非线性聚集粒子群算法求解音圈电机PID优化问题

宋阿妮，包贤哲

（湖北工业大学 电气与电子工程学院，湖北 武汉 430068）

0 引言

音圈电机[1⁃6]系统以其结构简单、体积小、高速、高加速、响应快、便于控制、行程大等诸多优点广泛应用于电机位置控制以及精密加工机床各个领域中[7⁃9]。音圈电机是由磁体和线圈两部分组成的单相两极装置，音圈电机推力系数恒定，推力波动小，所以提高系统精度主要还是集中在控制系统的设计上。现阶段PID 控制是其最常见的控制方式，但使用PID 控制时存在参数不精确、难以快速整定等问题，精确求解特定情景下音圈电机的PID 参数能够显著提升音圈电机的性能和稳定性，具有重要的研究意义。

随着技术成熟，出现了众多新型音圈电机控制方法，如文献[10]采用基于PWM 波的控制方式提高电机精度，但很容易受到干扰，稳定性较差。文献[11]则采用驱动芯片数字驱动控制系统，该方法涉及的硬件成本高、系统复杂，不适用于小型音圈电机系统。文献[12]结合模糊控制与PID 控制的方式提高音圈电机性能，实验表明了其有效性，但模糊控制参数设定复杂且其响应速度仍有提升空间。现阶段音圈控制系统的方法繁多，但通过对比可以看出，PID 控制法仍然具有成本低、效果好、操作简单等明显优势。对PID 控制加以改进可以有效提升音圈电机的稳定性和精确度，是最适合音圈电机控制的方法之一。

国内外学者对该方法做过许多研究，如文献[13]通过嵌入混沌映射提出一种CBBO 算法，能够有效减少PID 控制器的误差；文献[14]提出一种基于天牛群优化算法的PID 最优控制策略，运用于实际算例中，算法有效避免了系统震荡；文献[15]提出一种改进的自适应萤火虫算法来求解PID 三个参数并进行了仿真验证；文献[16]针对自动驾驶问题设计了一种PSO⁃RBFNN⁃PID 控制器并进行了仿真，仿真结果表明其相对单一算法拥有更好的控制精度和稳定性；文献[17]结合遗传算法和模糊规则提出一种新的优化方式；文献[18]采用遗传算法优化板球系统中的PID 参数；文献[19]采用在线识别实时收集数据实现了自适应PID 控制；文献[20]在专家经验模糊控制规则的基础上用智能化算法进行规则优化，实现模糊PID 控制；文献[21]首次提出了模糊RBF 神经网络控制与PID 控制相结合的可调参数PID 控制算法；文献[22]将施加Levy 飞行特征的灰狼算法[23]对PFC⁃PID 进行参数整定，其应用效果较好；文献[24]采用非线性PID控制器控制气动执行器的定位和跟踪；文献[25]提出一种自调节非线性PID 控制策略来提高气动执行机构的控制精度；文献[26]运用改进蚁群算法克服高速长网纸机PID 参数难以整定的问题；文献[27]通过改进蚁群解决了中央空调冷冻水系统控制鲁棒性变差的问题；文献[28]提出了一种基于扩展状态观测器（ESO）的自适应超加捻非线性分数阶PID 滑模控制策略，实验表明其拥有较强的鲁棒性；文献[29]结合自适应神经模糊推理系统和分数阶PID 控制来提高系统的稳定性，仿真实验证明该方法具有较低的上升率和较好的执行性能。

虽然现有的音圈电机改进的PID整定方法都有一定的效果，但仍然存在参数设置复杂、收敛速度慢、精度不高等问题，对此提出一种非线性聚集粒子群优化（Nonlinear Aggregate Particle Swarm Optimization，NAPSO）算法，该算法通过非线性策略改进惯性权重，提高算法收敛精度，并采用聚集策略将粒子群分阶段采用不同的进化公式进化，以平衡算法的全局和局部搜索能力，扩大前期搜索范围，加快后期的收敛速度，最后将算法运用于音圈电机PID 整定中，证明了该算法在音圈电机PID 控制中的有效性，对音圈电机PID 参数整定问题有良好的适应性，能够高效控制音圈电机，减小其系统误差。

1 问题分析与模型建立

音圈电机的工作原理为在线圈上施加电压产生电流，在磁场中产生安培力驱使电机运动。其良好的特性和较高的精度适用于各种高精度定位设备，根据音圈电机的机械结构特性，从能量转换和守恒角度分析音圈电机控制部分的数学模型。

