多径环境下联合时间反演和PCA 降维的阵列幅相误差校正

李方伟，鲁佳文，王明月

（重庆邮电大学通信与信息工程学院，重庆 400065）

1 引言

波达方向（DOA,direction of arrival）估计是阵列信号处理中的一个重要研究课题，在雷达、声呐、通信和医疗等领域发挥着重要作用[1-3]。DOA 估计算法主要分为传统法、子空间法和最大似然法，其中，子空间法因具有高分辨性的显著优势受到了产业界和学术界的广泛研究。在实际应用场景中，接收阵列流型往往会存在一定的幅度误差和相位误差，即幅相误差。而子空间法的高分辨率依赖于精确获知接收阵列先验信息，阵列幅相误差的出现会恶化此类方法的DOA 估计性能[4-5]。因此，如何有效降低或消除幅相误差对子空间法DOA 估计的影响仍是一项重要且具有挑战性的任务。

针对阵列幅相误差导致子空间法DOA 估计不精确的问题，目前已提出多种校正方法，主要分为两类。第一类是自校正类方法，这类方法根据某种优化准则联合估计信号源的方位和阵列幅相误差扰动因子。其优势在于不需要设置方向及角度已知的辅助阵元，但需要求解高维、多模的非线性优化问题，求解过程计算复杂度高且无法保证全局收敛。第二类是有源校正类方法，该类方法通过设置方向角度精确已知的辅助阵元对阵列误差参数进行测量或估计。其优势在于误差校正精度较高且计算复杂度相对较低，但需要设置已知方位信息的辅助阵元。有源校正类方法具有较高校正精度和较低计算复杂度，在实际工程中得到了广泛的应用，本文也将研究此类方法。

同时，有源校正类方法与自校正类方法大都以信号源非相干条件为前提，很少考虑信号源的多径传播问题。然而，在实际的无线通信环境中无法完全避免多径传播，尤其是在富散射环境中多径效应使信号源相干性大大增强，此时相干信号源的存在将导致阵列幅相误差校正性能不理想[6]。国内外学者针对多径环境下的幅相误差校正问题进行了研究，王布宏等[7]构造了一个多径环境中的阵列幅相误差校正代价函数，并通过遗传算法实现了阵列幅相误差校正。王鼎等[8]研究了多径条件下针对乘性阵列误差参数的有源阵列校正算法，并推导了不同矩阵模型的求解公式。Sippel 等[9]提出了一种使用非相干发射标校正耦合误差的校正算法，该算法通过采用阵列近场内随机参考点定标以减少多径效应的影响。但上述算法存在计算复杂度较高或误差校正精度较低等问题，设计适用于多径环境的复杂度低且校正精度高的算法是目前的研究难点。

时间反演（TR,time reversal）利用时间反演信道的脉冲响应作为发射机的匹配滤波器，借助周围环境丰富的多径实现了空时同步聚焦[10-11]。基于这一聚焦特性，将TR 技术应用于复杂多径环境中能有效抑制多径效应并降低信号源的相干性，进而提高阵列幅相误差校正算法的精度。在上述分析的基础上，本文结合主成分分析（PCA,principal component analysis）提出了一种适用于多径环境的TR降维阵列幅相误差校正算法，该算法通过TR 技术有效抑制了多径效应，减小了算法的均方根误差并提升了算法的分辨率，同时利用PCA 思想降低了算法的复杂度，进一步优化了系统性能。

2 系统模型

本文所提阵列幅相误差校正算法以多径环境下的阵列幅相误差校正模型为应用场景，如图1 所示。图1 中包括一组阵元数目为M的均匀线性阵列，前P个阵元是精确校正过的（即辅助阵元）。为避免产生阵元间干扰，将每个阵元的间距设置为相干距离d=λ/2，阵元与目标物体之间的多径条数为K。整个传输信道为频率选择性衰落信道，衰落系统服从于均值为0、方差为 2σ2（σ2为每个实数维上的方差）的循环对称复高斯分布。

图1 多径环境下的阵列幅相误差校正模型

首先，天线阵列中已精确校正过的阵元对传播空间发射一个已知的探测信号，目的是获取传播空间中的信道状态信息；然后，阵列第m个阵元接收到的信号可表示为

其中，rm(t)为基站天线阵列中第m个阵元所接收到的回传信号，Xk为第k条多径信号的衰减系数，f(t-τ1,k-∇τ1,m,k)为信号f(t)的时延，τ1,k为多径k相对于第一个阵元的参考时延，∇τ1,m,k为多径k中超过τ1,k的阵元间时延，nm(t)为传播过程中产生的加性白高斯噪声。

