2020全国高考物理1卷压轴题的两个变式及解析

王伟民 辛存良

摘   要：剖析2020全国高考物理1卷压轴题难度不大的原因，增添一些条件将压轴题改编成题目背景相似但难度较大的两个变式问题，并对改编的变式问题进行解析。

关键词：电场;磁场;带电粒子;抛物线;类斜抛运动;圆弧轨迹

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）6-0041-3

1    原题呈现

题目 （2020全国高考物理1卷第25题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图1所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小;

（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？

（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？

这道题是物理卷除了选做题目外的最后一道题，也是整份试卷中单题分值最高的一道题（该题分值20分，占物理总分的2/11），处于压轴题的重要位置。该题目在题干基础上共设置三个分问题，三个小问题由浅入深，层层递进，能够很好地考查学生知识迁移的能力。该题目既注重基础知识的考查，同时也兼顾考生能力高低的区分。高考结束之后，大部分考生和教师对这道题目的总体评价是：题目很经典，作为压轴题，难度比往年的压轴题稍降。

在笔者看来，这道压轴题的难度不高应该是编者的刻意而为。受疫情的影响，全国各地的考生在临近高考的关键时期，高考复习均在农历庚子年的春节之后按下了“暂停键”，本来应该在教室内老师指导下系统复习的学习活动，大多变成了网上学习。尽管有老师在网上的悉心指导，但跟面对面的课堂学习相比，学习效果自然不是很好，不同地域的考生的复习迎考均受到了不同程度的影响。和往年相比，顺延高考和中考时间也是国家为最大限度地挽回疫情对考生学习的影响而出台的一个方案。

实际上，对这道压轴题在总体背景不变的情况下，稍微改换一下题目条件，即可将其改为难度较大的题目。在很多人心目中，“难度大”是压轴题目的一个显著“标志”。

2    该压轴题目的不同变式与解析

变式1 在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图1所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速率沿AB方向进入电场，电场方向与纸面平行。已知以速率v0沿AB方向进入电场的粒子，自圆周上的C点仍以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小;

（2）为使粒子穿过电场后动能的增量最大，该粒子沿AB方向进入电场时的速度应为多大？

分析 该变式给出的问题与原题的不同之处是：题目未限定带电粒子的运动方向与电场方向垂直，所以，从一般情况考虑，在带电粒子只受电场力的作用且初速度不为零的情况下，带电粒子的运动属于类抛体运动，可以先利用题目给出的条件确定电场的方向，之后根据抛体运动的规律进行求解。

解析 在只受电场力的作用，且粒子的初始速度与电场方向不一致也不反向时，带电粒子的运动轨迹是抛物线。因为带电粒子从A点进入电场的速度与它从C点穿出电场的速度大小相同，所以，A、C两点是粒子的抛物线轨迹上相对于对称轴对称的两点，作AC的中垂线，这一中垂线过圆心O，与电场边界交点为D与G（图2），电场方向为从D指向G的方向。

（1）设与AC夹角为θ的初速度v0沿平行于AC和垂直于AC方向的分量分別是vx和vy，带电粒子在电场中的加速度为a（取D至G的方向为加速度的正方向）则有：vx=v0cosθ，vy=v0sinθ

因为： =

所以：a= = =

因此，电场强度为：

E= = = =

（2）如图3所示，这一情况可用类抛体运动来处理。因为在“水平线”AC“之下”，电场边界圆弧 上的各点相比，只有G点到“水平线”AC的距离最大，所以，要满足题目条件，从G点离开电场的粒子穿过电场后动能的增量最大。

