Heston模型下基于期权投资的鲁棒最优控制

杨 璐, 朱怀念, 张成科

(1.广东工业大学经济与贸易学院,广东广州510520;2.广东工业大学管理学院,广东广州510520)

1 引 言

资产–负债管理是金融风险管理领域的经典问题,它以研究负债情形下组合证券投资问题的最优投资策略和风险控制为目标,以实现资产最优配置和套期保值为目的的一种现代金融管理方法,在理论界和金融机构得到了快速发展.尽管资产负债管理问题在多个领域已经有了广泛的运用,从现有的文献可知,仍有两个方面需要进一步的研究.

一方面是现有的文献中很少涉及到期权,现实中,期权的投资可以有效的对冲金融风险.所以,投资者在金融交易过程中广泛使用各种各样的金融衍生工具,比如互换期权、远期期权以及信用衍生品等.据货币监理署办公室发布的银行交易及衍生业务活动的季度报告显示1https://occ.gov/publications/publications-by-type/other-publications-reports/semiannual-risk-perspective/semiannual-risk-perspective-fall-2016.pdf: 2016年第一季度来自于期权的信贷敞口增加,其净信用风险敞口从651 亿美元增加至4 601 亿美元.因此,期权交易与投资是高度相关的.所以,在资产–负债管理问题中很有必要考虑期权问题.近年来,一些学者在投资组合中也考虑了期权问题,其中Liu 等[1]指出期权对提高投资者的福利至关重要.傅毅等[2]研究了含有期权的最优投资与比例再保险问题.Hsuku[3]研究了动态消费和递归效用函数下衍生证券的资产配置问题.Fu 等[4]在连续时间的Markov 机制转移市场中研究了带有期权的投资组合问题.Escobar 等[5]研究了投资股票和期权下风险厌恶者的最优投资策略问题.Zeng 等[6]研究了养老金管理者在随机收入和随机波动率下基于期权的鲁棒最优投资策略.Shen 等[8]研究了Heston 随机波动模型下基于均值–方差带负债过程的最优控制问题,Li 等[7]在Shen 等[8]的基础上增加了期权.

另一方面, 不断有学者开始关注模型不确定性风险对最优投资策略的影响.在现实的金融市场中, 风险资产的期望回报率往往很难被精确估计,作为一个明智的决策者,当意识到模型中漂移参数的不确定风险时,应该将此因素考虑进来.所谓模型不确定性,是指由现实观测数据所得到的估计模型可能会偏离于真实的模型, 我们将此估计的模型称为参考模型, 而投资者对模型及其参数的不确定性持模糊厌恶态度.Ellsberg[9]是关于模糊厌恶的第一个研究者,后来Bossaerts 等[10]和Dimmock 等[11]研究了模糊不确定对投资行为的影响.Branger 等[12]研究了关于跳跃和扩散风险的模糊风险厌恶下的最优投资组合问题.Flor 等[13]在随机利率的背景下,考虑了模糊风险厌恶投资者的最优投资策略.Munk 等[14]研究了在随机利率风险和通货膨胀风险下,模糊风险厌恶投资者的投资组合管理问题.Yi 等[15]、Zeng 等[16]和Zheng 等[17]研究了不同框架下的鲁棒最优投资再保险问题.

由以上文献可以看出,目前在资产–负债管理中把两者结合起来进行研究的文献几乎没有,然而期权在资产负债管理的投资中也越来越受欢迎,同时投资者一般也持模糊厌恶态度.本文在Zeng 等[6]研究的基础上,把模型的不确定考虑进来,在期权效用最大化的准则下研究了带有负债的鲁棒最优投资问题.与本文研究相关的文献是Li 等[7],他们在Heston 模型下研究了均值–方差型的负债管理问题,但是未考虑模型的不确定性.而鲁棒性问题的文献大都在最优投资再保险方面.所以,本文的创新之处是将模型的不确定性和期权投资考虑进资产–负债管理问题中,在Heston 模型下研究带有负债过程的鲁棒最优投资问题.

