基于积分型模糊Lyapunov函数的T-S模糊系统H∞控制

王 东

（渤海大学 实验中心，辽宁 锦州121013）

0 引言

众所周知，在实际工业过程中，绝大多数系统都是非线性的.因此，有关于非线性系统的研究一直是控制领域的热点、重点以及难点．T-S模糊模型方法作为处理复杂非线性系统建模与控制问题的有效手段之一，受到了控制领域国内外学者的广泛关注.文献［1-4］基于传统的二次型Lyapunov函数研究了T-S模糊系统的稳定性分析与控制综合问题.为了克服传统的二次型Lyapunov函数带来的保守性，文献［5-8］基于模糊Lyapunov函数研究了T-S模糊系统的稳定性分析与控制综合问题.文献［9］提出了一种新的积分型模糊Lyapunov函数，有效地避免了在连续T-S模糊系统的稳定性分析条件中出现隶属度函数的导数项，大大简化相应的分析过程.基于积分型模糊Lyapunov函数，文献［10-17］分别考虑了不同情形下模糊系统的控制问题.

考虑到现有利用积分型模糊Lyapunov函数研究T-S模糊系统H∞控制问题的结果较少.本文将基于积分型模糊Lyapunov函数进一步利用线性矩阵不等式技术研究连续T-S模糊系统的H∞状态反馈控制器设计问题.本文的主要贡献在于通过增加松弛矩阵变量和积分型模糊Lyapunov函数，以线性矩阵不等式的形式给出了两个充分设计条件，有效地解决了连续T-S模糊系统H∞状态反馈控制器的设计问题.

1 问题描述

考虑如下连续T-S模糊系统：

其中，x(t)∈Rn是状态变量，u(t)∈Rm是控制输入变量，ω(t)∈Rl是扰动变量且能量有界，z(t)∈Rp是被控输出变量，ξ(t)=[ ]ξ1(t)，ξ2(t)，…，ξp(t)，ξd(t)，d=1，2，…，p为前提变量；Mdi(d=1，2，…，p，i=1，2，…，r)为模糊集，并且r表示模糊规则数；Ai，Bi，Ci，Di，Ei是适当维数的系统矩阵.hi(ξ(k))=是前提变量ξd(k)相对于模糊集合Mdi的隶属度且满足hi(ξ(k))≥

那么根据上述的阐述，系统（1）可以重新写为：

其中Λ(h)=hi(ξ(k))Λi，Λ=A，B，C，D，E.

考虑如下状态反馈模糊控制器，

由式（2）和式（3）可以得到如下的闭环控制系统：

至此，本文的目的可阐述为对于已经给出的H∞性能指标γ>0，设计（3）所示的模糊状态反馈控制器使得以下两个条件成立：

（1）当ω(t)=0时，闭环系统（4）是渐近稳定的；

（2）闭环系统（4）具有给定的H∞性能指标γ，即在x(0)=0的条件下，对于任意的非零ω(t)，均能够使被控输出满足

下面引理将会在后面的推导中用到.

引理1：文献［4］的两个结论是等价的.

（1）存在P>0满足T+ATP+PA<0

（2）存在P>0，L和H满足

引理2：文献［10］假设Q是任意给定的正定矩阵，下面的两个陈述是等价的.

（1）Φ+Γ+ΓT<0

2 主要结果

本节将分别依据引理1和引理2给出T-S模糊系统H∞控制器的存在条件和设计方法.

定理1：考虑闭环系统（4），其能够在存在外部扰动信号的情况下渐近稳定并且满足给定的H∞性能指标γ>0，如果存在矩阵Nk>0，Ψ和使得下述线性矩阵不等式成立：

证明：考虑积分型模糊Lyapunov函数［9-10］，则其沿着系统的微分有

如果上面的式（6）小于0，即可根据Lyapunov稳定理论得出闭环系统是渐近稳定的且具有给定的H∞性能指标γ>0.那么对于任意的只需要满足

对上式应用引理1则式（7）成立，如果存在矩阵G满足

对上式应用Schur补引理，可以得到

（3）炼化产业产能过剩存在地区不平衡。整体来看炼化产业已经产能过剩，但从地区来看，在有些地区产能严重过剩的情况下，部分地区的产能利用率在90%以上，存在产能不足，一定程度上反映炼化企业存在地区分布不均衡，产能过剩严重的地区集中在中国东部和西部，而中部整体过剩并不明显。

类似于定理1的推导过程，可以使用引理2得到如下的模糊控制器设计条件.

定理2：考虑闭环系统（4），其能够在存在外部扰动信号的情况下渐近稳定并且满足给定的H∞性能指标γ>0，如果存在矩阵Nk>0，X1，W2，J1，J2和K̂j使得下述线性矩阵不等式成立：

证明：类似于定理1，可知闭环系统是渐近稳定的且具有给定的H∞性能指标γ>0，如果不等式（7）成立.对不等式（7）应用引理2，则式（7）成立，如果存在矩阵W和J满足

对不等式（13）执行同余变换，即左右分别乘以diag{I，I，P-1k，I，I}及其转置，再通过运用Schur补引理，可以得到

对不等式（14）执行同余变换，即左右分别乘以diag{W-11，I，I，I，I，I}及其转置，并结合可以得到

3 数值算例

为证明定理1的有效性，我们考虑形如（1）的连续T-S模糊模型，其相应系统参数如下：选取隶属度函数为h1(ξ(t))=1(1+exp(x1+0.5))，h2(ξ(t))=1-h1(ξ(t)).

运用本文给出的定理1，通过MATLAB软件的线性矩阵不等式（LMI）工具箱，得到控制器参数如下：

此时，控制性能指标可优化到的最小值为γmin=2.9481.

为证明定理2的有效性，我们考虑形如（1）的连续T-S模糊模型，其相应系统参数如下：

选取隶属度函数为h1(ξ(t))=1-1(1+exp(-3(x1-π2)))，h2(ξ(t))=1-h1(ξ(t)).

运用本文提出的定理2，通过MATLAB软件的线性矩阵不等式（LMI）工具箱，得到控制器参数如下：此时，控制性能指标可优化到的最小值为γmin=2.2193.

从仿真结果就能看出，本文提出的两种方法都可以实现连续T-S模糊系统的H∞状态反馈控制器的设计，证明了所提出方法的有效性.

4 结论

本文基于积分型模糊Lyapunov函数研究了连续T-S模糊系统的H∞状态反馈控制器设计问题.通过两个不同的矩阵不等式变换技术引入松弛变量，以线性矩阵不等式的形式给出了两个H∞状态反馈控制器存在的充分条件.该设计方法采用积分型模糊Lyapunov函数，有效地解决了以往在运用模糊Lyapunov函数时产生的隶属度函数导数项.仿真结果表明，所提出的方法是可行且有效的.