基于拉断的M ohr–Coulomb破坏准则的钢筋混凝土框架柱倒塌失效模式研究1)

吴楷文 罗嗣海, 周旭光 查支祥

∗(江西理工大学土木与测绘工程学院，江西赣州341000)

†(浙江省二建建设集团有限公司，浙江宁波315000)

∗∗(浙大宁波理工学院土木建筑工程学院，浙江宁波315000)

严重的地震作用可以导致结构构件强度、刚度的退化并引发部分或整体的倒塌[1]。钢筋混凝土(reinforced concrete,RC)框架结构中的柱，尤其是底层柱作为结构中最重要的耗能构件之一，若被破坏会引起结构整体的倒塌失效，因此研究其裂缝发展及倒塌失效模式对框架结构抗倒塌设计至关重要。

考虑到构件底部进入塑性状态后，变形主要集中在塑性铰区[2]，在抗震设计中，塑性铰是一个很重要的概念，它形成和发展过程中能吸收大量的地震能量，并通过铰的转动将能量耗散出去，在一定程度上能增强构件的抗震性能，降低地震损害[3]。运用塑性铰的力学模型验算RC框架柱的极限变形能力与位移延性能力是抗震设计的关键，因此研究塑性铰区的力学机理及进一步推导总结该区域的最终破坏形式具有重要意义。其中塑性铰的长度是刻画塑性铰的主要力学概念之一。塑性铰的长度对于老旧建筑的抗震加固和新结构构件的设计均有重要意义[4]。运用不同的研究手段，通过不同的结构参数[5-11]，使用不同的方法给出了塑性铰长度的不同计算方法。

地震作用下，框架柱不同的破坏模式与其端部塑性铰力学模型密切相关。震害资料及诸多试验[12-13]表明RC框架柱在地震作用下的破坏模式基本分为：弯曲破坏、弯剪破坏与剪切破坏及粘结破坏。RC框架柱破坏模式存在不同的判别方法。例如Mayes等[14]通过抗剪强度，Ghee等[15]与Toshikawa[16]通过柱位移延性系数，赵国藩[17]通过滞回曲线分别用来区分柱的不同破坏模式。马颖等[18]基于概率统计的方法建立了判定上述柱破坏模式的计算公式。文献[18-20]表明轴压比、剪跨比、纵筋配筋率、配箍率是框架柱破坏模式的重要影响因素。文献[21-23]给出了在确定其中一种结构参数具体数值的情况下，框架柱发生不同破坏模式分别对应的其他相关参数的范围。

现有的对柱端塑性铰的研究均基于较传统的力学指标，例如利用受拉钢筋从屈服至到达极限强度，受压区混凝土边缘压应变从峰值压应变ξ0发展至极限压应变ξcu来定义塑性铰区的力学性质，进行对塑性铰区的力学刻画，据此计算出的柱顶水平极限位移对应载荷−变形曲线上载荷降至80%最大载荷时的柱顶位移。若要进一步计算框架柱在完全倒塌失效前的极限水平位移，需要确定柱端部的混凝土失效区发展与柱顶水平位移存在的某种持续的准确力学联系，而传统的塑性铰模型不足以从细节上描述柱完全倒塌失效时的柱端具体破坏情况。

前述提及的现有RC框架柱破坏模式是着眼于工程角度的柱整体破坏现象，而若要研究RC框架柱发生倒塌失效时具体的约束端破坏形式，首先应完成的基础性理论研究是参考已有的柱破坏模式，结合合适的力学准则推导出可描述约束端具体破坏状况的倒塌失效模式，并建立相关影响参数之间的具体力学联系，并以此划分不同倒塌失效模式的不同发生范围，从而可以通过构件的结构参数预判其最终的倒塌失效模式。

Mohr–Coulomb准则可较好地描述混凝土及岩石的破坏特性。基于此准则，李宏等[24]假定裂缝形状为直线型，将混凝土裂缝分为张开型裂缝与剪切型裂缝。在失效面坐标系中以裂缝表面法向正应力σ=0为临界，当σ>0时，由最大拉应力准则(Rankine准则)判定张开型裂缝点的产生；当σ<0，由Mohr–Coulomb准则判定剪切型裂缝点的产生。前述两准则结合即为最大拉应力断裂的Mohr–Coulomb准则(简称拉断的Mohr–Coulomb准则)。在宏观尺度上的构件坐标系中，张开型裂缝与剪切型裂缝分别在底部约束以及顶部承受水平载荷与竖向载荷共同作用下的压剪构件中称为剪拉裂缝与剪压裂缝。Zha等[25]基于拉断的Mohr–Coulomb准则推导出构件坐标系中任意点发生剪拉裂缝或剪压裂缝时，其剪应力与正应力之间的函数关系。基于上述研究成果并结合RC框架柱的应力分布关系，本文推导总结出柱端不同的裂缝开展形式与其相应的倒塌失效模式，进而对柱端混凝土的失效过程进行更细致的描述。本文旨在拓宽、丰富传统的塑性铰模型，为计算RC框架柱临近倒塌的水平极限位移打下理论基础。