2 鲁棒最优投资模型

2.1 金融市场

假设金融市场由无风险债券、风险股票和以股票为标的资产的期权构成,无风险债券的价格B(t)满足

其中r 为无风险利率.

风险股票的价格过程S(t)服从股票价格波动的方差V(t)服从

其中W1(t),W2(t)是定义在概率空间上相互独立的布朗运动.股票价格波动的方差V(t)是一个随机过程,η1表示风险源W1(t)的市场价格参数,δ >0,κ>0,σ >0 分别为长期均值、均值回归速度和股票方差波动率,ρ ∈(−1,1)为股票价格和股票价格方差之间的相关性.

此外,投资者也会投资于期权.根据文献[17],设时刻t 期权的价格为O(t,S(t),V(t)).为了方便,简记为O(t),则期权价格满足

其中η2表示风险源W2(t)的市场价格参数,OS和OV分别是期权价格O(t)对于股票价格S(t)和股票价格方差V(t)的偏导数.对于给定的物理测度,在金融市场无风险资产和风险资产服从的随机微分方程中存在唯一的风险中性测度,可以证明金融市场是完备的,并且存在唯一的定价核[7].

假设投资者在时间区间[0,T]内面临一个不可控的与随机波动有关的外生负债L(t),其演化过程服从如下随机微分方程

其中µ≥0,α ≥0 是漂移系数,β1,β2和β3是波动系数,在此假设负债是不可控的,即投资者不能通过改变交易策略来决定其想要承担负债的价值.

2.2 鲁棒优化问题

以上的框架是传统的投资组合模型,一般投资者是风险中性的.然而,现实中,投资者通常是模糊厌恶的,并且总想使自己免于最坏的情形,即担心模型及其参数的不确定性风险.当投资者在投资组合问题中加入模糊厌恶的因素后,这里用与真实概率测度P 等价的可替代测度Q 来描述获取投资者模糊性知识的参考模型, 认为参考模型只是真实模型的一个近似, 因而希望考虑用一个由所有可替代测度Q 构成的集合Q[18],使得Q:={Q|Q ～P}.这里将在可替代测度集合Q 中重新考虑模型.

定义Φ:={(φ1(t),φ2(t),φ3(t))}t∈[0,T],其满足:

1)φ1(t),φ2(t)和φ3(t)在t ∈[0,T]上Ft–可测;

3)φ1(t)>0,φ2(t)>0,φ3(t)>0.

定义Θ 为满足上述条件的所有可测过程构成的空间.根据Girsanov 定理, 对于每一个可替代测度Q ∈Q,将存在一个循序可测过程Φ,使得

其中

根据Φ 的定义,知{ΛΦ(t)|t ∈[0,T]}是一个Q–鞅.进一步,根据Girsanov 定理,在可替代测度Q ∈Q下标准布朗运动可以表示为

其中WΦ1(t),WΦ2(t)和WΦ3(t)是一维标准布朗运动.

显然,在可替代测度下的扩散模型只会改变漂移参数.在可替代测度Q ∈Q 下,股票的价格过程、波动的方差过程和负债过程可以重新表示为

2.3 财富过程

对于任意的t ∈[0,T],假设Xπ(t)是投资者在时刻t 持有的财富,πS(t)和πO(t)分别是投资者在时刻t投资到风险股票和期权上的资金,Xπ(t)−πS(t)−πO(t)是投资者在时刻t 投资到无风险债券上的资金.用π = {(πS(t),πO(t))}t∈[0,T]表示投资者的一个投资策略,则投资者在时刻t 基于投资策略π 下的财富过程Xπ(t)为

在可替代测度Q ∈Q下,财富过程Xπ(t)可以表示为

扣除负债后投资者的净资产为

定义1(容许策略) 称策略π ={(πS(t),πO(t))}t∈[0,T]是可容许的,如果满足如下条件

(i)π(t)是Ft–循序可测;

(iii)设O =[0,T]×R×R+×R+,∀(t,y,v,l)∈O,随机微分方程(1)具有路径唯一的解{YΦ,π(t)}t∈[0,T].

