追本溯源 返璞归真

马杏开

[摘  要] 文章围绕着新课程理念，从剖析近年中考数学题着手，钻研、探究和论述中考压轴题型的特点和规律，梳理解题思路，归结解题规律，演绎解题思想，培育学生的创新能力和创新思想，落实数学核心素养的教学.

[关键词] 关注;中考;新课程;创新

新课标指出“如何从关注知识传授转向兼顾知识建构与问题解决相结合，并最终体现为人的全面发展”，确立以“学生发展为本”的课改理念根本. 随着素质教育改革的日益深化，在新理念的指引下，以学科素养和核心价值为核心，突出基础性、综合性、应用性、创新性的创新综合题型不断涌现，命题也呈现了新的走势和趋向，充分展现了中考的指导功能和作用，也切实体现了“以知识建构为特征，渗透核心素养”的课标理念. 因而，探索中考命题的热点与趋向，对今后的中考备考工作具有积极的指导作用和深远的意义.

试题呈现——似曾相识燕归来

1. 中考试题呈现

（广东中考）如图1，AB是⊙O的直径，AB=4 ，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连结CB.

（1）求证：CB是∠ECP的平分线;

（2）求证：CF=CE;

（3）当 = 时，求劣弧 的长度. （结果保留π）

此题是中考压轴题以圆为背景，涉及切线的性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长的计算等考点，题目结构合理，特色鲜明，内容扼要简明，考查层次明晰，强调双基的考查，又关注数学思想方法. 在考查方向上，体现注重基础、突出能力的特点;在考查内容上，彰显基础性和综合性;在知识立意上，考查学生的数学素养和处理问题的能力;在考查层次上，可充分展现差异水平的学生本身的不同探究水平，可信度、区分度清晰，较好地体现了中考数学的选拔功能.

2. 课本习题再现

在数学课本102页（人教版九年级上册“圆”），AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点E，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB.

试题初看与课本习题很相似，给人的感觉是彰明较著、一目了然，试题内容以圆为背景，切入问题容易，以几何知识点为介质，承载基本知识、基本技能、基本思想方法为一体，指引学生从问题的基本条件入手，读图分析、合情推理，考查学生的基本推理证明与计算，问题能较好地激发学生做题的兴趣和参与性.

试题分析——平淡无奇道本质

问题难度适中，自身起点低、梯度分明，有利于帮助学生抓住知识的核心思想，体会成功的喜悦. 通过三个不同的设问，无论是在问题内容的展现方式上，还是在解题思路的探究过程中，试题始终贯穿结构性、过程式教学. 一方面要重視学生的数学基本思维过程，降低学生的思维层次;另一方面既要重视呈现数学知识的生成过程，遵循数学思维发展基本规律，又要充分反映数学基本思维的结构特征，提倡新课程所倡导的学习方式，落实数学核心素养的基本教学.

1. 小试牛刀，初尝胜果

在第（1）问中，利用已知条件切线PF和CE⊥AB，易得∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，再通过半径相等OC=OB，得∠OCB=∠OBC，所以∠BCE=∠BCP，所以BC平分∠PCE. 也可通过逆向思维来找出所需的条件，这里条件包含了题目给出的“显性”条件切线PF、 CE⊥AB和“隐性”条件半径相等OC=OB，需要学生联系图形的特征并结合以上条件综合“显性”和“隐性”两条主线来分析.

这里着重考查了学生的“双基”（基本知识和基本技能），思路简明扼要，背景熟谙，易找准解题的“突破口”，引导学生由浅入深、由表及里，透过现象看本质，极大地激发学生解决问题的积极性和主观能动性.

2. 归纳思路，全等来造

在第（2）问中，欲证明CF=CE，思路主要有以下两种：

方法1：只需要添加辅助线AC，构造全等.

方法2：利用角平分线的性质定理可证. 由方法1中∠ACF =∠ACE得∠CAF =∠CAE，因为∠AFC =∠AEC=90°，所以CF=CE.