1 压弯作用下RC框架柱任意点及裂缝点应力函数表达

1.1 压弯构件应力分布规律

设底部约束，顶部有水平力及轴力共同作用的构件正应力均匀分布，水平载荷作用下弯曲正应力沿柱高呈线性的三角形分布。根据相似三角形原理，一横截面上的某点正应力大小和它与截面中性轴之间的距离呈正比，所以弯曲正应力沿截面高也呈线性的三角形分布。

以构件截面中性轴为界，将压弯构件分为左边的剪拉区与右边的剪压区。柱体剪压区内任意一点正应力大小分析如图1所示。其中，N为竖向载荷，F为水平载荷，O(0,0)为构件坐标系原点，x为横截面某点至截面中性轴的距离，y为横截面离x轴的距离，h为横截面高度，H为构件总高，A(x,y)为横截面上某点在构件坐标系中的坐标，W为横截面抵抗矩。

图1 压弯作用下正应力分布规律

根据图1，利用构件同一截面内任意一点正应力与此点离截面中性轴距离成正比的原则，结合相似关系可得出构件剪压区任意一点的正应力σy值

其中，σ0为仅竖向力作用下的截面正应力，即σ0=n0fc=N/A，n0为轴压比，fc为混凝土标准抗压强度，A为横截面面积。式(1)两端同除以fc，得其相对正应力值

考虑到RC框架柱底部约束端由于受到边界条件等因素而影响其剪应力分布的复杂性，在以下分析中对底部截面采用近似的矩形剪应力分布，即τx=F/A。

1.2 基于拉断的M ohr–Coulomb破坏准则的混凝土裂缝点应力函数

顶部水平与竖向载荷共同作用下的构件受力情况如图2所示。任取一单元体，在其失效面坐标系x′−y′上其应力状态为(σ,τ)，在构件坐标系中记应力(σy，τx)。其中F为顶部水平力，N为轴力，h为截面高度，H为构件总高。

图2 失效面坐标系与构件坐标系中的剪−正应力关系

Zha等[25]基于拉断的Mohr–Coulomb破坏准则分别推导出图2构件坐标系x−y中剪压失效或剪拉失效点(σy,τx)的剪−正应力函数关系

其中，ft为混凝土标准抗拉强度，在构件坐标系中定义ft为负数。

在构件坐标系中，混凝土剪拉失效与剪压失效(对应失效面坐标系中的张开型裂缝点与剪切型裂缝点)的分界线为M M′，临界状态是点。两种破坏线函数形状如图3。

图3 混凝土的拉断Mohr–Coulomb破坏准则(构件坐标系下的表达)

2 基于拉断的M ohr–Coulomb破坏准则的钢筋混凝土RC框架柱倒塌失效模式及其判别

2.1 可能的RC框架柱倒塌失效模式

查支祥[26]将压剪构件的剪力传递途径分为三种：(1)一定角度的混凝土斜压杆和竖向及水平钢筋组成的桁架模型A区。(2)A与C区间起到剪力传递作用的一定角度的受压混凝土斜压杆B区。(3)C区形成主要将剪力传递给B区混凝土斜压杆的桁架模型。并据此提出了剪力墙板的剪力分区传递模型，如图4所示。由于RC框架柱的受力形式与剪力墙相似，且构造上纵筋作为竖向钢筋承受轴向载荷，箍筋作为水平钢筋承受水平载荷，虽然RC框架柱中的A，B及C区可能因轴压比、高宽比等结构参数的影响造成三区域的大小及传力状态与剪力墙板有所不同，但仍可以先合理地假设此剪力传递模型同样适用于框架柱，如图5所示，并基于此模型提出RC框架柱四种可能发生的倒塌失效模式，而后通过推导与文献试验数据结合的方式，验证此倒塌失效模式理论的可行性与准确性。