设带电粒子由A点以vA的速度沿AB方向进入电场，受电场力的作用沿抛物线轨道运行一段之后刚好从G点以速度vG穿出，设vA和vG垂直于电场方向的分量分别为vAx和vGx，沿电场方向的分量分别为vAy和vGy，则有：

vGx=vAx=vAcos60°= vA，vAy=vAsin60°= vA

由v  =2aMH得： v  =2· ·MH

所以：MH= R

MH+FG= R+R- R=（ +1- ）R

由v  =2a（MH+FG）可得：

v  =2· （ +1- ）R= v  + v  - v

由 = 可得：

解得：v2A= v

跟原题目相比，上面的变式1由于更改了题目条件，将带电粒子在电场内的运动轨迹由原来的类平抛运动变换为类斜抛运动，虽然解题方法类似，但解题过程比原来复杂了许多，题目的难度系数无疑增加了许多。实际上，在原来题目背景材料的基础上，如果我们再增添一些条件，也可将原题变式为带电粒子在电场和磁场中交替运动的综合性题目。

变式2 如图4所示，空间内存在着竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场被约束在竖直截面为相交圆面组成的水平封闭柱形区间内，空间的其余部分为磁场空间。已知各相交圆是半径及圆心距均为R的等圆，各圆圆心在同一条直线上，相邻两电场边界的最近距离为 。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子从两圆O1和O2的边界交点P点处以速度v0水平向右射入，在O2圆上P点的对称点A（PA为一直径）由电场进入外面的磁场，不考虑带电粒子的重力。

图4  电磁场分布图

（1）求匀强电场区域的电场强度;

（2）为使粒子依次进入下一个相邻电场时在电场中运动的轨迹相同，求匀强磁场区域的磁感应强度。

解析 （1）由于不考虑粒子的重力，且粒子的初始速度与电场方向垂直，所以，粒子在电场内的运动相当于重力场中仅受重力作用时物体的平抛运动。如图5所示，由题目条件易知，带电粒子在电场内由P沿抛物线轨道运动至A时，通过的水平距离和竖直距离分别为PM=R和AM= R，所以，粒子由P运动到A需要的时间为t= = 。因此，粒子的加速度为a= = ，所以，电场强度为E= = 。

（2）以P为坐标原点，水平向右的方向为x轴的正方向建立如图5所示的平面直角坐标系，则A点坐标为（R，- R）。所以，以P为顶点的抛物线的解析式为y=- x2，求导得y'=- ，由此可知，抛物线在A点切线的斜率为x=R时的导数值，即k=-2 。

要使带电粒子在后续各相邻电场区域内运动的抛物线轨迹形状相同，带电粒子在相邻电场之间的磁场内运动的轨迹圆弧的圆心必须在相邻两圆O2、O3连心线的中垂线上。如图5所示，设圆O2和圓O3之间的磁场内粒子运动轨迹圆弧的圆心为C，则直线AC解析式的斜率为k'=

- = ，即：tan∠CAD= 。

图5  粒子运动分析图

所以：AC= AD= R

粒子由P运动到A点的速度大小为：

vA= = = v0

由带电粒子在磁场中的运动公式：

qvAB=

可得B= =

3    结  语

2020全国高考物理1卷的这道压轴题背景材料非常新颖，读题后让人耳目一新。但该题给人的总体印象是难度系数不大，解题之后让人有一种意犹未尽的感觉，很多教师也觉得至少从难度上讲这道题的压轴分量不足。本文给出的两个变式题目，其背景材料与原题基本类似，但解题难度相对较大，这说明2020全国高考物理1卷的这道压轴题，已经具备了背景材料精彩，适合编拟看似与往年压轴题难度“相当”的题目。在笔者看来，编者之所以没有根据背景材料编拟成难度很大的题目，应该是基于以下两个方面的考虑：其一，相比于其他学科的考试，物理高考卷一直被大家公认为是所有学科中难度最大的一科，近几年选考物理学科的考生比例逐年减少的现象就是一个例证。在保证试卷有效区分度的前提下，适当降低包括压轴题在内的物理试卷各类型题目的难度，可以使广大考生对“物理难考”的观点有所改善。其二，受疫情的影响，全国各地考生2020年的复习迎考都受到不同程度的影响，所以，压轴题目不能过难也是众望所归。

（栏目编辑    陈  洁）