关于扩充基定理的一个注记

徐助跃

【摘要】扩充基定理是线性空间中一个很重要的定理，其基本思想就是将较小空间的基扩充为个数较多的、较大空间的基，进而分析这个扩充基的特点，使问题得以解决.本文给出了一个非平凡子空间的新定理，并列举了几个应用该定理的实例.

【关键词】扩充基定理;线性空间;非平凡子空间;基

【基金项目】湘西自治州民族广播电视大学立项课题（课题编号：Z202107）.

定理1设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，α1，α2，…，αm是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到 n-m个向量αm+1，αm+2，…，αn，使得α1，α2，…，αn是V的一组基.

这就是扩充基定理，在一些的高等代数教材中（如文献[1][2][3][4][5]）都给出了扩充基定理及其证明，并应用此定理证明了维数公式dimV1+dimV2=dim（V1+V2）+dimV1∩V2.证明的基本方法是：首先取V1∩V2的一组基α1，α2，…，αp，将它分别扩充为V1，V2的基：α1，α2，…，αp，αp+1，…，αs和α1，α2，…，αp，βp+1，…，βt，然后证明α1，α2，…，αp，αp+1，…，αs，βp+1，…，βt为V1+V2的基.由此，我们不难发现，扩充基定理的基本思想，就是将线性无关向量组（常为较小空间的基）扩充为个数较多的、新的线性无关向量组（常为较大空间的基），进而我们通过分析新向量组的特点，使问题得以解决.从涉及问题来说，扩充基定理必定联系着与子空间及其维数有关的问题.

下面，我们通过几个实例，进一步说明扩充基定理的应用范畴.

例1设A为n×r列满秩矩阵（r

证明设A的列向量为α1，α2，…，αr，将其视为Fn中线性无关的向量组，于是存在列向量组αr+1，…，αn，使得α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn构成Fn的基，令B=（αr+1，…，αn），则B为n×（n-r）列满秩矩阵，所以C=（A，B）为n×n阶非奇异矩阵.

例2设为n维线性空间V的线性变换，λ0为E的特征根，Vλ0为相应于λ0的特征子空间，证明：dimVλ0≤λ0的代数重数.

证明该问题与Vλ0的维数有关，与λ0的特征多项式有关，因而问题的关键在于寻找一组基，并求出关于该基的矩阵.

设dimVλ0=r，α1，α2，…，αr为Vλ0的一组基，扩充为V的基α1，…，αr，αr+1， …，αn.

于是（αi）=λ0αi （i=1，2，…，r），

令（αj）=a1jα1+a2jα2+…+anjαn（j=1，2，…，n），则线性变换关于基的矩阵为

A=λ00…0a1r+1…a1n0λ0…0a2r+1…a2n0……λ0arr+1…arn0……0anr+1…ann

则f（λ）=λI-A=λ-λ0rg（λ），

所以dimVλ0=r≤λ0的代数重数.

例3设为有限维向量空间V的线性变换，W为V的一个子空间，（W）=（α）α∈W，证明： dim（（W））+dim（-1（o）∩W）=dim（W）.

证明设dim（-1（o）∩W）的维数为r，α1，α2，…，αr为其一组基，将其扩充为W的基α1，…，αr，αr+1，…，αs.

由于（αi）=0，1≤i≤r，若能证明（αr+1），…，（αs）为（W）的基，则问题得以解决.

因为W=L（α1，…αr，αr+1，…αs），

所以（W）=L[（αr+1），…，（αs）].

下面论证（αr+1），…，（αs）线性无关，

令∑sj=r+1Rj（αj）=0，则

∑sj=r+1Rjαj=0， ∑sj=r+1Rjαj∈-1（o）∩W，

于是∑r+1j=1Rjαj=∑ri=1Riαi.

但α1，…，αr，αr+1，…，αs线性无关，

所以Rj=0（j=r+1，…，s），故（αr+1），…，（αs）线性无关，

所以dim（W）=r+（s-r）=dim（-1（o）∩W）+dim（（W））.

1新定理

定理2设V1，V2，…，Vs为线性空间V的s个非平凡子空间，则存在β∈V，使得βVi （i=1，2，…，s）.

证明：用归纳法证明

当s=1时，命题显然成立.当s=2时，若V1V2，则因为V2为V的非平凡子空间，故必存在α∈V，但αV2，自然也有αV1.同理;当V2V1时，命题也成立.又当V1V2且V2V1时，则必存在α1∈V1，但α1V2，α2∈V2，但α2V1.若α=α1+α2∈V，则αV1，若不然，则与α2=（α1+α2）-α1=α-α1∈V1矛盾，所以α2V1;同理α1V2.故當s=2时，命题成立.