当线圈中通以电流i，周围磁场强度为B时，放在磁场中的N根导线受到的电磁力为：

电动力F驱使音圈电机运动，切割磁场产生反电动势：

式中v表示音圈电机切割磁感线的速度；Bδ，L都为不变常量。根据式（2）及音圈电机工作原理可以画出音圈电机的等效电路图如图1 所示。

图1 音圈电机等效电路图

根据图1 信息可知，回路等效电阻为Rc，等效电感为Lc，两端电枢电压为U，在考虑稳态情况下的音圈电机可以得到稳态回路方程为：

但在实际过程中，音圈电机是处于动态状况的，所以无法忽略电感电压，动态情况下回路方程为：

音圈电机既受到电磁力也受到静摩擦力，电机运动必须要克服静摩擦力，除此之外还要克服惯性力，根据牛顿第二定律惯性力为：

式中：m表示动子的质量；a表示动子加速度；v则表示动子的速度。

设动子受到的动摩擦力为Fm，则联立式（5），动子受到的作用力为：

式中kz为摩擦力系数，动子速度可表示为：

音圈电机工作依靠安培力，安培力的大小正比于电流大小，根据电机动力学方程联立可得：

将得到的方程组（8）进行拉普拉斯变换，并消去中间变量即可得到音圈电机电压与位移之间的传递函数：

根据式（9）的音圈电机的传递公式可以画出音圈电机系统模型图如图2 所示。

图2 音圈电机系统模型

得到音圈电机的传递函数后即可开始PID 参数的整定，PID 的一般表达式为：

式中：Kp为比例系数；Ki为积分系数；Kd为微分系数。需要通过调节三个系数的数值使音圈电机系统能快速达到稳定状态。

对于一个PID 控制系统，通常评判其控制性能的参数有上升时间、超调量、时间乘绝对误差积分、时间乘误差平方积分以及绝对误差积分等，为了能够准确反应系统控制性能，采用多种指标结合的检验方式：

式中：Tup为上升时间；η为超调量。

2 改进的粒子群算法

2.1 传统粒子群算法

粒子群优化算法是由Eberhart 博士和Kennedy 博士发明的模仿鸟群捕食行为的一种智能搜索算法，其运用十分广泛[30⁃34]。每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟，称之为“粒子”。所有的粒子都有一个由函数决定的适应度值，同时还有决定他们飞行方向和距离的速度量。所有粒子在空间中不断改变速度和方向直到搜寻到最优解，速度进化公式为：

式中：Vnp表示第n个粒子的第p维；ω为惯性权重，可以调节算法的全局和局部搜索能力；C1,C2为常数，一般取[0,4]之间；Knp表示第n个粒子历史最优个体的第p维；Kgp则表示全局最优个体的第p维。粒子根据此公式每迭代一次更新一次前进速度：

粒子按照式（13）进行位置更新最终收敛于最优解附近。

2.2 非线性聚集粒子群算法

2.2.1 非线性策略

粒子群算法搜索是一个非常复杂的非线性过程，所以如果采用线性变化的惯性权重改动进化公式，其搜索性能与算法自身特性契合度不高，为了能够最大程度拟合算法搜索过程，采用非线性改进策略：

式中：ωinitial=0.942；ωfinal=0.27。非线性变化的惯性权重可以根据算法收敛情况改变进化速度的快慢，能够显著增加算法的收敛速度和收敛精度，增大在前期的搜索范围避免陷入最优解。

2.2.2 聚集策略

为了优化粒子群算法的全局和局部搜索能力，引入聚集距离，该距离能够很好地判断粒子群当前局部和全局搜索能力的优劣并做出改动。

式中：Lavg表示平均聚集距离；N为最大粒子数量；空间搜索纬度维为p。

式中Lmax表示最大聚集距离，由此可以得到聚集距离变化率为：

算法进化公式的惯性权重根据此聚集距离变化率分段如下：

式中ω(t)由式（14）计算可得。当γ较大时即表示其最大聚集距离和平均聚集距离差距较大，表明算法的全局搜索能力较差，因此加强其全局搜索能力；相反，当γ较小时应加强其局部搜索能力。通过此改动可以很好地平衡算法的全局和局部搜索能力，加快算法的搜索速度、增大粒子的收敛概率。算法的整体流程图如图3所示。

图3 非线性聚集粒子群算法流程图

3 实验与结果分析

假设有一个音圈电机，其技术参数如下：电机质量m=0.38 kg,km=kc=11.7 N/A，惯性系数kd=4 979 N/m，摩擦系数kz=14.52(N∙m)/s，电 感L=1.30 mH，电阻Rc=2.22 Ω，由于电感数值太小对系统的整体没有太大影响，可以将其忽略，由此可以得到音圈电机的具体传递函数为：

将式（19）的传递函数代入进行PID 参数整定，使用萤火虫算法、遗传算法、传统粒子群算法以及非线性聚集粒子群算法求解，设置粒子个数N=100，最大迭代次数tmax=100，粒子的维数M=3，初始化粒子群速度和位置，迭代得到的最终结果如图4 所示。

根据图4 可以看出，改进后的粒子群算法性能相较于其他三种算法更优，改进后的算法在相同精度下收敛速度更快，在相同迭代次数下精度更高。四种算法整定的PID 参数如表1 所示。

图4 四种算法对比迭代结果

从表1 中可以看到，NAPSO 最优解的精度相对于其他三种算法分别提高了64.35%，82.24%，28.59%。根据四种算法得到的PID 参数可以得到最终的音圈电机控制系统阶跃响应曲线如图5 所示。从图5 中可以看到，由NAPSO 整定出来的PID 参数控制的系统响应速度更快，能够在较短的上升时间内达到稳态，显著提高了音圈电机的运行效率和响应速度。

表1 四种算法PID 参数结果对比

图5 系统阶跃响应输出曲线

4 结语

本文针对音圈电机的PID 参数整定不精确、速度慢等问题，提出了一种非线性聚集粒子群算法，该算法通过非线性策略改进惯性权重，让粒子搜索速度的变化更加契合算法的搜索过程，提高算法的收敛精度，又通过聚集策略将粒子分段采用不同的进化公式迭代搜索，平衡算法的全局和局部搜索能力，扩大其前期搜索范围，加快算法收敛速度。最后通过实验验证了该算法能够显著提升音圈电机的运行效率和稳定性，对于音圈电机系统有着良好的适应性。