这里考查了学生的基本思想方法和基本思维能力，思路清晰简单，学生较易找对解题的“切入点”，通过第（1）（2）问的前因后果，反映知识间的串联关系，寻求“通性通法通解”，体现常规的解题思路和分析方法，使问题渐进明晰，熟练掌握知识间的内在关联，从而提高解题的效率，增强学习的自信心.

3. 构造相似模型，突显数学思想

在第（3）问中，通过作BM⊥PF于M（如图2），则CE=CM=CF（两对全等三角形△ACF≌△ACE，△CBM≌△CBE）. 设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，构造相似直角三角形△BCM∽△PBM∽△PCB，利用相似三角形的相似比算出BM，由tan∠BCM=BM∶CM= ∶3，所以∠BCM=30°，利用弧长公式可解答.

在最后一问的解答中，需要让学生了解解题的策略，不要指望一步就能解决问题，应耐心结合题目的条件和结论以及前面已有的结论来寻找思路，通常圆的解答离不开全等、相似、三角函数、勾股定理的知识综合运用.

课本的习题中，题设与结论之间有着密切的联系，需要我们对其加以挖掘、铺垫、拓展延伸，形成问题链，一探到底，帮助学生吃透问题的本质，构建认知结构，让学生在“习题”中思维，在“习题”中发现，在“习题”中总结，在“习题”中反思，加强学生的探索认知和创新意识，培育学生的思维能力，最终促成教师的“教”与学生的“学”双向良性发展.

相似试题展现——为有源头活水来

史宁中教授提出：“基于‘四基的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学.”问题是数学的“心脏”，也是数学思维的起点.

1. 改变位置方式，命题同质化

例1 （湘西州中考）如图3所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，AD⊥PC，垂足为D，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结AE.

（1）求证：∠CAB=∠CAD;

（2）求證：PC=PF;

（3）若tan∠ABC= ，AE=5 ，求线段PC的长.

2. 改变基本图形，命题多维化

例2 （福州模拟）如图4，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，连结BD.

（1）求证：BD平分∠ABH;

（2）如果AB=10，BC=6，求BD的长;

（3）在（2）的条件下，当E是 的中点，DE交AB于点F，求DE·DF的值.

张奠宙先生说过：“没有问题的数学教学，不会有火热的思考. ”以课本的例题、习题作为“基准点”和“切入点”，并以此为“生长点”“发展点”，通过变式教学可以将“源问题”转换成“子问题”，衍生出新方向和新思维. 基于学生的“最近发展区”和认知基础，以学科知识单元进行科学设计，以高阶思维训练为准则，体现数学本质为根本，进行深度教研，可以激发学生的学习兴趣，开阔学生视野，培养学生思维品质和创新能力，使学生的学习技能与思维得以培养和发展，全面提升数学核心素养.

结束语——满架蔷薇一院香

针对同一知识点，创设不同的数学情境载体来类比变式，通过引导学生从问题之间的联系和区别来认识和思考问题，把握问题的本质，以微知著，融会贯通，从而使教学个性化发展充满智慧与灵气，使学生学习充满激情和能量，真正实现“源头活水”的最大资源化.

就题讲题，教学枯燥，创新处理，师生活跃. 课本上例题、习题的权威性和示范性无疑是创新的源泉. 在课堂教学中，以“一例一变一拓展”的模式，围绕一定的目标或以核心内容为线索，剖析例题蕴含的多种方法背景下深度学习方式的高阶思维训练，将难度较大的问题依照知识、能力、思维层次拆分成相关的多个问题，在以学生为主体、教师为主导的师生对话下充分展示学生的语言组织表述能力、逻辑思维能力，这是知识生成的再现过程，是思维创新的展现过程，也是大智慧课堂设计的实现过程，更是教师在处理教材时的高效整合和先进理念的融合. 同时将题目之间的共性及本质的东西进行提炼、概括、升华，增强学生学习的兴趣和学习积极性，开阔视野、丰富思维，从而培养学生积极探究的精神和创新的能力，达到举一反三，触类旁通的目的.