基于混沌序列的彩色图像量子加密方案*

卢爱平 李盼池

（东北石油大学计算机与信息技术学院 大庆 163318）

1 引言

随着多媒体信息技术的快速发展，妥善解决信息安全问题越来越迫切。作为多媒体传输安全策略之一的图像加密，在经典图像处理中已被广泛研究，且已获得丰硕的研究成果［1～8］。然而由于量子图像处理这一新兴交叉学科才刚刚起步，量子图像加密比较经典图像加密，还很不成熟。量子图像处理的研究开始于量子图像描述，尚未形成统一的定义。目前量子图像描述方法主要有基于量子比特阵列的描述［9］，基于量子纠缠的描述［10］；灵活的量子图像描述（FRQI）［11～14］，新颖的增强量子图像描述（NEQR）［15］。其中FRQI模型充分利用了量子叠加性，与NEQR相比具有量子比特数少的优点。

量子图像加密是量子图像处理的重要分支之一，也是目前研究最为活跃并取得相对丰硕成果的分支。文献［16］提出了一种基于量子图像几何变换的加密方案；在文献［17］中，首先提出了一种新的彩色图像描述方法，其中R、G、B三基色采用3个量子比特描述，然后提出了基于量子比特随机旋转的量子图像加密方法。

本文基于FRQI模型描述量子彩色图像，基于三种混沌序列和受控旋转分别提出对应的加密方案。经典计算机上的仿真结果表明，加密后的直方图分布均匀，且解密效果对秘药敏感，因此该方法具有较好的抗攻击能力。

2 量子图像的FRQI描述

对于一幅2n×2n的彩色图像，设每个像素RGB三基色的灰度值范围均为{0，1，…，255}，第k个像素的三基色灰度值分别为，在FRQI中，该图像可描述为下式。

3 混度序列

混沌序列是加密方案中经常采用的策略之一。混沌貌似随机但却有精致的内部结构，其特点是对局部空间有较好的遍历性和对初值的高度依赖型。本文采用以下三种混沌序列。

3.1 chebyshev映射

Chebyshev映射的定义如下式。

其中整数ω为模型的阶数，只有当ω≥2时，模型呈现混沌序列，其值-1＜x(n)＜1。若取0为阈值，可以得到取值为{-1， 1}的混沌序列。

3.2 logistic映射

Logistic映射是研究动力系统、混沌、分形等复杂系统行为的一个经典模型。Logistic映射又叫虫口模型，是在一定地域范围内，统计昆虫数目时得到的昆虫数目变化的简单数学模型，具体如下式所示。

其中u是混沌吸引子，当u=4时，系统进入混沌状态，产生混沌变量x(n)，n=1， 2， 3，…，其值在区间(0，1)内。若取0.5为阈值，可以得到取值为{-1，1}的混沌序列。

3.3 tent映射

tent映射在数学中是指一种分段的线性映射，因其函数图像类似帐篷而得名。除此之外，它还是一个二维混沌映射，其广泛运用在混沌加密系统中，在混沌扩频码的产生、混沌加密系统构造和混沌优化算法的实现中也经常使用。帐篷映射的定义如下：

帐篷映射在其参数范围内是一个混沌映射，并且具有均匀的分布函数和良好的相关性。若取0.5为阈值，可以得到取值为{-1， 1}的混沌序列。

以n=256，ω=20，μ=4，a=0.3，x(0)=0.32为例，四种混沌映射序列如图1所示。

图1 长度为256的三种混沌序列

4 彩色图像的量子加密方案

对于三基色颜色值范围{0，1，…，255}的彩色图像，根据FRQI描述，R、G、B三通道的颜色值只需1个量子比特描述。以一幅2n×2n的彩色图像为例，描述整幅图像只需要2n+1个量子比特。

4.1 量子图像的制备

4.2 像素位置置乱

令彩色图像的幅度为2n×2n。像素位置置乱的基本思路是：首先根据式（3）～（5），生成三种长度为2n×2n的混沌序列，将每个序列按升序排序，排序后各序列的索引值即为自然数1～2n×2n的一个随机排列S。将所有像素按行首尾相连构成一个行向量，将该向量按随机排列S重新排序，再将排序后的行向量逐行放回原矩阵，即可实现像素位置置乱。

首先将原图像量子化。令原图像中像素(i，j)的灰度值为，置乱后位置为(s，t)，令k0=(s-1)2n+t，k1=(i-1)2n+j，则置乱过程对应的角度变化量为

4.3 像素颜色置乱

颜色置乱的基本思路是：首先按式（3）～（5），生成三种长度为2n×2n的混沌序列S，将该序列乘以2π作为随机旋转角度。

对于一幅2n×2n的彩色图像，首先采用三种混沌映射分别产生长度为2n×2n的随机序列：Scheb、Slogi、Stent，将这三个序列排成2n×2n的方阵，按下式定义旋转角度：

记RYX=R(Angle(Y，X))，根据量子计算原理，像素P(Y，X)颜色比特的随机旋转可定义为

整幅图像的旋转算子可由22n个子算子RYX组成。

4.4 加密方案的安全性

在本文提出的彩色图像加密方案中，如下两点保证了加密方案的安全性。

1）加密后图像的直方图近似均匀分布

对于加密后的图像，不仅像素位置呈现随机性，基于混沌序列的颜色比特旋转，也导致其三基色颜色值呈现出高度随机性，所有灰度级取值的概率近似相等，像素直方图近似均匀分布。