定义Π 为所有可容许策略所构成的集合.

3 鲁棒最优投资策略

假设投资者具有幂效用函数,投资者同时具有风险和模糊厌恶双重特性.此时,投资者希望在最坏的市场环境中寻找最优投资策略实现鲁棒性.所以,投资者面对如下的鲁棒优化问题

命题1[5]存在唯一的函数H(t,y,v,l)满足

其中

根据命题1,定义H(t,y,v,l)为效用最大化问题的值函数.为了便于分析,设,和是大于0 的模糊厌恶参数,它们用来描述投资者对模糊厌恶的态度.这里允许股票价格的不确定性程度与股票的波动性不同.记为投资者对股票市场回报率的模糊厌恶程度,为投资者对股票波动风险的模糊厌恶程度,为投资者对负债风险源的模糊厌恶程度.

下面主要研究鲁棒优化框架下投资者的最优投资策略问题.令C1,2,2,2(O)表示由函数ψ(t,y,v,l)构成的集合，其中ψ(t,·,·,·)在t ∈[0,T]上一阶连续可微,ψ(·,y,v,l)在y ∈R,v ∈R+,l ∈R+上二阶连续可微.为了方便,φ(t) = (φ1(t),φ2(t),φ3(t)),π(t) = (πS(t),πO(t))和θ(t) = θ(θ1(t),θ2(t))分别简记为φ = (φ1,φ2,φ3),π = (πS,πO)和θ = θ(θ1,θ2),对于任意(t,y,v,l) ∈O 和ψ(t,y,v,l) ∈C1,2,2,2(O),定义生成元为

其中ψt,ψy,ψv,ψl,ψyy,ψlv,ψvv,ψyl,ψyv分别表示函数ψ 对于不同变量的偏导数.

根据动态规划原理,相应的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程[5]为

其中边界条件为J(T,y,v,l)=U(y).

由文献[5]知下述结论成立.

命题2如果存在一个函数J(t,y,v,l) ∈C1,2,2,2(O) 和一个控制(π∗,Φ∗) = {(π∗(t),φ∗(t))}t∈[0,T],{(π∗(t),φ∗(t))}t∈[0,T]∈Π ×Θ 满足

3)AΦ∗,π∗J(t,y,v,l)=0, J(T,y,v,l)=U(y);

4) {J(τ,y,v,l)}τ∈ς和是一致可积的, 其中ζ表示终止时刻τ ≤T 的集合,Φ∗=则值函数为J(t,y,v,l) = H(t,y,v,l),最优策略为(π∗,Φ∗).

定理1对于鲁棒最优投资问题,给定值函数(3)和扣除负债后的财富过程(1),其最优投资策略为

其中

相应的值函数为

其中

最坏的概率测度为

证明由式(5)可得

将式(7)左边φ1,φ2,φ3的函数分别对φ1,φ2,φ3求偏导数,并令偏导数为0,所得方程的解为

将式(8)代入式(7)化简整理得

将式(9)左边θ1,θ2的函数分别对θ1,θ2求偏导数,并令偏导数为0,所得方程的解为

将式(10)代入式(9)化简整理得

根据式(2)中的幂效用函数,推测式(11)中值函数的形式为

由式(12)可得

将式(13)代入式(11)化简整理得

将式(14)拆分可得

解得

其中

推论1如果投资者是模糊中性的,即所有的模糊厌恶参数则最优投资策略和值函数分别为

其中

4 无期权下的鲁棒最优投资策略

在不考虑期权的框架下,概率测度P 下的财富过程XΦ,π(t)为

投资者扣除负债后的净资产为

最优投资问题为

相应的HJB 方程为

其中

下面的定理给出了无期权下的鲁棒最优投资策略和最优值函数,由于定理2 的证明过程类似于定理1,囿于篇幅有限,此处不再给出详细的证明过程.

