线性代数教学改革的探索与实践

李艳艳

（文山学院 人工智能学院，云南 文山 663099）

线性代数课程是高等院校理工科和经济类专业的一门专业基础课和专业必修课，是大学公共数学三大基础课之一，在研究生入学考试中也占有重要的位置[1-2]。线性代数主要介绍行列式、矩阵的代数运算及初等变换、矩阵的秩、线性方程组理论、向量的线性相关性、矩阵的特征值和特征向量，逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力。文章就目前文山学院工科类专业线性代数课堂教学中存在的问题，谈谈教学改革的必要性和紧迫性，并从教材的选择、教学内容、教学方法、考核形式等方面进行探索与实践。最终，提出课程改革方案。

1 教材和教学中存在的问题

1.1 现用教材的特点及不足

线性代数是一门内容较为抽象、理论性强、计算复杂繁琐的课程。目前文山学院工科类专业选用的教材是同济大学数学系编写的工程类专业线性代数，该教材已更新到第六版，是线性代数课程的经典教材，也是较多高校选用的教材。但是在教学中发现该教材存在一些与时代发展不匹配的不足之处：（1）教材内容比较精简，没有实际应用的例子，没有数学软件对应算法的例题。（2）没有从具体的实际问题中引出所要阐述的概念或定义，都是直接给出定义、定理，这会使学生不能很好地认识或理解定义、定理产生的必然性和原理。（3）没有与工科专业贴合度紧密的实际应用案例，让学生很茫然，不知学以如何致用？（4）与已学过的《高等数学》中的解析几何部分联系不紧密，不能很好地将数与形，联系在一起，没有起到互相支撑的作用。这些不足使得教材内容显得抽象，学生学习兴趣不高。

1.2 教学方法存在的问题

文山学院是2009年由专科升为本科的普通地方院校，又处于边疆少数民族地区，大部分学生来自云南，学生的数学基础较差，抽象思维能力也比较弱。在线性代数教学中教师普遍采用先给出定义，定理，然后给出例题进行解释说明，由于这门课程的概念、理论都很抽象，这种教学方式只让学生记住了定义，没有很好、有效地领会到定义的来源和问题的本质。学生认为这门课程就是由定义、定理构成的，看不到实用性，这样大大降低了学生学习的兴趣。[3]

1.3 学习方法存在的问题

学生对课程内容的来龙去脉认识不到位，自身学习动力不足，学习中仅满足于完成教师布置的课堂任务，由于课程教学时数有限，所以学生的学习方法较为单一和陈旧，学习角度和视野不开阔。

1.4 考核方式存在的问题

在考核环节，目前采用的是平时成绩占40%，包含了考勤、作业、课堂回答问题、章节测试（章节测试讲解）四部分，期末卷面成绩占60%。期末成绩占的比重较大，会使学生为了提高期末成绩，而突击复习，死记硬背，忽视了线性代数的应用背景，没有达到课程学习的初衷。

