高中数学抽象的特征、评价与培养

摘   要

数学抽象具有符号化、模型化、量化特征，它有助于培养学生能够从一般意义和方法上进行思考，发展理性思维，提升抽象概括能力。教师可以从概念教学、问题解决、总结反思等教学环节来培养学生数学抽象的学科关键能力，通过学生在数学活动中的表现来进行评价，实现学科育人价值。

关键词

数学抽象  学科价值  评价标准

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养[1]。它是数学最本质的特征之一，贯穿于数学发生、发展和应用的整个过程。数学抽象主要是从数量与数量、图形与图形的关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，并用数学语言表征出从具体的事物背景中抽象出的一般规律和结构。高中数学抽象素养的培养需要一个渐进的过程：教师首先要对数学抽象的特征、表现形式、育人价值等有比较清晰准确的理解和认识;其次要明确在数学教学中培养学生的数学抽象能力是落实抽象素养的根本途径;最后要将数学抽象的各种表现形成课程资源，通过科学合理的个性化的教学设计在教学活动中达成数学抽象素养的培养。

一、数学抽象的学科价值

数学对象是思维的产物，而数学抽象又是数学思维形成的基础和重要途径。数学抽象促进了数学概念和数学关系的建构，推动了数学学科的产生和发展。数学概念是经历若干次抽象，隐去其现实意义形成的一种思维的产物;数学法则、公式是通过对一类对象的共性进行概括抽象而成;数学建模则是对对象从量的方面进行抽象概括所得。

在数学的教与学过程中，数学抽象让知识和思维方式具有更广泛的适用性，有助于学生数学知识和数学思想的进一步发展;有助于学生思维方式的进一步改善和提升，提高其思维品质，使其能够更好地透过现象看到数学的本质，发展自己的数学核心素养。学生在不同的数学情境中进行抽象，得到数学概念、规则和命题、思想方法和知识结构体系，厘清数学对象的来龙去脉及形成方式，积累从具体到抽象的活动体验，理解数学对象的含义并把握其本质属性，在更高的层面上理解数学知识的结构，形成自觉地从一般化角度思考问题的习惯，不断提升抽象概括能力，进一步发展理性思维。只有学生具备了较好的思维能力和数学抽象素养，才能在获取知识的同时发展创新能力和高阶思维能力，才能够具备良好的数学抽象素养，完善学科关键能力。

二、数学抽象的基本特征

1.符号化特征

数学抽象研究事物或现象的量的关系和空间形式，其结果就是用数学符号作为数学思维活动的载体，进行数学思想交流与传播，使得事物或现象关系表述变得统一、简洁、有序。例如，研究一个对象随着另一个对象的变化而变化的变化规律，就抽象为函数的单调性，具体的符号化语言就描述为“设函数f（x）的定义域为I，区间D？哿I：如果？坌x1，x2∈D，当x1f（x2） ）那么称函数f（x）在区间D单调递增（减）”。在数学教学中，数学抽象的符号化特征可以培养学生抽象思维能力。学生在具体的学习环境中逐步感受和理解抽象的符号化特征，感受数学抽象以简驭繁高度概括的能力，并能在问题解决过程中合理地使用数学符号，合乎逻辑地进行数学推理。

2.模型化特征

数学研究对象是现实世界中的事物，它是多变而又是多样的。只有把研究对象通过数学抽象进行模型化，才能通过一般模型化进行问题研究。如自然界中的日出日落，寒来暑往等周而复始现象，我们可以把这种现象理想化为周而复始的变化，进而模型化为单位圆圆周上的点的圆周运动模型来进行问题研究。这是对研究对象通过理想化进行简化，在事物的直接模型上抽象出一般模型，在一般模型的研究基础之上，建立数学抽象关系。在教学中，数学抽象的模型化特征能够提高学生思维水平，促进学生智慧的发展。

3.量化特征

数学抽象是从数量关系上揭示客观事物的本质及规律的一种研究方法，是逐层抽象不断发展的。如函数概念的抽象，就经历了从客观世界中的事物对应关系量化为数量的对应关系，再从初中变量对应关系转变到高中的非空数集上的实数对应关系的过程。具体事物量化为变量是量化的结果。变量抽象为实数，变量说过渡到实数对应说，是函数概念分层抽象的结果。数学教学中数学抽象的量化特征能够促进学生高阶思维的产生，促进创新思维的发展。

三、数学抽象的评价标准

喻平教授参照布卢姆学习评价模型、PISA学习评价模型和SOLO学习评价模型，提出将数学素养评价划为知识理解、知识迁移和知识创新三种形态的理论构想[2]。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课程标准》）给出数学抽象素养的三级水平（见表1）。

按照《课程标准》给出的三级水平标准和喻平教授的构想，在实际操作层面，我们可以把数学抽象素养的评价简化为表2的三级形态。这三级形态是呈金字塔的进阶形态，基层底部是数学抽象对基础知识的理解，中间是通过数学抽象形成知识的迁移，顶层设计是通过数学抽象达到知识创新的目的，如图1。