2）解密效果对秘钥的敏感性强

该方案的秘钥为混沌序列的初值。由混沌序列特性可知，其序列取值对处置的依赖性极其敏感，只要初值产生及其微小的波动，整个序列的取值就将面目全非。当混沌序列用于图像加密时，除非秘钥被精确破解，否则即使有极其微小的误差，也就导致破解失败。因此该性质有效提升了加密图像的安全性。

4.5 加密图像的解密方案

在本文提出的加密方案中，采用的所有算子都是可逆的酉算子，其逆算子是其自身的共轭转置。解密过程是加密的逆过程，根据量子计算的可逆性，解密过程只需采用加密算子的共轭转置即可。现将解密过程简述如下。

首先，合法的接收者从发送者取得秘钥，生成混沌序列，并构造如下旋转矩阵，实施像素颜色解密。

其中R+表示R的共轭转置。具体的解密过程可描述为。

然后，将混沌序列按升序排序，利用其索引序列将原始图像排序。令原图像中像素(i，j)的灰度值为，排序后位置为(s，t)，令k0=(s-1)2n+t，k1=(i-1)2n+j，则位置解密过程对应的角度变化量为

5 经典计算机上的仿真

由于量子计算机还没有普及，所以本文所有仿真都在经典计算机上执行。尽管无法仿真量子计算的并行性，但能仿真提出方案的执行效果。仿真软件采用Matlab（2014a），量子图像采用向量描述，各种算子采用矩阵描述，各种处理操作可采用对应的算子矩阵与图像向量的乘积实现，Matlab强大的矩阵运算功能完全可以展现方案的执行效果。仿真中采用的4幅512×512的彩色图像如图2中（a）～（b）所示。

5.1 加密效果

三种混沌序列的长度为n=512×512×24，相关参数为ω=20，μ=4，a=0.3，初值均取0.32。三种混沌加密后的图像如图2所示，解密后的图像与原始图像完全相同，不再给出。

图2 仿真采用的4幅原始图像

5.2 秘钥敏感性分析

一个理想的加密方案必须对秘钥高度敏感。为测试提出方案的秘钥敏感性，首先对秘钥（混沌序列初值）分别施加幅度为10-1，10-2，…，10-15的随机热扰动，然后根据混沌序列构造旋转角度，实施解密，实验结果表明，对于三种混沌序列chebyshev、logistic、tent，当 扰 动 幅 度 分 别 减 小 至10-14，10-13，…，10-14时，加密方案仍然是安全的，解密效果与图3完全相同。再进一步减小，才会呈现出原图像的轮廓。这说明三种混沌加密方案的秘钥空间分别为1014、1013、1014，足以低于蛮力攻击。

图3 4幅原始图像的加密效果

为定量评价解密图像的质量，首先按下式定义解密图像的峰值信噪比。

其中I(i，j)和I'(i，j)为原始图像和解密后图像。

表1给出了施加微小扰动下，解密后4幅图像的峰值信噪比。

表1 施加微小秘钥扰动下解密图像的PSNR

从表1可知，对秘钥施加微小扰动后，解密前后的PSNR几乎没有变化。只有当解秘秘钥与加密秘钥精确匹配时，才能完全恢复原始图像。由于提出的加密方案的密钥空间足够大，因此除非事先获得精确的秘钥，否则要精确地恢复原始图像几乎是不可能的。

5.3 相邻像素相关性分析

一个好的加密方案，相邻像素之间应该几乎不相关。为考察相邻像素之间的相关性，首先给出相关系数的定义。

其中E(x)，E(x)，E(x)和D(x)，D(x)，D(x)分别为三基色颜色值的均值和方差。

为考察相邻像素的相关性，对于每幅图像，分别在水平、竖直、对角三个方向上随机选取10000对相邻像素，然后计算相关系数。三种混沌加密方案的相关系数计算结果如表2～4所示。其中Iori表示原始图像，Ienc表示加密图像。

根据表2～4展示的实验结果，原始图像三个方向上的相关性均很强，而三种混沌加密图像三个方向上的相关性均很小，这表明本文提出的基于三种混沌序列的彩色图像加密方案，均具有较好安全性。

表2 chebyshev加密方案相邻像素的相关性

为进一步展示原始图像和加密图像相邻像素相关性的差异，以图2（d）图像的chebyshev混沌加密为例，相邻像素R，G，B颜色值分布如图4～6所示，每幅图中上面三个属于原始图像，中间三个属于加密图像，下面三个属于秘钥施加幅度10-14微小扰动后的解密图像。

图4 相邻像素对于红色的相关性

表3 logistic加密方案相邻像素的相关性

表4 tent加密方案相邻像素的相关性

图5 相邻像素对于绿色的相关性

图6 相邻像素对于蓝色的相关性

图4～6展示的结果表明，对于本文提出的基于混度序列的加密方案，加密后图像中的相邻像素之间在水平竖直对角三个方向上几乎不具有任何相关性。

5.4 直方图测试

仍然以图2（d）图像为例，在加密前后，R，G，B直方图分布如图7所示。其中上面三个属于原始图像，中间三个属于加密图像，下面三个属于秘钥施加幅度10-14微小扰动后的解密图像。

图7 加密前后三基色直方图对比

由图7可知，本文提出的加密方案能使颜色直方图呈现近似均匀分布，不给采用统计信息的非法用户提供任何破解图像的线索，且对秘钥施加微小扰动后，完全不能破解原始图像，从而使加密方案更加安全。

6 结语

本文提出了基于混沌序列的量子彩色图像加密方案，分别考察了三种混沌序列的加密效果，结果表明三种方案的加密性能非常接近，实际应用时可以任选其一。经典计算机上的仿真结果验证了加密方案的有效性。该方法的秘钥为混沌序列的相关参数和初值，秘钥非常简单，但敏感性极强，从而保证了加密方案的安全性。