2 教学改革的一些建议

针对线性代数课程教学中存在的问题，给出教学改革的几点建议：

2.1 课堂授课时增加知识点的来龙去脉

线性代数的内容和生产生活实际联系非常紧密，每个知识点都是来源于实际需要或其他学科发展的需要。

案例1讲行列式定义时，应从二元一次、三元一次线性方程组消元解法入手，让学生明白，行列式的定义是为了简化线性方程组解的表示，是为线性方程组服务。

“鸡兔同笼”问题：明代数学家程大位的《算法统宗》里有一道著名算题，用消元法给出二元一次线性方程组解的表现形式

案例2关于矩阵的定义，讲解前，应该从多个角度分析矩阵的来源及简化运算的价值。

问题描述：

5个房子有5个门，分别是黄、蓝、红、绿、橙

5个人物：小明，小红，小兰，小白，小黄

宠物5个：蜗牛，小狗，小猫，小白兔，小金鱼

饮料5种：水，茶，牛奶，果汁，咖啡

事物5种：洋葱，香蕉，苹果，蘑菇，蛋糕

小明住在红门的房子里；喝牛奶的住在中间房子里；小白有只小猫，邻居有只小金鱼；

小黄住在最左边的房子里；住在绿门房子里的喝咖啡；吃洋葱的住在吃苹果的右边；

小兰喝茶还有只小狗；吃蛋糕的喝果汁；绿门房子在最右边，橙门房子在其左边；

吃苹果的邻居有只小狗；吃蘑菇的有只小蜗牛；小白吃香蕉；住在黄门房子里的吃苹果；

小黄的邻居家的房门是蓝色的。

提出问题：谁喝水？谁有只小金鱼？

做法：通过填表的形式梳理和快速回答问题

信息 房子1 房子2 房子3 房子4 房子5门 黄色 蓝色 红色 橙色 绿色人物 小黄 小兰 小明 小红 小白宠物 小白兔 小狗 小蜗牛 小金鱼 小猫饮料 水 喝茶 牛奶 果汁 咖啡食物 苹果 洋葱 蘑菇 蛋糕 香蕉

案例3讲到矩阵的加、减、数乘、乘法运算时，都先给出工业生产中的具体实例，让学生在问题的解决过程中，自己说出这些运算的法则是什么。尤其是矩阵乘法，通过两个工厂生产甲、乙两种产品的总利润和净利润问题，让学生总结，矩阵乘法的前提条件、乘法法则、结果类型等。同时顺势引出矩阵乘法产生的时代背景，以及矩阵乘法在图片加密、字体变形等方面的应用，最后给出Matlab数学软件、对于矩阵乘法的运算命令。

根据表1、表2填写表3，各工厂一年的总收入及总利润（万元/t）。

表1 2017年各工厂的各产品产量/t

表2 各产品的单位价格及单位利润/（万元/t）

表3 工厂一年的总收入及总利润/（万元/t）

通过该问题的细致分析，得出矩阵乘法的前提条件、结果类型、乘积之后元素之间的关系，从而给出矩阵乘法的定义。

2.2 融入数学建模思想的案例

讲到向量组的线性表示时，通过两个混凝土生产企业各自的配方，能不能被互相代替的问题，从一个向量能被一个向量组表示两个向量组互相表示，这样一条主线，让学生在解决问题的过程中，理解并掌握了向量组的线性表示内容，把一个非常抽象的问题，变得浅显易懂。

315调查显示，房屋质量不过关，让购房者最不能忍受，而作为质量问题，最突出的就是混凝土问题。

问题给出：一个混凝土生产企业可以生产出三种型号不同的混凝土，他们具体的配方比例如表4所示：

表4 混凝土配比情况表

问：现在有用户要求混凝土中含水、水泥、沙子、石头、煤炭灰的比例分别为：24、52、73、133、12，那么，能否用这三种混凝土配出满足其要求的混凝土呢？

据调查，农村幼儿园两教一保、两教两保的比例合计仅为5.46%，师幼比1∶10以下幼儿园也仅为3.64%，具有事业编制的教师比例为1.82%，持有教师资格证者为36.36%，小学高级职称和一级职称教师占比都是0.00%。可见，农村幼儿教师不仅数量缺口巨大，而且优质教师资源缺乏严重。

还有一个混凝土生产企业，也可以生产出3种不同型号的混凝土，他们具体的配方表如表5所示：

表5 混凝土配方情况表

分析，第2家生产的这3种混凝土是否可以代替第一家企业的那三种？最后考虑，第一家企业可以代替第二家企业吗？

2.3 深入挖掘课程思政元素

要在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。理学类专业课程，要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。

让学生在数学欣赏中涵养人文精神和道德情怀，提高看问题的高度和宽度。对于重点知识的产生，进行中外比较分析，从而增加学生的民族自豪感，也更加坚定学生的文化自信。如：关于线性代数发展史的学习，讲到《九章算术》是从先秦开始，经过众多学者编撰修改，约于西汉中叶成书，本书对于线性方程组的消元法进行了详细说明，而这些内容西方国家是在相当于明朝中期，法国数学家笛卡尔才开始研究，比中国晚了一千多年。

