建模思想在变力沿直线做功中的应用

张宇姣

摘要：数学不仅在武器上有着广泛的应用，更是在军事战略上影响战争的发展。本文内容将军事背景中变力沿直线做功的实际应用问题与高等数学中定积分建立了关系，主要介绍了定积分在军事案例中的应用——变力沿直线做功。突出了理论知识在军事实践中的应用性，更培养了建模意识，是学生能够用数学思维分析、解决军事中的问题。

关键词：数学;定积分;军事案例;建模意识

伟大的数学大师华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学”，而微积分更是被誉为“人类精神的最高胜利”，微积分的产生是数学上的伟大创造，它既来自理论科学和生产技术，反之又推动生产技术和科学的发展，与工程技术和日常生活有着密不可分的联系。可以说，微积分发挥着文化和应用功能，能够着力培养数学素养以及数学思维意识。而对于士官学员来说，还能够形成忠诚、坚定、自信的意志品格，可以养成用数学思维思考问题的习惯，提高职业认知军事理论的能力。最终将微积分相关知识与军事案例联系上，用建模的方法解决好，达到学习目的。

一、问题分析

定积分的概念较为抽象，学生不易理解，利用定积分解决实际问题更加不易，具体到应用定积分解决物理问题上，每个物理问题又对应着不同的物理背景，不同的物理公式，这又增加了解决问题的难度，所以学生在这一部分知识的学习上会出现为难情绪。在教学中，结合学员实际岗位，从学员的实际认知出发，采用贴近学员专业，贴近部队背景的火箭发射问题，将微元法的思想运用到火箭发射问题中，在学员已有认知基础上，层层引导，在解决这一问题的基础上总结出解决变力沿直线做功这一类问题的解决步骤。

二、教学实施

（1）情境设计，提出问题

“遂古之初，谁传道之？上下未形，何由考之？”，两千三百年前屈原作《天问》。2020年7月23日，我国火星探测器“天问一号”成功发射，开启了深空探测的新篇章。从“嫦娥”到“天问”，中国的航天事业迅猛发展，“长征”系列火箭功不可没。为此，需考虑的一个基本问题是，“天问一号”和“嫦娥三号”需要多大的初速度才能摆脱地球的引力呢？

（2）原理分析，明确方法

火箭在上升过程中，当助推器停止工作时，主要是克服地球引力做功。如果能把火箭摆脱地球引力所需要的總功 求出，而这一总功是由火箭所获得的动能转化而得，便可进一步求出所需要的初速度 。因此，若想求出所需的初速度，重点要解决火箭上升克服地球引力所做的功的大小。

建立如图1所示坐标系，从地面垂直向上发射质量为 的火箭，当火箭距离地面 时，克服地球引力做的功 ，火箭从地面垂直向上发射过程中到每一点 所受的引力为 ，显然火箭所受的引力是随着位移的变化而变化的，因此这一个变力沿直线做功的问题。

由物理学知道，如果物理在做直线运动过程中有一个不变的力 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 时，力 对物体所做的功为 。

如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，则不能直接使用此公式，而采用“微元法”的思想，进行变力沿直线做功的求解，如图2所示。

（3）问题探究，总结步骤

“微元法”的思想：分割、代替、求和、取极限。但对于火箭升空问题是一个实际问题，如何将微元法与实际相结合，建立相关解决问题的模型是关键。

微元法的第一步：分割。在实际问题中，分割的范围怎样得到？如何描述分割的始末位置？这需要借助数学上的工具——坐标系，只需沿着运动所在的轨迹，结合实际情况建立坐标系，即可得到分割的范围，同时也能得到定积分上下限（ ），即为运动的始末位置，则可实现微元法的第一步。微元法的第二步：代替。在实际问题中，对于分割好的每个小区间，将采用以直代曲，以不变代变为原则进行近似代替，即可得到每个小区间的功微元（ ）。微元法的第三、四步：求和和取极限。也就是在确定的范围内对所求微元累加求和，也就是对得到的功微元在a到b内求积分，我们可以简称为求积分（ ）。

对于以上过程，建立其模型可为：建坐标→定区间→求微元→求积分。

（4）问题解决，回扣引例

根据总结的步骤，“天问一号”和“嫦娥三号”摆脱地球的引力为：

1.建坐标。建立如图1所示坐标系。

2.定区间。确定上、下限 。

3.求微元。根据物理公式，建立所求功的微元。

4.求积分。对所求功的微元在 内积分。

即可得到克服地球引力做功。

此应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学问题并建立模型的过程就是数学建模。在解决军事问题中潜移默化地培养学生建模能力，提高了其应用数学知识解决实际问题的能力。不仅如此，建立的模型也可使用与更多，更广泛类似问题的求解，可谓一型多用。

三、教学总结

数学问题的解决不仅是答案的求解，更能解决生活中的一些实际问题，因为数学源于生活，更能在军事案例中找到数学的身影。学生在针对一些抽象问题，可以通过数学建模的方式解决实际问题，不仅便于理解找到答案，更能培养建模思想，提高综合能力。

（火箭军士官学校）