对接收到的信号进行傅里叶变换，式(1)可以表示为

其中，Rm(ω)、F(ω)和Nm(ω)分别是rm(t)、f(t)、和nm(t)的傅里叶变换形式。改写成更紧凑的向量形式为

3 算法设计

本节主要从相干性消除、导向矢量修正和PCA降维误差校正三方面对所提算法进行阐述。

3.1 TR 消除信号相干性

通过TR 技术对R(ω)进行频域共轭和能量归一化处理可得

其中，g为能量归一化因子，计算式为

首先，简化多径环境。设阵元数M=3，多径数目K=2，阵列的第一个阵元发送前向探测信号。由式(9)可得

3.2 存在误差的导向矢量修正

3.1 节介绍了无误差阵列DOA 估计模型。但在实际工程应用中，阵列会普遍存在误差，且大都是幅相误差，本节主要分析含有幅相误差的阵列误差校正模型。设第n个阵元的幅度误差为μn，第n个阵元的相位误差为φn。设前P个阵元没有误差，将第一个无误差阵元作为参考阵元，幅相误差矢量可以表示为

其中，幅度误差μn和相位误差φn为[13]

其中，βn和ηn都服从[-0.5,0.5]的均匀分布，σμ和σφ分别是相应的方差。当幅相误差存在时，阵列导向矢量需要修正为

其中，E(θk)为幅相误差对角矩阵。相应地，当存在幅相误差时，阵列流型矩阵则需被修正为

经过精确校正后的阵元不存在误差，因此这些阵元所对应的幅相误差矢量中相应的值为1。为便于处理，将幅相误差对角矩阵和阵列导向矢量进行如下分块变换。

其中，vecd(·) 表示把括号里面的对角矩阵的主对角元素重构成列向量；a1(θ)表示a(θ)中前P个精确校正过的阵元所对应的导向矢量，a2(θ)表示a(θ)中M-P个存在幅相误差的阵元所对应的导向矢量。至此，修正后的阵列导向矢量可以表示为

3.3 PCA 降维误差校正

4 仿真分析

4.1 空间谱分析

本节采用MATLAB 工具对本文所提算法进行仿真验证，在实验中所设置的天线阵元数M=10，每个阵元间距为dmin=λ/2，dmin是信号的最小波长。在TR 前向探测阶段中，探测信号的调制方式为线性频率调制，载波频率fc=200 MHz，带宽B=20 MHz，其他参数如传播时延和衰减因子等根据IEEE 802.3 标准中的参数设置。为确定PCA 降维之后的维数，本文分别仿真了不同维度下的均方根误差（RMSE,root mean square error）、分辨成功率及运行时间并制成散点图，最后用MATLAB 工具拟合成光滑曲线。本节所有仿真都根据蒙特卡罗方法来模拟实际场景，一般蒙特卡罗仿真次数设置为500 次，以使仿真具有可靠性和稳健性。定义角度估计阶段的RMSE 为

其中，T为蒙特卡罗仿真次数，θt为真实DOA 值，为第t次试验中第n个信号的DOA 估计值。

分别对不同维数下所提算法的均方根误差、运行时间和分辨成功率进行仿真（主要通过设置不同的维数来获取仿真结果），结果如图2 和图3所示。

图2 所提算法在不同维数下的均方根误差与运行时间

图3 所提算法在不同维数下的分辨成功率和运行时间

从图2 和图3 中可以看出，随着维数增加本文所提算法的均方根误差逐渐减少且分辨成功率逐渐增加，这是因为，维数越低PCA 步骤中的重构矩阵Rnew所含关键信息越少，进行估计时误差越大；算法的计算量也会随着矩阵维数的降低而变少，相应地，算法的运行时间将会降低。

综合考虑均方根误差、分辨成功率和运行时间3 种因素之后，本文算法将PCA 降维之后的维数设置为6。维数为6 时算法的均方根误差较低，分辨成功率能达到80%以上且运行时间在可接受范围内。为了对比算法性能，仿真中还加入了传统ISM算法和文献[14]所提的ESPRIT-ISM 算法作为对比。ESPRIT-ISM 算法在幅相误差校正中的应用场景与本文算法十分接近，校正效果可观且复杂度不高，在近几年相关的校正算法中有较强的代表性。

误差校正前后的空间谱如图4 所示。在此仿真实验中，信噪比SNR=0，入射信号真实角度值设置为{-20◦,0◦,20◦}，幅度误差服从均值为0、方差为σμ=0.4的随机分布，相位误差服从均值为0、方差为σφ=20的随机分布。

图4 误差校正前后的空间谱

从图4 可以看出，由于存在幅相误差，校正前的信号空间谱幅度比校正后的幅度小，且谱峰不如校正后尖锐，同时校正前的信号的谱峰最大值所对应的入射角度与真实角度间存在偏移。采用所提算法对信号进行校正以后，信号空间谱的峰值幅度更明显且谱峰也更加尖锐，与真实入射角的值更加接近，验证了所提算法的误差校正效果。