搜集相关科学家在线性代数发展过程中所表现现出来的科学精神、科学思想和科学方法的史料，以多媒体、课堂和网络讨论的途径实现课程思政。如通过播放小视频《笛卡尔跌宕起伏却又充满传奇的不太完美的一生》，使学生了解科学家成长的曲折，并感触他们身上百折不挠的科学精神，以不变求万变的科学素养，以他启迪智慧的名言（我思故我在，欲学习、欲发现自己的无知等）让学生学会辩证地看待问题。

2.4 加强与几何问题的联系

代数几何本不分家，线性代数中的众多概念都有几何含义，通过几何展示，配合理解代数内容。

2.5 注重知识的实际应用举例

在课堂教学中学生心里想得最多的问题是：为什么学习线性代数？为什么要学习线性方程组的求解？线性方程组的价值如何体现？在教学中可以充分发挥学生的力量，让学生以学习小组为单位，查阅资料，寻找线性方程组的具体实例，并建立模型，利用初等变换法和MATLAB程序法，对其求解，最终形成小组简报，并在课堂上讲解和分享。

通过这样的方式，不仅使学生充分了解了线性代数的应用，而且培养了学生的科学思维和勇于解决问题的科学精神。

2.6 采取过程化方法对学生成绩进行综合评定

在平时成绩的构成方面有所突破，增加体现参与度的内容，比如翻转讲解、章节测试讲解、期末强化测试、课堂回答问题、中国大学MOOC的随堂测试、课程团队组搭建的学习通随堂测试、课后测试、章节测试等；学生对课程的评价，除了学校的网上评教外，还应该增加学生无记名的纸质评价，并进行横向和纵向的分析。

（1）出勤（100分）采用扣分制，迟到扣2分，旷课扣15分，请假扣2分，违反课堂纪律扣10分；

（2）作业分两部分：a.书面作业（80分），交加1分，分ABC，三个等级分别加2分，1分，0分；不交扣5分；b.笔记记录情况（分等级按分数计入）。以上两项的平均分即是作业部分的成绩；

（3）课堂回答问题（70分），主动回答一次3分；

（4）期中测验+章节测验（按小组讲解），各占50%，以实际的平均分计入；

（ 5 ）网络资源学习小简报以及体会交流（以实际打分计入）。

3 总结

本课程通过近两年的改革与实践，在教学理念上改变传统的一支粉笔+一块黑板、多媒体PPT的形式，根据不同的内容，将黑板、多媒体、优秀视频、国家精品资源、学习通等有效融合。教学内容在选定教材的基础上，根据工程管理专业的专业需求，调整、优化、重组教学内容。教学方法采用探索发现、启发式讲解法、师生互动式等注重培养数学素养的个性化教学方案，探索教学规律，总结、提炼具有普适性的授课方法。利用问题解决式教学，以问题为先导，介绍背景知识，穿插数学史，讲清逻辑性，剖析线性代数的思想方法，引导学生自己发现问题，过程中注意穿插一些数学轶事和应用实例。在课堂上留给学生思考、讨论、演练的时间，让学生自己提出分析、解决问题，同时开展问答式和讨论式教学，激发学生的学习兴趣和主动性。在教学中，不仅传授知识，更要注重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；不仅给出结论，还要揭示过程；不仅学习解题技巧，更要掌握解题规律。使学生在学到本课程知识的基础上，学到发现问题、解决的问题方法，进一步优化学生的数学思维品质。课程评价方面在平时成绩的构成有所突破，增加体现参与度的内容，比如翻转讲解、章节测试讲解、期末强化测试、课堂回答问题、中国大学MOOC的随堂测试等，学生对课程的评价，除了学校的网上评教外，还应该增加学生无记名的纸质评价，并进行横向和纵向的分析。