弹珠与分油问题

谢曲波

“爸爸，你听说过韩信立马分油的故事吗？”瑞瑞一进家门，书包还没有放下，就向爸爸发问。

“嗯……这个故事，我没听说过。”爸爸假装没有听过，他最近经常用这一招，“你能讲给我听听吗？”

“好吧……”瑞瑞似乎识破了爸爸的伪装，不过他想了想，还是继续说了下去。

韩信分油

“有一天，韩信在经过一个集市时，遇见一位卖油的老人正在与顾客争吵。他一打听，原来是这么回事：顾客想买5斤油，而老人家只有三个装油的葫芦，大的葫芦里装满了油，一共是10斤。另外还有两个空的小葫芦，分别可以装3斤油和7斤油。老人家说他没有办法卖5斤油，而顾客却执意要买5斤油。老人家认为这个顾客在故意为难他，于是两人就吵了起来。韩信了解了事情的原委后，稍加思索，便下马解决了这个问题，双方皆大欢喜，连连称谢。”

“原来是这样一个故事啊。看来韩信不仅是个军事家，还是个数学家啊！”爸爸微笑道，“那你是想问我，韩信究竟是怎么分油的吗？”

“不是，我知道他是怎么分油的！”瑞瑞的回答出乎了爸爸的意料。

“哦，那你说一说，韩信是怎么分油的？”爸爸扶了扶眼镜。

“为了让你理解得更清楚，我先画一个表格吧！”瑞瑞麻利地拿出直尺，边说边画，不一会儿，就画出了下表——

“10斤→7斤，这表示把10斤的葫芦中的油倒进7斤的葫芦中，3斤→10斤就表示要把3斤的葫芦中的油倒进10斤的葫芦中去，其它的意思也是如此……”瑞瑞生怕爸爸还没看懂，又解释了一遍。

弹珠游戏

看着瑞瑞把韩信分油的问题解释得明明白白，爸爸心中倒是升起了疑云：“你已经解决这个问题了，还有什么疑问吗？”

“还有更简单的方法吗？”瑞瑞显然不太满意自己的解法，“这样的解决方法太繁琐，而且没办法用数学语言直观地表示出来。”

爸爸似乎早就猜到瑞瑞会是这个反应：“哈哈，我就知道你不会满意。还好，我还有绝招！”

只见爸爸绘制了一幅像统计图一样的图，并在上面标明了一些数据，介绍道：“这叫直角坐标系。不过，这样的图你应该见过了。”

“是的，这种图我在五年级学‘用数对确定位置的时候见过。”瑞瑞回忆道：“我还记得老师说这个直角坐标系是法国数学家笛卡尔最早引入的。”

爸爸很高兴儿子能记住老师上课讲过的知识：“没错，笛卡尔也是世界上第一个用代数方法研究几何的人。从此以后，平面上的任意一点都可以用一对有序数对来表示了。”

“不过，爸爸你画直角坐标系是用来做什么啊？”瑞瑞显然还没有明白爸爸的用意。

“不急不急，听我慢慢道来。”爸爸指着直角坐标系說：“我们这里的横坐标表示7斤葫芦里所装的油，纵坐标表示3斤葫芦里所装的油，而坐标的单位就表示葫芦中油的斤数。”

说着，爸爸又在直角坐标系中画上了一些斜线——

看着满脸疑惑的瑞瑞，爸爸不紧不慢地继续说：“现在，我们来玩一个弹珠游戏。首先规定一下行走规则，弹珠只能走直角坐标系中的红色网格线，并且每一次必须走到四周（也就是碰到黑色线），才能选择另一条红色网格线反弹。”

“也就是说，我们想要得到5斤油，就得让弹珠到达（5，3）或（5，0）的位置。你观察一下，如果我们从（7，0）出发，可以选择哪一条路线到达（5，3）呢？”爸爸把彩笔交给瑞瑞，示意他可以画一画。

瑞瑞接过彩笔，认真思考，不一会儿，就找到了一条路线（如图蓝色直线）。

“如果是弹珠游戏的话，我知道弹珠这样走就可以到达（5，3）这个位置，可是这与分油问题有什么关系呢？”瑞瑞虽然找到了路线，但心中的疑问却没有解开。

爸爸依旧慢条斯理：“不急，我们看看弹珠走过的位置（7，0）→（4，3）→（4，0）→（1，3）→（1，0）→（0，1）→（7，1）→（5，3），这一系列坐标正好对应着每次倒油后两个葫芦的状态，而且相邻的坐标在现实中是可以互相进行转换的。”

说着，爸爸也画了一张表，来解释刚才这番话。

“为什么一定要碰到四周才能反弹呢？”瑞瑞提出了一个关键问题。

“嗯，这是一个好问题！”爸爸不失时机地表扬瑞瑞，“这是因为分油问题中的葫芦都是没有刻度的。也就是说我们必须保证，在每一次倒油的过程中，有一个葫芦要么是满的，要么是空的，而这种情形正好对应着直角坐标系的边缘。”

“这个方法好，以后碰到这类问题再也不用发愁了！”瑞瑞拍手叫好，非常开心：“老爸，我也想到一个妙招——用倒推法来寻找这条路线。比如我们从（5，3）或（5，0）这个终点出发，一路倒推回去，就可以轻松地找到第一次出发时的起点，这样会更容易！”

“真棒！我就是喜欢你爱思考的样子！”爸爸也从不吝啬对儿子的赞扬。

亲爱的小读者，你会用这种方法解决分油问题了吗？