一维弹性碰撞二级结论的妙用

郭梦姣 林钦 朱雨洵

摘   要：一维弹性碰撞问题是高考的一个热点。在高中阶段解决一维弹性碰撞问题时，常常从动量守恒以及能量守恒方面入手，联立方程进行计算，计算量较大，学生错误率高。教学中可以引导学生基于能量和动量守恒推导出简单的二级结论，不仅能够快速分析和解决一维弹性碰撞问题，还能有效帮助学生加深对碰撞模型的理解。

关键词：一维弹性碰撞;动量守恒;二级结论

碰撞作为动量守恒定律的一个重要的应用模型，一直是高考考试的热点问题。碰撞模型可分为：弹性碰撞和非弹性碰撞。对于弹性碰撞问题，在高中主要从动量守恒和能量守恒的角度去解决问题，由于运算过程繁杂，学生在解决此类问题时，不仅花费时间较多，而且还容易出错。为解决这个问题，帮助学生进一步理解一维的弹性碰撞，从动量守恒和能量守恒方面出发，推导出一个简单实用的二级结论。所谓物理二级结论，通常指依据有关物理概念或者物理规律，通过一定的演绎推理对典型的物理问题进行分析得到的具有通用性、普遍性意义的结论[ 1 ]。

1  理论推导过程

球A和球B在光滑水平桌面上发生一维弹性碰撞，质量分别为m1和m2，碰撞之前两球的速度分别为uA和uB，碰撞之后两球的速度分别为vA和vB（如图1、图2）。

碰撞前：                           碰撞后：

由动量守恒定律得：

m1uA+m2uB=m1vA+m2vB                      ①

即：

m1（uA-vA）=m2（vB-uB）                         ②

由能量守恒定律得：

m1uA2+ m2uB2=m1vA2+ m2vB2   ③

③改写为：m1uA2-m1vA2=m2vB2-m2uB2             ④

即：m1（uA-vA）（uA+vA）=m2（vB-uB） （vB+uB）          ⑤

將⑤/②，得：

uA+vA=vB+uB        ⑥

即：uA-uB=vB-vA  ⑦

对于弹性碰撞，我们可以得出这样一个结论：碰撞之前的相互接近的速度（uA-uB）等于碰撞后的相互远离的速度（vB-vA）。

2  恢复系数e

上面推导出的结论和大学物理的恢复系数e有关。可以将A、B两球的碰撞过程分成压缩（靠近）和恢复（推离）阶段，当压缩阶段结束时，就是A、B两球的速度相等的时刻[ 2 ]。假设碰撞过程中，两球速度相等时的速度为v，则在压缩阶段，由动量定理得：

-I1=m1v-m1uA ①

I1=m2v-m2uB  ②

在恢复阶段，由动量定理得：

-I2=m1vA-m1v ③

I2=m2vB-m2v  ④

牛顿指出，用给定材料做成的两个小球，不管两个小球的速度怎样，恢复冲量I2与压缩冲量I1之比是一个常数，即=e，这个常数e称为这两种给定材料的恢复系数。

由①和②式可得：

I1=（uA-uB）

由③和④式可得：

I2=（vB-vA）

则：e==

恢复系数e的取值介于0和1之间，当e取0时，就是完全非弹性碰撞;当e取1时，就是完全弹性碰撞，则就得出uA-uB=vB-vA[ 3 ]。

3  结论的应用

【例题1】如图3所示，两个小球的质量分别是m1和m2，m1=4 kg，m2=3 kg，两个小球发生一维弹性碰撞，求碰撞之后的速度？

解析：

设两个物体碰撞之前的速度分别为u1和u2，碰撞之后的速度为v1和v2

由动量守恒定律得：

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2                             ①

又因为碰撞之前相互接近的速度等于碰撞之后相互远离的速度，则：

u1-u2=v2-v1                             ②

联立①和②式，得：

v1=2.4 m/s

v2=5.4 m/s

【例题2】（新人教版选择性必修一课后习题） 一种未知粒子跟静止的氢原子核正碰，测出碰撞后氢原子核的速度为3.3×107 m/s。该未知粒子跟静止的氮原子核正碰时，测出碰撞后氮原子核的速度是4.4×106  m/s。已知氢原子核的质量是mH，氮原子核的质量是14 mH，上述碰撞都是弹性碰撞，求未知粒子的质量。

解析：与氢核碰撞时，设未知粒子的质量为m，碰撞之前的速度为v0，碰撞之后的速度为v1。

未知粒子与氢原子核发生弹性碰撞时，由动量守恒定律得：

mv0=mv1+mHvH                          ①

又因为碰撞之前相互靠近的速度等于碰撞之后相互远离的速度，则：

v0=vH-v1                                 ②

由①和②式得：

vH=                              ③

与氮核发生弹性碰撞时，由动量守恒定律得：

mv0=mv1+mNvN                         ④

又因为碰撞之前相互靠近的速度等于碰撞之后相互远离的速度，则：

v0=vN-v1                                 ⑤

由④和⑤式得：

vN =                             ⑥

则③/⑥得：

=

将题目中的数据代入，得：

m≈1.16 mH

这道试题改编自查德威克发现中子的实验，若利用能量守恒和动量守恒的方程联立求解，一方面计算量很大，另一方面物理量的下脚标注多，在计算时很容易出错，利用弹性碰撞时靠近速度等于远离速度的结论计算则简洁清晰。2020年山东卷压轴题的前面两问也可以用此二级结论简化计算。

【例题3】（2020年新高考全国卷Ⅰ物理第18题）如图4所示，一倾角为θ的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4 m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于tanθ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

（1）求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vp1、vQ1;

（2）求第n次碰撞使物块Q上升的高度hn。

解析：（1）P与Q的第一次碰撞，取P的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：

mv0=mvp1+4mvQ1                           ①

由碰撞前的相互接近的速度等于碰撞后的相互离开的速度得：

vQ1-vp1=v0-0                                ②

聯立①②式得解得：vQ1=v0， vp1=vQ1-0=-v0

第（2）问的解答也可以利用此二级结论简化计算过程，帮助学生快速得到答案，这里就不再赘述。

4  结束语

通过典型的例题可以看出，应用二级结论解决一维弹性碰撞的问题，不仅公式容易记忆，而且解题过程中计算量大大减少，提高了计算的效率以及准确率。

参考文献：

[1]许文. 从高考物理题的求解谈二级结论的形成与应用[J]. 教学考试， 2018（49）： 75-78.

[2]闫彩霞，程敏熙，冯彩仪，等.正弹性碰撞速度关系的研究及其在解题中的应用[J].物理教学，2017，39（11）：62-63，67.

[3]梁昆淼. 力学上册[M]. 第四版.北京：高等教育出版社， 2012：193.