压力位差式层流流量传感技术气体测量适用性研究*

王晴晴，李国占，李长武，张东飞，张洪军*

(1.中国计量大学计量测试工程学院，浙江 杭州310018；2.苏州市计量测试院，江苏 苏州215128)

层流流量计具有响应速度快、准确度高等优点，被广泛用于流量测量领域。层流流量计基于哈根－泊肃叶定律工作，通过测量层流元件两端压降来实现流量测量[1]。传统层流流量计通常在层流元件出口管道设置取压腔室取压，测得的差压中必然存在毛细管进出口局部损失和层流起始段流动动能损失等非线性压损，流体两侧压降与流量并不是严格的线性关系。

为了获得高准确度流量测量，层流元件设计需要较大的毛细管长径比[2]，并需进行5个方面影响的修正，分别为非理想气体、壁面滑移、入口段、膨胀效应以及热影响修正[3－4]。台湾计量标准中心(CMS)Feng等[5]采用玻璃毛细管为层流元件，选取多种影响因素修正后的计算模型对空气和氮气测量数据进行处理，并用二阶多项式将其拟合，测量误差在±0.17%之内，其毛细管长细比超过500。实验室高精度气体粘度测量也常采用层流法，中国计量科学研究院对气体的理想流动进行了气体径向温度场、体积膨胀等修正，成功测量了243.15 K~393.15 K氩气在理想气体状态下的粘度数据[6]，并在国际上首次建立双毛细管气体粘度测量系统[7]。

当毛细管进出口流动损失较大时，总压降中线性和非线性部分可分开描述，为此，陕西省计量科学研究院张嘉祥[8]在考虑气体密度和粘度对测量影响的基础上建立了新的层流流量计数学模型—JX2009方程，流量计算公式中引入了双流量系数，将其运用天然气流量测量时，相对误差范围为±1.8%。

为了从结构设计方面减少非线性压损影响，Pena等[9]提出了一种三个取压点的层流元件方案，小流量时取全部长度毛细管的压降，大中流量时取毛细管后半部分的压降，这样一方面可以更好地利用差压传感器测量范围，另一方面可减小差压非线性部分占比，不过这种方法中增加了阀门切换系统，装置相对复杂。近几年，西北工业大学王筱庐等[10]提出微小缝隙式层流元件，利用Berg[3]的模型对数据进行修正，最大的引用误差为±0.8%。

2020年，黄浩钦等[11]提出压力位差式(Pressure potential differential type，PPD)层流流量传感技术，其传感元件由两个流道组成，含四个交叉对称的层流组件，实验表明相对于传统层流元件，PPD传感元件测得差压与流量之间有更好的线性关系。但是实验过程中未单独考虑气体膨胀性影响修正，而是包含在流量修正系数中。同年，王晴晴等[12]针对不可压缩流体，对PPD传感元件进行了流体力学数值模拟研究，验证了该元件满足两条支路流阻特性相同的要求，并且未经任何修正下流量与压力位差具有良好的线性关系。

将PPD层流传感技术应用于气体流量测量时，诸多影响因素需要分析和修正。例如:①两个支路流阻特性一致性问题。PPD层流流量传感元件用于气体流量测量时，由于气体沿流道流动时会产生膨胀效应，流速沿流道不断变化，两条支路流动阻力是否相同?流量是否相同?②气体层流流量计膨胀影响修正方法。对于气体流动，流道内压力沿流向逐渐降低，密度减小，体积流量增大，因此会带来额外的压损。气体膨胀影响如何修正?这些问题的解决都有赖于传感元件内部流动的深入理解。

由于采用实验方法难以详细测量流道沿程压力损失和内部流场，数值模拟方法则可弥补实验研究的不足，能够提供有用的流动细节。数值模拟方法应用于相关领域，在气体流动细节研究方面发挥了重要作用，获得许多新的发现。例如，Van[13]通过理论分析和数值模拟的方法求解毛细管内可压缩层流流动计算粘度的方程。结果表明，测量结果最主要是对流体的可压缩性带来的影响进行修正。刘臣勇[14]通过数值模拟分析长度、直径和出入口锥角等几何参数对流量测量装置内部压力分布和流量特性的影响规律，以便确定合适的气体小流量测量装置结构。许文达等[15]通过CFD仿真对涡街流量计中可压缩和不可压缩流动进行研究，结果表明仿真得到的偏差曲线与理论计算和实验测试数据变化趋势一致。

