踪误差收敛至零点.

图1 单机器臂的状态跟踪误差‖e(t)‖Fig.1 State tracking error‖e(t)‖of single-link robot system

例2考虑如下一类小车倒立摆系统:

x1(t)和x2(t)分别为摆杆的角位置和角速度,u(t)控制输入;mc1 kg,md0.1 kg分别为小车和摆杆的质量,l0.5 m为摆杆长度的一半.系统(28)的初始条件设置为[x1(0)x2(0)]T[−0.1 0.2]T.控制目标与例1相同.

图2 单机器臂的控制信号u(t)Fig.2 Control signal u(t)of single-link robot system

图3 单机器臂的参数估计Fig.3 Parameter estimateof single-link robot system

为验证本文所提控制策略的通用性,本例采用与例1完全相同的控制参数,所得仿真结果如图4–6所示.显见,在此控制器作用下,倒立摆系统同时满足了状态跟踪的预设性能与渐近收敛的要求.

图4 小车倒立摆的状态跟踪误差‖e(t)‖Fig.4 State tracking error‖e(t)‖of cart-inverted pendulum system

图5 小车倒立摆的控制信号u(t)Fig.5 Control signal u(t)of cart-inverted pendulum system

图6 小车倒立摆的参数估计Fig.6 Parameter estimate of cart-inverted pendulum system

5 结论

本文研究了一类不确定非线性时变系统的预设暂态性能渐近状态跟踪控制问题.通过将漏斗控制技术和障碍李雅普诺夫函数方法结合,提出了一种新颖的鲁棒自适应状态反馈控制策略.所设计控制器不仅实现了渐近状态跟踪,而且保证了其预设的暂态性能.仿真结果验证了所提控制策略的有效性.