定理2对于无期权交易时的鲁棒投资策略问题,最优投资策略为

相应的值函数为

最坏的概率测度为

其中

5 数值模拟

为了分析模型参数对最优投资策略的影响及考虑鲁棒性和期权交易对投资效用的影响,进行如下的数值模拟,其中参数取值来自Zeng 等[16],具体如表1 所示.

表1 参数的取值Table 1 Values of parameters

5.1 模型参数对鲁棒最优投资策略的影响

下面基于定理1 主要分析均值回归速率κ和波动系数σ对投资者鲁棒最优投资策略的影响.

图1 κ 和σ 对 和 的影响Fig.1 The effects of κ and σ on and

图1 描述了股票价格波动的平均回复速率参数κ和波动系数σ对鲁棒最优投资策略的影响.首先从图中可以看到,随着κ的增加,和的绝对值均随之减少.这是因为κ为股票价格波动V(t)的平均回复速率,当ρ<0 时,股票价格波动V(t)与股票价格S(t)的运动方向相反,κ越大,V(t)波动的抵消效用就越弱,则意味着股票的价格波动增加,投资风险加大,故投资者会减持股票和衍生期权上的投资份额.其次,随着σ的增大,和的绝对值均随之减少,因为σ表示的是股票价格的波动率,σ增大,V(t)波动增大,意味着股票的价格波动增加,投资风险变大,故投资者会减持股票和衍生期权上的投资份额.

5.2 效用改善

在这一部分,将研究鲁棒和期权交易对效用改善的影响,首先研究鲁棒对投资者效用改善的影响,然后研究期权交易对投资者效用改善的影响.

对于第一种情形,主要研究鲁棒对效用改善的影响,定义效用改善函数为

其中J(t,y,v,l),(t,y,v,l)如式(6)和式(15)～式(17)所示.

对于第二种情形,主要考虑是否要进行期权交易,定义效用改善函数为

图2 κ 和σ 对 和 的影响Fig.2 The effects of κ and σ on and

图2 描述了股票价格波动的平均回复速率参数κ 和波动系数σ 对投资者效用改善的影响.首先从图中可以看到,和随着κ 和σ 的变化而发生变化,且其值均大于0,说明考虑模型的鲁棒性和期权投资均能增加投资者的效用.其次,从图中可以发现,和均随着κ 的增加而变小,随着σ 的增加而增加,这是因为在股票价格波动过程中,取值较大的回复速率κ 和取值较小的波动参数σ 意味着股票价格波动的不确定性减少,因此投资者会面临较低的波动率风险,故投资者的效用改善会随着κ 的增加和σ 的减少而变小,这与Zeng 等[6]中的结论是一致的.

6 结束语

本文研究了随机波动率模型下带期权的资产负债管理的鲁棒最优投资策略问题, 其中股票价格服从Heston 模型,投资人持模糊风险厌恶态度.为了应对波动性风险,投资者将自己的财富投资于期权.首先,获得了幂效用准则下带期权的资产负债管理的鲁棒最优投资策略、最坏的概率测度及值函数的解析表达式和特殊情况无风险厌恶态度下的最优投资策略及值函数的解析表达式.然后,得出了无期权下鲁棒最优投资策略、最坏的概率测度及值函数的解析表达式.最后,模拟了模型中的参数对投资策略和效用改善的影响.发现,在资产负债管理的鲁棒最优投资策略中,有两个因素起着重要作用.第一个因素是模糊风险规避,当一个投资者在参考模型中面临模糊风险规避时,它通常会降低市场回报风险和波动风险的风险敞口,因为在一个不确定的环境中,采取保守策略是最优的.此外,投资者对股票和期权投资有明显的模糊性.第二个因素是期权,期权具有提供频繁交易机会和提高市场效率的便利性质,期权的投资可能会带来巨大的效用改善.