本文将主要采用数值模拟方法研究压力位差式层流流量测量技术应用于气体流量测量时传感元件内部流场、流道阻力特性和差压输出特性，验证PPD层流流量传感技术对于可压缩气体流量测量的适用性，研究气体膨胀影响修正系数取值，同时对计算仿真结果进行实验验证。

1 PPD层流流量传感元件工作原理

根据哈根－泊肃叶定律，对于不可压牛顿流体充分发展圆管层流，体积流量qv正比于压降Δp[16]:

式中:d为圆管直径；μ为流体的动力粘度；L为测压点之间的管道长度。

为了克服前文所提到的非线性压损，如图1所示，PPD层流流量传感元件设计了双流道结构，其流道由含有四个毛细管层流组件位置交叉对称的双支路组成。两条支路上不同长度层流组件中间设置取压腔室，两腔室取压点之间的差压为ΔP，即压力位差[11－12]。

图1 示意性给出了PPD传感元件两条支路上游毛细管内部压降情况。其中ΔP′、ΔP″为两条支路上游毛细管组两端的总压降。两条支路工作时具有相同的入口压力P0，当两支路流量相同时，上游毛细管进出压损、层流入口段压损均相等，因此压力位差ΔP＝P′－P″＝ΔP″－ΔP′＝ΔP6″[11－12]。即ΔP相当于支路2上游毛细管后半段层流充分发展段的流动压降，则流经该支路的体积流量Qv为:

图1 PPD传感元件结构及压降示意图[12]

式中:n为单个层流组件中的毛细管根数；ΔL为两种长度毛细管的长度之差。

式(2)成立是建立在假设不可压缩流体流经两条支路的流量相同、流阻特性一致的基础上。一般情况下，流体在层流元件内的流动会引起压力产生变化，而压力会造成气体密度变化，从而导致体积流量沿流向改变，可能引起两条支路流阻出现一定偏差，对此需要进行分析和验证，以确认该技术对于气体测量的适用性。

2 气体膨胀影响理论分析

应用层流法进行气体流量测量需考虑多个方面的影响[16]，如:流动动能变化、非理想气体、流体压缩性、毛细管壁面滑移和热效应等，这些因素都会引起额外的压降变化。对于PPD传感元件，理论上可以消除层流元件进出口动能变化影响，测量中低压流体时非理想气体影响可以忽略，由于粘性摩擦生热与气体膨胀效应导致温度降低可以相互抵消，热效应一般可忽略。圆管流动气体壁面滑移影响修正数值可用4KslipKn来估算。其中，滑移修正系数Kslip＝1，努森数Kn为分子自由程λ与管道特征尺度d/2之比[3，17]。

式中:P为气体的压强；T为绝对温度；Rgas为气体常数。本文毛细管直径d＝0.8 mm，介质为空气，在常温常压下，估算壁面滑移影响修正为10－4量级，可忽略。因此，必须要考虑的影响因素可能只有气体膨胀影响。

首先，在忽略体积膨胀引起的额外压降情况下，分析流量与压降关系。沿着毛细管管中流动方向取一微元段dx，根据哈根－泊肃叶公式，压降dP和质量流量qm0的关系为:

式中:x为轴向坐标；ρ为流体密度。

对于理想气体，压强与密度之间满足:

温度不变的情况下可假设气体密度与压强成正比，对式(4)进行积分，可得毛细管内质量流量qm0为[3－4]

式中:P1、P2分别为毛细管工作段两端的压力；ΔP＝P1－P2。

当考虑气体膨胀导致额外压降时，根据伯努利方程，毛细管内流动动能增大，压力下降，则式(4)转变为:

