九连环中的数学原理

2021-09-02 10:49捌元
数学大王·中高年级 2021年8期
关键词:九连环宁宁步数

捌元

今天,宁宁放学回到家时,发现客厅的茶几上放着一个奇怪的玩具。为什么说是奇怪的玩具呢?因为这个玩具由九个相互连接的圆环组成,套装在一个中空的长形柄中。圆环与圆环之间,圆环与环柄之间彼此相套,交错相连。

正当宁宁拿着这个奇怪的玩具翻来覆去地把玩时,门口传来了爷爷中气十足的吟诗的声音:“两环互相贯为一,得其关捩解之为二,又合而为一。今有此器,谓之九连环。”宁宁一看见爷爷,就连忙凑上前去问道:“爷爷,您怎么来了?这玩具是您带来的?”爷爷笑呵呵地拿过宁宁手中的玩具,一边把玩一边说:“这可不是普通的小玩具,它是中国杰出的益智玩具——九连环。”

你会玩九连环吗?

“九连环?那这个玩具应该怎么玩呢?”宁宁挠挠头,疑惑地问道。

“很简单,只要把九个圆环从这个长柄上解下来就可以了。”爷爷边说边给宁宁演示九连环的拆解方法,“第一个环,在任何情况都能够自由上下。如果某一个环在上面的环柄上,而它前面所有的环都在下面的环杆上,那么这个环的后一个就可以放到上面,也可以放到下面。也就是说,如果我们想把第九个环卸下,那么就要把第八个环留在上面的环柄上,而把前面七个环放到下面,进而把拆解‘九连环转变为拆解‘七连环。”

爷爷继续慢条斯理地总结道:“因此,要想装上或者拆下第n个环(第一个环除外),必须满足两个条件,一是第(n-1)个环在环柄上,二是第(n-1)个环前面的所有环全部不在环柄上。”

爷爷的话和一连串的展示动作让宁宁的思绪和眼睛都乱了,宁宁连忙打断了爷爷:“爷爷,这个九连环的拆解太复杂了。”爷爷摸了摸宁宁的头,笑着说:“其实并不难,你只要记住口诀就行。上俩下一个,再动后一个;上一个下俩,再动后一个。”

听了爷爷的话,宁宁思考了一会儿,说道:“我好像明白了。”说罢,宁宁便拿过九连环,坐在沙发上认真地拆解起来。

可没一会儿,宁宁就拿着拆解了一半的九连环过来向爷爷诉苦:“爷爷,九连环的拆解好麻烦啊。我要是想完全拆解下来,需要多少步啊?”爷爷摸着脸上的胡子,故作神秘地说:“其实这个九连环的拆解步数涉及到一个数学原理,把这个数学原理弄懂了,你就能算出解开九连环所需的步数。”

听了爷爷的话,宁宁顿时来了兴趣,忙问:“爷爷,是什么样的数学原理?”

来,一起揭晓原理

爷爷拿来纸和笔,对宁宁说:“你先在纸上画一个表格,然后我们一起将解开每个环所需的步数记录下来。”

接下来,爷爷就带着宁宁开启了九连环的探索之旅。

爷爷说:“首先,我们假设环的数量为n,解开n连环所需的总步数是Sn,解下第n个环的步数为an。当环柄上只有一个环时,Sn=an=1。”

宁宁一边在表格填上数字,一边思考:“环柄上有两个环的时候,可以直接将第二个环卸下,再卸第一个环。因此,当n=2时,an=1,Sn=2。”爷爷向宁宁竖起了大拇指,称赞道:“不错,接下来你可以自己探索了。”

宁宁一边动手拆解九连环,一边嘟囔着:“有三个环的时候,如果要卸下第三个环,就需要先卸下第一个环,再把第三个环直接卸下。然后为了解下第二个环,需要把第一個环套上,再同时解下两个环。因此,当n=3时,an=2,Sn=5。”

“不错不错。以此类推,我们可以知道要卸下第n个环,就需要先卸下前(n-2)个环,其总步数就为Sn-2。这时,我们再需要一步就可以把第n个环解下,所以卸下第n个环需要an=Sn-2+1步,而为了解下第(n-1)个环,还需要把前面的(n-2)个环套上,套上前(n-2)个环就需要Sn-2步(因为装上和卸下的步骤正好相反,所以步数相同)。最后卸下前面(n-1)个环需要Sn-1步,所以卸下n个环共需要Sn=2Sn-2+ Sn-1+1步。因此,解开九连环所需要的步数就是一道数列题——已知S1=1,S2=2,an=Sn-2+1,Sn=2Sn-2+ Sn-1+1,求Sn(n≥3)。”爷爷接着宁宁的话分析道。

通过计算,宁宁求出拆解一个九连环需要341步。“这么看来,拆解九连环并不难。只是在拆解的过程中,需要不断地将环套上套下,玩家就得倾注耐心,记住步骤。”宁宁感叹道。

爷爷忙不迭地补充道: “这就是拆解九连环的关键。九连环虽然拆解步骤简单,但是它出现后却可以在民间广为流传,盛行不衰,这其中,数学的魅力功不可没呀。”

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