四、数学抽象能力的培养策略

1.重塑概念形成过程

概念教学是数学教学的重中之重。概念的形成过程是经历丰富的感性认识到深刻的理性认识的转变，需要经过多层次的分析、比较、抽象和概括，因此，数学概念的形成过程是最典型的数学抽象的过程[3]。在教学中，教师利用数学典型概念，进行个性化设计，引导学生经历一次完整的数学概念的抽象过程：辨别（刺激模式）→分化（各种属性）→類化（共同属性）→抽象（本质属性）→检验（确认）概括（形成概念）→形式化（符号表达）[4]，形成数学抽象的基本路径，在具体概念的形成中学会数学抽象。从辨别到概括是第一次抽象，用自然语言对概念进行直观描述;从概括到形式化是第二次抽象，用数学符号对概念进行严格表征。

例如导数概念的教学，首先是对一个实例进行属性分析，引导学生发现高台跳水运动员的平均速度的变化特点：若时间间隔越来越小，则在某一时刻的平均速度就会越来越趋近于某个常数，即运动员在这一时刻的瞬时速度，并从物理角度给出符号表示。然后再对抛物线割线逼近切线问题进行属性分析，探讨切线斜率的意义，并从数学的角度给出符号表示。在上述过程中，学生会发现两类不同背景的问题形式表达的一致性，完成第一次抽象。去掉瞬时速度的物理背景和曲线切线斜率的几何背景，抽象出瞬时变化率的本质属性，得到导数的概念并用符号表示，实现第二次抽象。

2.构建数学结构问题链

概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方式，以抽象为基础，是抽象的发展[5]。数学抽象性在逐级抽象、逐次提高的过程中，总是伴随着概括。

例如在推导两角差的余弦公式的教学中，通过两个诱导公式：

引导学生探究特殊角“”和“”的去向，猜想得到：

通过对cos（）与cos（）的结构进行考察联想，引导学生归纳和概括出它们应该有相同的展开形式这一共同特征，这是对数学结构特征的一次概括抽象。学生进一步感受，一个有余弦之积，一个有正弦之积，又感觉应该有相同的形式，那么这个相同的形式就应该是余弦之积、正弦之积都有。得到：cos（？仔-？琢）=cos？仔cos？琢+sin？仔sin？琢，cos（）=cos cos+sin sin，这是从③④两式的考察中寻找到的共同特征，是在①②两式抽象基础上的概括，是抽象的发展，揭示出①②两式的本质特征。

我们还可以在学生学习的不同阶段，依据不同内容形式来培养学生的归纳概括能力，不断发展学生的数学抽象素养。例如在章节复习课中，通过引导学生归纳总结知识和方法，培养锻炼学生的提炼和概括能力，而解题方法的迁移往往也是一种数学抽象。在解题教学中，一方面，通过一题多解、一题多变，引导学生从不同视角认识问题，同一个问题抽象为不同的数学模型;看似不同的问题，抽象出同一个数学模型，不断强化数学抽象思维的培养，提升解决问题的能力。

3.酶化数学思想

学生能够领悟蕴含在知识中的数学方法，形成理解和分析问题的学科思维能力是数学核心素养生成的最高表现[6]。一方面，通过情境或问题设置，让学生在自主探究的思维活动中联想和應用已经掌握了的数学思想方法，提高数学抽象能力。通过数学思想方法的运用，从起点上发展学生数学抽象素养。例如在两角差的余弦公式的证明方法的思考过程中，引导学生回顾cos（）=sin？琢的证明后，对“单位圆法”的抽象概括是将方法模式化的一种抽象表现。另一方面，教师要帮助学生积累形成数学思维能力的方法与思想，如联想与概括、特殊到一般、数形结合、划归与转化等等。例如对于函数奇偶性的学习，完全可以引导学生从学习函数单调性的方法展开：从图像特征到两点刻画再到函数值关系的抽象;椭圆几何性质的探究可以从圆“均匀压缩”为椭圆抽象展开。学生既可以体会从已有知识到新知识的抽象过程，也可以借助抽象完善对知识体系与结构的认识与理解。借助知识特征与相应的数学方法与思想，可以不断提升数学抽象的能力和水平，逐步加深对知识本质的认识和理解。

爱因斯坦曾经说过，教育无非就是将所有学过的东西都遗忘后所留下来的东西。对数学教育来说，学生遗忘的是那些具体的数学知识，而留下来的就是他已经具有的数学素养。数学抽象素养是一种内在的思维品质与能力，只有转化为外在的学习行为时我们才能观察到学生数学抽象素养的形成和发展情况。只有将数学抽象素养同具体的数学学习活动联系在一起，我们才可以根据学生在解决问题中的表现，来有效地评价学生的素养水平。数学抽象素养的培养也绝非一朝一夕之功，在教学中只有持之以恒地创设有利于数学抽象素养形成的活动，学生的数学抽象素养才会持续稳定地发展。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：4.

[2] 喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017，26（02）：20-23.

[3] 张金良.解密数学抽象，探索教学策略[J].数学通报，2019，58（08）：23-26+封底.

[4] 蒋海燕.中学数学核心素养培养方略[M].济南：山东人民出版社，2017：52.

[5] 郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1996：101.

[6] 蒋智东.指向学生数学思维素养发展的教学实践与思考[J].中学数学月刊，2020（09）：48-51.

【责任编辑  郭振玲】