式中:qm为考虑膨胀影响情况下的质量流量，第二项为动能增加导致的额外压降，α为动能修正系数，当管中为充分发展层流流动时，α＝2。

取α＝2，对式(7)进行积分，可得:

一般情况下，式(8)中分母第二项远小于1，忽略其展开式中的多次项并引入误差修正系数Kexp，则质量流量qm可近似为:

根据上述推导，当不考虑膨胀引起的流速分布变形情况下Kexp＝0.5，文献[3]和[13]考虑这种影响后，建议Kexp＝1，本文将根据数值模拟数据进行验证。

3 物理模型和数值方法

3.1 物理模型

数值模拟研究中，选用单根毛细管组成层流元件。图2为两条支路的物理模型，支路1上游为短毛细管，支路2上游为长毛细管，给定相同流量情况下针对两条支路分别进行计算，可对比其流阻(即总压降)是否相同。两支路各段差压记法分别如图所示，其中取x轴为流向坐标，坐标原点位于上游毛细管的进口处。

图2 两支路的物理模型

毛细管内径d＝0.8 mm，管道和取压腔内径D＝6 mm。为保证长毛细管后半段流动为层流充分发展状态，毛细管长度应超过层流起始段长度。层流流动速度分布在起始段内不断发展，当管内中心流速达到充分发展段流速的99%时可认为进入充分发展段流动[18]。圆管层流起始段长度Le可以按照下式估算:

式中:C＝0.056。

当最大工作雷诺数Re为2 000时，则Le＝90 mm，短毛细管长度可以取100 mm，长毛细管长度为150 mm。

利用几何建模软件ICEM构建几何模型和进行三维网格划分。网格数量与质量对模拟计算结果有直接的影响，在进行正式仿真计算之前，需要进行网格无关性验证。参考文献[12]，本文网格数选取3443040能够满足计算要求。

3.2 边界条件及计算方法

为了更好的分析气体膨胀效应对PPD传感技术测量结果的影响，对可压缩模型和不可压缩模型分别进行仿真计算。在不可压缩模型中，其流体密度选择为常数，而可压缩模型中流体选择理想空气，其他边界条件设置相同。入口设置质量流量边界，两条支路给定相同的质量流量qmr，由式(11)可计算得到单根毛细管中气体的雷诺数。

式中:A为毛细管横截面积。

出口设置为压力边界，壁面设置光滑、无滑移。选用大涡模拟方法，小尺度的涡通过引入亚格子应力建立与大涡的关系进行计算[18]，采用亚格子模型(WALE model)能够通过判断流场结构去改变亚格子应力以避免过多粘性所带来的数值误差。

4 计算结果与分析

4.1 内部流场分析

图3 为Re＝1 000时，支路2毛细管内同一轴向位置的横截面(x＝120 mm)处，采用不可压缩和可压缩流体两种模型计算获得的时均速度云图。图中可见，可压缩模型计算结果中v＝35 m/s的区域比不可压缩模型明显大，两者相对于毛细管横截面占比的差别约为2.5%，意味着前者截面平均流速和流体动能比后者大。由于计算入口条件是相同的，显然气体可压缩性起了作用，产生更多压损，流速和体积流量增大更快。

图3 时均速度云图，Re＝1 000

实际流体的流动过程中由于粘性摩擦的存在，伴随着能量转换过程，一部分流动机械能不可逆地转化为热能。气体总压是气流中静压与动压之和，总压的变化可以体现这种不可逆机械能损失(简称能量损失)。图3显示了雷诺数Re＝1 000时，支路2长毛细管总压沿轴向变化情况，两条曲线分别为采用不可压缩模型和可压缩模型的结果。

图4 可以看出，相对比不可压缩模型，采用可压缩模型计算的总压变化速率较快。表1为两个模型中长毛细管两端总压数据，其中P1为x＝－20 mm处过流截面的总压，P2为x＝156 mm处过流截面的总压，ΔPt为两者之差，即ΔPt＝P1－P2。

