一类含有扰动项的Kirchhoff型方程解的多重性

汤碧云，蓝永艺

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

考虑如下Kirchhoff型方程的Dirichlet边值问题

(1)

受文献[11]的启发，本文在一般的Kirchhoff 型方程中加入干扰项，形成问题(1),而且将一般的次临界条件以及AR条件弱化为条件F1)和F2)，再结合Nehari流形，可以得到方程具有多重解。本文考虑一类非线性项f(x,u)具有更一般的增长性条件,假设:

1预备知识

假设u≠0是I的一个临界点，即I′(u)v=0,∀v∈X,则u包含在以下集合

(2)

中，这个集合称为Nehari流形。由文献[9-10]知，在一定条件下，该流形微分同胚于X的单位球面。

考虑N的一个子集：

(3)

在条件F1)～F5)的假设下，给出了以下的几个引理。

证明由F5)知,∀A>0,∃X,当u>X时，有F(x,u)≥Au4,又因为F(x,u)∈C(Ω),所以∃B>0，使得F(x,u)>-B。综上，∀u∈R,∀x∈Ω,F(x,u)≥Au4-B。

(4)

由

(5)

在式(5)中令k→∞,由Fatou引理及F(x,y)的弱连续性知,左边结果为0,右边结果为b/4,这是一个矛盾，所以{uk}有界。

2 定理1及其证明

证明定理1分两步来证明。

第二步：I(u)在Bτ存在局部极小值，正好是边值问题(1) 的解。