一类半线性抛物方程解的微分Harnack不等式*

孔萃娴,吴 慧

(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市)

本文研究半线性抛物方程的 Cauchy 问题

(1)

其中q>1,ω0(x)≥0,h(t) 及其导数h′(t) 都是非负的.

文献 [4,5] 表明微分 Harnack 不等式在抛物型问题的研究中是十分重要的.微分 Harnack 不等式的应用包括推导 Hölder 连续性,获得热核的 Gaussian 界等一些重要结论. Li P和Yau S T[3]对微分 Harnack 不等式的研究方法被 Hamilton 引入几何流的研究中,并且在 Ricci 流的研究中发挥了重要的作用[2].

1 主要结果

定理1 设(1)式存在一光滑正解ω(x,t):n×(0,+∞)→(0,+∞)，并且l=lnω,存在常数ρ,σ,a,c0,d满足

(2)

(3)

那么对所有的t,有

(4)

第2节中将证明定理1,第3节将给出 Harnack 估计的应用.

2 微分 Harnack 估计

本节首先对微分 Harnack 估计进行推导.定理1的证明主要运用极值原理.本文主要研究下式

H:=ρΔl+σ|∇l|2+c0h(t)el(q-1)+φ(x,t),

(5)

其中ρ,σ,c0∈且φ:n×[0,+∞)→[0,+∞) 待定.

引理2.1 设ω(x,t)∈C∞(n×[0,+∞)) 是(1)式中的光滑正解,l(x,t):=lnω,H定义见 (5)式.有

Ht=ΔH+2∇H·∇l+(q-1)h(t)el(q-1)H+2(ρ-σ)|∇∇l|2+

(ρ(q-1)+σ-c0q)(q-1)h(t)el(q-1)|∇l|2+c0h′(t)el(q-1)-

(q-1)h(t)el(q-1)φ+φt-Δφ-2∇φ·∇l.

(6)

证明因为l(x,t):=lnω，则ω=el代入 (1) 式得

lt=Δl+|∇l|2+h(t)el(q-1).

对Δ-算子计算如下

Δ|∇l|2=2∇l·∇Δl+2|∇∇l|2.

(7)

(5)式两边关于t求导,得

Ht=ρ(Δl)t+σ(|∇l|2)t+c0(h(t)el(q-1))t+φt.

(8)

经过计算,得

∂t(Δl)=Δ(Δl)+Δ|∇l|2+(q-1)2h(t)el(q-1)|∇l|2+(q-1)h(t)el(q-1)Δl,

∂t(|∇l|2)=2∇l·∇Δl+2∇l·∇|∇l|2+2(q-1)h(t)el(q-1)|∇l|2,

∂t(h(t)el(q-1))=h′(t)el(q-1)+(q-1)h(t)el(q-1)(Δl)+(q-1)h(t)el(q-1)|∇l|2+

(q-1)h2(t)e2l(q-1).

利用以上式子以及(7),(8)式可化为

Ht=ρ[Δ(Δl)+2∇l·∇Δl+2|∇∇l|2+(q-1)h(t)el(q-1)Δl+(q-1)2h(t)el(q-1)|∇l|2]+

σ[Δ|∇l|2-2|∇∇l|2+2∇l·∇|∇l|2+2(q-1)h(t)el(q-1)|∇l|2]+

c0[h′el(q-1)+(q-1)h(t)el(q-1)Δl+(q-1)h(t)el(q-1)|∇l|2+(q-1)h2(t)e2l(q-1)]+φt.

(9)

由于

ΔH=ρΔ(Δl)+σΔ(|∇l|2)+c0Δ(h(t)el(q-1))+Δφ=

ρΔ(Δl)+σΔ(|∇l|2)+c0(q-1)h(t)el(q-1)((q-1)|∇l|2+Δl)+Δφ,

且∇H=ρ∇(Δl)+σ∇(|∇l|2)+c0∇(h(t)el(q-1))+∇φ=

ρ∇(Δl)+σ∇(|∇l|2)+c0(q-1)h(t)el(q-1)∇l+∇φ,

进而有H=ρΔl+σ|∇l|2+c0h(t)el(q-1)+φ.

整理 (9)式 即可得 (6)式.

定理1的证明定义n空间中的n维矩形区域定义为:φD:D×(0,+∞)→(0,+∞).设

(10)

对应于 (5) 式,有

HD:=ρΔl+σ|∇l|2+c0h(t)el(q-1)+φD(x,t).

当D→n时,HD→H0.当xi→pi,qi或者t→0 时,φD→+∞,HD>0.假设存在第一个时间t0和点x0∈D,使得HD(x0,t0)=0.因此,在 (x0,t0) 处,有

(HD)t≤0,∇HD=0,ΔHD≥0,

(11)

0≥(HD)t=ΔHD+2∇HD·∇l+(q-1)h(t)el(q-1)HD+2(ρ-σ)|∇∇l|2+

[ρ(q-1)+σ-cq](q-1)h(t)el(q-1)|∇l|2+ch′(t)el(q-1)-

(q-1)h(t)el(q-1)φD+(φD)t-ΔφD-2∇φD·∇l≥

c0h′(t)el(q-1)-(q-1)h(t)el(q-1)φD+(φD)t-ΔφD-2∇φD·∇l.

(12)

将 (11)式代入(12)式的最右端并设X=h(t)el(q-1)和Y=|∇l|2,结合条件得

c0h′(t)el(q-1)-(q-1)h(t)el(q-1)φD+(φD)t-ΔφD-2∇φD·∇l=

ch′(t)el(q-1)-(q-1)XφD+(φD)t-ΔφD-2∇φD·∇l=

(13)

根据条件(2)式可得

(14)

由(14)式可得(13)式最右端式子的前4项都是非负的.

利用均值不等式得

(15)

由于(13)式的前4项非负,结合(15)式即可得

(16)

经过计算,有

(17)

(18)

(19)

将(10),(17)和(18)式代入(19)式的左端得

由(3)式得Aa2edt-da>0.由于a,b满足

则(19)式成立.由定理1.1中ρ,σ,a,d,c0的取值范围得到(13)的最右端恒正,得到矛盾.假设解在n空间中存在,令pi→-∞,qi→+∞,则定理1得证.

3 应 用

本节将沿着时空路径对微分方程 (3) 进行积分,得到经典 Harnack 不等式.

(20)

其中x1,x2∈n,0

证明定义函数μ(t)=(x(t),t),其中t∈[t1,t2].函数μ为 (x1,t1),(x2,t2)∈n×[0,+∞) 与 0

沿着μ对u进行计算

其中ρ≥2σ且ρ≥c0.因此,有

对不等式积分,沿μ取下确界,有

即

(21)

将l=lnω代入 (21),经过计算,得

整理上式可得 (20)式.