图4 剪力墙板剪力分区传递模型

图5 RC框架柱剪力分区传递模型

失效模式a：B区与C区的混凝土或钢筋斜柱体未发生失效，而A区竖向钢筋发生断裂或粘结滑移失效，如图6(a)所示。

失效模式b：C区的混凝土和钢筋均未失效，A区竖向钢筋也未失效，混凝土则未出现或出现少量的剪拉裂缝。B区斜柱体中混凝土出现剪压裂缝致失效。因此，一方面C区桁架结构的压杆方向发生改变，另一方面B区拱结构中混凝土斜柱体向柱体竖向中轴偏转，其水平承载力也随着斜杆与柱体竖向中轴的倾角变小而变小。在往复水平载荷作用下，最后因柱体底部的有效混凝土承载区域无法继续承受竖向载荷而发生竖向压溃。此种倒塌失效模式也属于弯曲破坏引起的倒塌，如图6(b)所示。

失效模式c：在B区的混凝土斜柱体向框架柱体竖向中轴偏转过程中，若在框架柱底部的有效混凝土承载区域面积临界值到达发生失效模式b之前，不断发展的混凝土剪压裂缝首先与A或B区存在的剪拉裂缝相贯通，则柱体底部被剪坏。此种倒塌失效模式属于剪切破坏引起的倒塌，如图6(c)所示。

失效模式d:若B区混凝土斜柱体底部未出现剪压裂缝，而出现剪拉裂缝，则框架柱体底部区域因被剪拉裂缝贯通而失去承载力，框架柱体发生剪拉失效，如图6(d)所示。

图6 可能的RC框架柱倒塌失效模式

失效模式e：现有研究及资料均表明，若RC柱剪跨比较小，轴压比较大，可能发生剪压裂缝沿对角线发展将RC柱体斜向劈裂的斜压破坏。

2.2 RC框架柱倒塌失效模式判别

对于模式a，其产生的原因可能为纵筋配置或锚固措施不佳，导致受拉纵筋断裂或与混凝土间发生粘结滑移失效。由于此种失效模式产生的原因多为施工或设计误差，因此其倒塌失效条件不做更多的理论分析。

对于模式b与模式c，如图7(a)所示，B1与B′1点间的距离为当柱体发生竖向压溃时的底部截面临界高度hl，若B2点发生剪压裂缝时剪拉裂缝未发展至B1点，则剪拉裂缝由于构件到达极限承载力而停止发展，则柱体在水平往复力作用下剪压裂缝发展至B1(B′1)点并导致失效模式b；若B2点发生剪压裂缝时剪拉裂缝发展至或向外超过B1点，则剪拉与剪压裂缝在B1(B′1)点外侧贯通导致柱体发生失效模式c，如图7(b)所示。所以两种失效模式的临界状态为B1(B′1)点的剪拉裂缝与B2点的剪压裂缝同时发生。

图7 发生失效模式b与c的失效条件

如图8所示，当B1点的剪拉裂缝与B2点的剪压裂缝同时发生时，B1点与B2点应力状态分别同时到达剪拉破坏线与剪压破坏线。由于认为底部截面各点应力相等，即B1点与B2点剪应力相等，则在图8中B1点和B2点相对正应力状态位于同一水平线上。

结合图8，并根据构件坐标系中B1点坐标(hl/2,H)与B2点坐标(h/2,H)，结合式(2)，得

图8 模式b与模式c的临界失效情况

即

根据式(3)与式(4)，可得

其中K=−fc/(2ft)。

结合式(5)～式(7)，可得

令x为剪拉裂缝出现后底部截面受压区高度，b为柱体横截面宽度，则底部截面剪应力τx=F/(bx)。所以

式中，H0为倒塌失效模式b、c间的柱体临界高度。将式(8)代入式(9)，得

根据式(6)与式(8)，得

对于大偏心受压，根据截面受力平衡

解得

即

其中，α1为横截面修正系数。

对于小偏心受压，根据截面受力平衡

解得

其中

其中，Es为纵筋的弹性模量。

当剪压裂缝不断发展至柱底截面有效承载高度h1，柱体达到竖向压溃的临界状态，结合轴压比的定义，可得柱体发生竖向压溃时所受的轴力N0和柱体的初始轴压比n0

解得

将式(17)代入式(10)与式(11)并简化，得

其中

式(18)即为失效模式b与c之间的临界轴压比(n0)与高宽比(H0/h)的函数关系。

对于模式c与模式d，若B2点的应力状态从σ0发展至首先与剪压破坏线相交，即其横坐标位于点M′点右侧，则发生失效模式c：若B2点的相对应力状态从σ0/fc发展至首先与剪拉破坏线相交，即其横坐标位于点M′点左侧，则发生失效模式d,所以两种模式的临界状态为B2点与M′点重合，如图9所示。