4.2 误差与分辨成功率

在进行误差分析前，需要引入一个对比参考量，即克拉美罗下界（CRLB,Cramer-Rao lower bound）。CRLB 用于计算无偏估计中能够获得的最佳估计精度，可为任何无偏估计量的方差确定一个下限，即不可能求得方差小于下限的无偏估计量，本文所设计系统的估计误差只能无限接近这个下限，在理想状况下可以达到这个下限值，与CLRB 越接近，估计的性能越好。定理1 用于求解本文理论CRLB。

定理1任何无偏估计量的方差必满足

由于本文估计量ˆθ也是无偏估计量（证明详见附录1），根据上述定理可以得到所提算法的CRLB 为

其中，E为导数矩阵，如式(48)所示。

本文所提算法在不同多径条件下的均方根误差随信噪比的变化如图5 所示。从图5 可以看出，所提算法在多径数为4 时已经有较好性能。但随着信噪比上升，多径数的增加对算法性能的提升并不明显，此时不同多径条件下的均方根误差曲线接近重合。为了保证算法的有效性和运行效率，在后续仿真中将多径数设为4。

图5 所提算法在不同多径条件下的均方根误差随信噪比的变化

传统ISM 算法、ESPRIT-ISM 算法和所提算法在多径数为4 时均方根误差随信噪比的变化如图6 所示。从图6 中可以看出，在低信噪比情况下，所提算法的误差比另外2 种算法低。3 种算法的均方根误差都会随着信噪比的增加而下降，但所提算法利用TR 技术独特的空时聚焦特性有效抑制了多径效应，在多径环境下可以降低信号源相干性，因此均方根误差始终与CRLB 最靠近。

图6 均方根误差随信噪比的变化

分辨成功率与信噪比以及快拍数的变化关系分别图7 和图8 所示。定义每次估计的角度值与真实值相差小于±1°时为分辨成功。从图7 和图8 中可以看出，3 种算法的分辨成功率都会随着信噪比和快拍数的增加而提升。但是在低信噪比和低快拍数区域，影响算法性能的主要因素是多径时延扩展及对信号源位置信息的捕获程度。由于所提算法运用TR 技术的聚焦特性来获取目标的多径信息，并有效降低了多径效应的作用，在低信噪比和低快拍数情况下的分辨成功率也能达到较高水平。但随着信噪比和快拍数的增加，多径效应对系统性能的影响不再占有主导地位，3 种算法的分辨成功率达到近似水平。

图7 分辨成功率随信噪比的变化

图8 分辨成功率随快拍数的变化

4.3 校正误差估计值对照

表1～表4 是使用所提算法后，在信噪比SNR=0 和SNR=10 dB 情况下的幅度误差估计值及相位误差估计值与所对应的真实值之间的对照。阵元编号为5～10，前4 个阵元作为参考阵元（不存在误差）。从表1～表4 可以看出，所提算法能有效估计幅度误差与相位误差，且误差估计值和误差真实值之间的差距会随着信噪比的增加而减少。

表1 幅度误差估计值对比（SNR=0）

表2 幅度误差估计值对比（SNR=10 dB）

表3 相位误差估计值对比（SNR=0）

表4 相位误差估计值对比（SNR=10）

4.4 复杂度分析

计算复杂度是衡量算法性能的一个重要指标，本节主要分析3 种算法的复杂度，其中一次复数乘法作为一个计算复杂度的单位。3 种算法所对应的主要计算复杂度如表5 所示，其中，M、N、L、Q分别是天线阵元数、待估计的信号数、采样快拍数和PCA 降维后的维数。

从表5 可以看出，3 种算法的主要计算复杂度来源于特征分解和求协方差矩阵，特征运算会产生约M3的计算复杂度，TR 部分产生的主要计算复杂度为4MN。所提算法在PCA 降维部分会多进行一次特征运算，但降维之后维数发生改变，相应地，算法的复杂度也会改变，总体来看，所提算法的计算复杂度低于对比算法。

表5 不同算法的主要计算复杂度

5 结束语

针对多径环境下信号源相干性增强从而使幅相误差校正算法精度不高的问题，本文提出了一种基于TR 的PCA 降维幅相误差校正算法。首先通过TR 技术抑制多径效应以降低DOA 信号源的相干性；然后通过PCA 使TR 重构矩阵维数降低以减少计算量；最后推导出相应的DOA 参数和误差的表达式，并对含有幅相误差的信号进行校正分析。仿真结果表明，所提算法能够以较低复杂度对阵列幅相误差进行有效校正，且在低信噪比和低快拍数情况下也能保持较高的分辨成功率。

附录1 算法无偏估计量的证明

将本文算法的估计量记作θˆ，将每次估计的值记作为估计量的均值，并将真实方差记作σ2，真实均值记作μ。若此时用式(49)来估计总体方差

求式(50)的均值，可表示为

由式(53)可知，E(s2)为σ2的无偏估计，即所提算法估计量为θ的无偏估计量。

证毕。