图4 总压沿毛细管流向变化曲线，Re＝1 000

表1 两种气体模型的总压数据 单位:Pa

表1 数据显示可压缩模型中毛细管两端的总压损失较不可压缩模型增大52.38 Pa，相对于不可压缩模型中的总压损失ΔPt的偏差为1.8%。

4.2 两条支路的流阻特性

表2 列出了两支路总差压数据，其中，ΔP1、ΔP2分别为支路1和支路2的总差压(参见图2)；δΔP为ΔP1和ΔP2的相对偏差值，由式(12)给出，即

表2 数据显示，在整个雷诺数范围内(Re＝50~2 000)，两条支路总压降的相对偏差最大为0.05%，在一般测量精度要求情况下，可认为两条支路流动阻力相同。如此可以推测，PPD层流流量传感技术应用于气体测量时，两条并联支路流量也必然相等，原理分析过程中的假设是成立的。

表2 支路总差压数据

4.3 气体膨胀影响修正

两条支路的流阻特性一致，流经支路的流量相同，上述单独计算模拟的两条支路可以相当于一个PPD传感元件的两支路，基于两支路计算数据进行进一步分析。

在前面提到的气体膨胀影响理论分析过程中，如果假设层流流速分布为理想的二次抛物线，则动能修正系数α＝2，公式中(9)的Kexp＝0.5。但由于膨胀效应影响，流速分布可能并不是理想的二次抛物线。图5为仿真计算支路2中x＝120 mm处气体层流流动速度剖面，其中u(y)为径向坐标y处轴向流速，v为截面平均流速，坐标原点位于圆管中心。显然，由于膨胀影响，截面流速不再是二次抛物线分布，当雷诺数增加时，与抛物线分布差异更加明显。

图5 可压缩性对管内层流速度剖面的影响

表3 列出PPD传感元件测得差压和流量数据处理结果。其中:qmk0为气体膨胀影响修正前的流量值，即Kexp＝0，计算公式见式(6)；qmk1、qmk2分别为Kexp＝0.5、1时按照式(9)进行气体膨胀性修正后的流量值；δc为其对应的相对误差，相对误差计算公式为

式中:qmc为计算得到的质量流量，其中c可以为k0，k1或k2；qmr为真实质量流量值，即数值计算给定准确值。

表3 中数据显示，未引入膨胀修正时，流量计算值qmk0与实际值qmr的偏差(即误差)随着雷诺数的增加而增大，相对误差δk0最大可达到3.44%。图6为不同膨胀系数修正后的误差曲线图，对比Kexp＝1和Kexp＝0.5的修正结果，图中显示前者明显好于后者，取Kexp＝1修正后的最大测量误差为0.32%。文献[3]和[13]建议Kexp应该取1，本数值计算结果验证了这一取值。

表3 不同膨胀修正系数结果对比

图6 不同膨胀系数的误差曲线

4.4 差压与流量的关系

ΔP11、ΔP21分别为两条支路上游毛细管两端的差压值(参见图2)，其值可等价于长度为100 mm、150 mm的传统层流流量传感元件测得的差压。取Kexp＝1，qm1、qm2分别为根据ΔP11、ΔP21按照式(9)计算的流量值，相对误差同样参照(13)进行计算，此时式(13)中c为1或2，计算数据见于表4。同时，将3种差压计算得到的流量值与真实流量值qmr分别进行对比，如图10所示。

表4 常规层流流量传感元件测试数据

由表3、表4中数据可以看出，在未经非线性修正情况下，传统层流流量传感元件测量相对误差δ1、δ2随着雷诺数的增加呈上涨趋势，其值一直比δk2大。其中δ1、δ2在最大雷诺数工况下分别超过49%和33%。此外，可以看出，δ2一直较δ1较小，这是因为前者毛细管长径比大，非线性影响相对较小。

另一方面，图7显示在整个测量范围内，根据PPD传感元件测得差压计算得到的流量值与真实流量吻合非常好，最大偏差仅为0.32%，PPD传感元件相对误差至少要比传统层流元件小一个量级。这种新型测量技术可以很好地将层流入口段和毛细管进出口的影响消除，从而可以达到更高的测量精度和更大的量程比。