图9 模式c与模式d的临界失效情况

当框架柱体处于失效模式c与d临界状态时，B2点相对应力发展为σ0/fc，至点M′。定义图9临界状态应力实线与横轴倾角为α1，结合M′点坐标可得

化简得到

所以当

发生失效模式c；当

发生失效模式d。

根据上述的推导分析，可以在以高宽比为横轴，轴压比为纵轴的同一坐标系中绘出判定RC框架柱发生失效模式b，c与d的临界函数曲线，如图10所示。

图10 失效模式b，c与d的发生范围分布

对于失效模式e，由于RC框架柱设计应严格避免产生此类斜压破坏，所以不对此倒塌失效模式做进一步的理论性分析。

2.3 RC框架柱压弯试验结果

倒塌失效模式a与e的实际对应失效模式如图11和图12所示。图11中，纵筋位置混凝土大片剥落，最终发生粘结破坏；图12中，主斜裂缝贯通整个窗间柱，发生斜压破坏。

图11 倒塌失效模式a(粘结滑移失效)

图12 倒塌失效模式e(窗间柱的斜压破坏)

钱小龙[27]对一轴压比为0.1，剪跨比为1.58的短柱进行了往复水平力作用下的压剪试验，其最终的倒塌失效模式如图13所示，可以清楚地观测到柱端剪拉裂缝在往复水平力作用下发展至对侧柱角，而柱角的混凝土几乎未被压溃，说明剪压裂缝几乎没有发展，符合图6(d)所示的失效模式。文中对此破坏形态描述为“水平力达到最大正向载荷”，“认为试件已经破坏”。将上述试验参数以坐标形式绘入图14，由图可知其属于失效模式d的发生范围，符合推导出的判定条件。此种失效模式可能发生于框架结构中柱轴压比很小的上层，尤其是顶层RC框架柱中。

图13 钱小龙[27]所做框架柱试验破坏图

从图10可知，失效模式c所占范围较小，可看作为失效模式b与d间的过渡性失效模式。刘杜[28]对一混凝土强度为C80的高强RC框架柱进行了压弯试验，其剪跨比为3，试验轴压比为0.12，文中所述的试件最终破坏形态如图15所示，可观察到剪拉裂缝已与受压区压溃的混凝土贯通，柱体底部被剪坏，无法继续承载。将此试验参数坐标绘入以C80为混凝土强度参数的失效模式划分曲线图中，如图16所示，可知其属于失效模式c的发生范围，符合推导出的判定条件，同时也说明判定条件函数中混凝土强度参数对失效模式范围的分布影响的推导是正确的。

图15 刘杜[28]所做框架柱试验破坏图

图16 失效模式c试验验证

而根据《混凝土结构设计规范》[29]，在实际RC框架结构中柱的剪跨比(此文即高宽比)应大于2。在可能发生较大等级地震的区域中，框架结构抗震等级一级的柱轴压比限制小于0.65，二级的柱轴压比限制小于0.75。对结构是否发生倒塌起到决定性影响的RC下层框架柱，尤其底层框架柱来说，其设计轴压比(限值内)都较大，若框架柱设计、施工良好，结合图10可知其最常见、典型的倒塌失效模式应为失效模式b。

陆新征等[30]对两个不同实验参数的框架柱进行了压弯试验：(1)轴压比为0.154，高宽比为3.75。(2)柱轴压比为0.28，高宽比为4。两种柱失效破坏图分别如图17(a)与图17(b)所示。钱稼茹等[31]所做柱压剪试验(轴压比为0.36，高宽比为4)失效破坏如图18所示。可得柱端塑性铰区混凝土的破坏形式均符合图17(a)所示的失效模式。将上述试验参数以坐标形式于图10中标出，如图19所示。可知均属于模式b的发生范围，符合推导出的判定条件。

图17 陆新征等[30]所做框架柱试验破坏图

图18 钱稼如等[31]所做框架柱试验破坏图

图19 失效模式b试验验证

3 结论

本文基于拉断的Mohr–Coulomb破坏准则，提出五种RC框架柱倒塌失效模式，并判定了其中三种典型失效模式的发生条件，并加以文献试验结果验证。结论如下：

(1)通过力学手段建立了压弯构件轴压比与高宽比间的连续函数关系，以此划分出在上述两参数的所有可能范围内RC框架柱不同倒塌失效模式的分布情况。

(2)RC框架柱最常见、典型的失效模式为模式b，即在水平往复载荷作用下柱底部两端的混凝土因剪压失效退出工作导致中间区域有效承载面无法继续承受竖向载荷而发生压溃。

关于运用数值模拟方法对本文研究成果的进一步分析及验证，将另文探讨。