图7 未经非线性修正的流量与差压关系曲线

5 实验验证

5.1 PPD传感元件实验模型和实验装置

为了进一步验证数值计算结果，设计了PPD传感元件的实验模型(图8(a))，并对其进行实验测试。整个模型由两个支路管道组成，管道采用不锈钢材料，每条支路内放置两个长度不同的不锈钢毛细管组件(图8(b))，组件两端的支撑板用于密封和毛细管定位。

图8 PPD传感元件实验模型

在实际应用中，为了获得更小的毛细管长径比，管内中心流速达到充分发展段流速的95%时可近似认为进入层流充分发展流动[19]，此时式(10)中C＝0.033。选取的毛细管内径为0.8 mm，当工作最大雷诺数Re＝1 400时，Le＝37 mm，设计中取长短两种毛细管长度分别为40 mm和90 mm。单个毛细管组件中毛细管的根数为53，层流元件模型设计最大流量约为5.4 m3/h。

实验系统如图9所示，主要包括PPD层流元件模型、音速喷嘴气体流量标准装置和微差压测量仪器。其中，音速喷嘴气体流量标准装置流量范围为0.016 m3/h~6.5 m3/h，测量不确定度为±0.3%(k＝2)，采用FCO560微差压校准仪测量两个取压腔室之间的压差，该校准仪的量程为±2.5 kPa，测量精度为读数的0.05%±0.03 Pa。实验流量范围为0.025 6 m3/h~5.30 m3/h。

图9 实验系统图

5.2 实验测试结果

表5 为实验测试数据，表中qs为音速喷嘴气体流量标准装置设定和给出的标准流量，其他参数含义与仿真计算相同。为了便于直观对比，将表5中相对误差数据绘制成散点图，如图10所示。表5和图10数据显示，在未引入气体膨胀修正情况下(Kexp＝0)，PPD传感元件整体测量误差随流量增大而增大，最大流量时达到＋2.41%；当采用Kexp＝1进行膨胀修正后，在大约200倍的实验测量范围内，测量误差在±0.8%以内，说明膨胀影响得到了较好的修正，这与数值计算结果是一致的。另一方面，测试数据可看出，随着流量增大，毛细管流动阻力(差压)增大，膨胀影响也相应增大，如果不进行膨胀修正会给测量带来较大误差。

图10 流量的相对误差分布

同时，表5数据表明在采用膨胀修正后，PPD层流元件测量流量与标准流量偏差很小，再次验证了计算仿真结果和PPD层流流量测量技术原理的正确性。

表5 PPD传感元件实验测试数据

需要指出的是，关于PPD传感元件用于气体流量测量时两条支路流阻特性基本一致的实验结果在文献[12]中已给出，有兴趣的读者可参考该文献。从本文研究结果来看，PPD气体层流流量技术完全可以用于实际传感器设计，而设计过程中应解决传感器集成化和模块化问题。与传统层流流量传感器相比，PPD层流流量传感器的缺点是元件组成相对复杂，含有4个毛细管组件，会增加一定成本，但增加量比较有限。

6 总结

本文针对可压缩气体流量测量，对PPD传感元件进行了数值模拟和实验测试，主要工作和结果如下:①分别采用可压缩模型与不可压缩模型进行计算仿真。发现采用可压缩性模型时，毛细管内流动总压变化速率更快，管内中心区域速度更大，说明气体压缩性对流动和压降有明显影响。②对气体PPD传感元件两条支路流动阻力特性进行了仿真研究。流量相同情况，两条支路总压降的相对偏差均不超过±0.05%，流阻特性可视为一致，说明这种新型测量技术应用于气体流量测量的假设条件是成立的。③对层流流量测量中气体膨胀影响进行理论分析，并对修正系数的取值进行仿真计算和实验验证，结果表明，膨胀修正系数Kexp＝1时，修正后的流量测量误差基本在±0.8%之内，这一结果与前人研究是一致的。④将PPD传感元件与传统层流流量传感元件进行对比，结果显示，在整个计算雷诺数范围内(Re＝50~2 000)，不进行非线性修正情况下，PPD层流元件流量最大相对误差仅为0.32%，较传统层流元件至少小1个量级。