假设命题对s-1（s≥2）也成立，即存在σ∈V，使得σVi（i=1，2，…，s-1）.此时，如果σVs，则命题成立;如果σ∈Vs，因为Vs为V的非平凡子空间，故必存在βVs，所以R≠0∈F有RβVs，于是σ+RβVs.

若β∈Vi（i=1，2，…，s-1），则R≠0∈F有Rβ∈Vi（i=1，2，…，s-1），故只要取α=σ+Rβ，则αVi（i=1，2，…，s），所以命题成立.

若β某些Vj，不妨设βVj（1≤j≤t，1≤t≤s-1），则可断言，对Vj（1≤j≤t）来说，F中最多有一个数R，使得σ+Rβ∈Vj.这是因为：若有R1≠R2∈F，使得σ+R1β∈Vj，σ+R2β∈Vj，则（R1-R2）β∈Vj，但R1≠R2，从而β∈Vj，这与βVj矛盾.

因此，对于V1，V2，…，Vt来说，最多有t个F中数Rp（p=1，2，…，t），使得σ+Rpβ∈Vp（p=1，2，…，t）.由于F中有无限多个数，于是存在R∈F，使得σ+RβVj（j=1，2，…，t），从而得出σ+RβVi（i=t+1，…，s）.

综上，由数学归纳法可知命题成立.

2应用举例

例4设V为数域F上n维线性空间，V1，V2，…，Vs（s≥2）为V的m维子空间（0

证明设Vi的基为αi1，αi2，…，αim，则Vi=L（αi1，αi2，…，αim），由命题知，存在β1∈V，使得β1Vi，从而可知αi1，αi2，…，αim，β1线性无关.

令Wi=L（αi1，αi2，…，αim，β1），则dimWi=m+1，若m+1

例5设V1，V2，…，Vs为数域F上线性空间V的任意s个非平凡子空间，证明：当V为n维线性空间时，必存在V的一个基，使得这个基的n个向量都不在V1，V2，…，Vs中.

（本例的几何意义是：以过原点的平面V为例，它为二维线性空间，而平面上过原点的任意有限s条直线V1，V2，…，Vs都为V的非平凡子空间，平面上必有无限多个点，全不在这s条直线上，且其中有两个点为线性无关的.）

证明由命题知：存在α1≠0∈V，使得α1V1，α1V2，…，α1Vs.考虑V的非平凡子空间：V1，V2，…，Vs，L（α1），再由命题知：存在α2∈V，使得α2V1，α2V2，…，α2Vs，α2L（α1），于是α1，α2线性无关.因此必存在α3∈V，使得α3V1，α3V2，…，α3Vs，α3L（α1，α2），且α1，α2，α3线性无关.这是因为：若它们线性相关，而α1，α2是线性无关，故α3必为α1，α2的线性组合，因此与α3L（α1，α2）矛盾，故α1，α2，α3线性无关，且α1，α2，α3均不属于V1，V2，…，Vs.

设重复使用上述步骤n-1次后得到V的线性无关向量组α1，α2，…，αn-1，它们全不在V1，V2，…，Vs中.于是再由命题知：存在αn∈V，使得αnV1，αnV2，…，αnVs，αnL（α1，α2，…，αn-1），且α1，α2，…，αn线性无关，于是当V为n维线性空间时，α1，α2，…，αn就为V的基，它们全不在V1，V2，…，Vs中.

例6试证n维向量空间Pn的任意一个真子空间都为Pn的若干个n-1维子空间的交.

（本例的几何意义是：以三维空间为例，任何一条过原点的直线都是过原点的两个平面的交，任何过原点的平面，都是自己与自己的交.）

证明设W为Pn的任何一个真子空间，α1，α2，…，αs为其一组基，将这组基扩充为Pn的一组基α1，α2，…，αs，αs+1，…，αn，

令L1=L（α1，α2，…，αs，0，αs+2，…，αn）;

L2=L（α1，α2，…，αs，αs+1，0，…，αn）;

……

Ln-s=L（α1，α2，…，αs，αs+1，…，αn-1，0）.

可以斷定W=∏n-si=1Li.

事实上，显然有∏n-si=1Li≥W.

另一方面，设α=a1α1+…asαs+as+1αs+1+…+anαn∈∏n-si=1Li，则as+iαs+i∈Ls+i（i=1，2，…，n-s）.假设as+i≠0，则αs+i∈Ls+i，这与α1，α2，…，αs，αs+1，…，αn线性无关矛盾，所以as+i=0，从而α∈W，故∏n-si=1Li≤W.所以有W=∏n-si=1Li.

【参考文献】

[1]丘维声.高等代数（第二版，下册）[M].北京：高等教育出版社，2003：72-91.

[2]丘维声.高等代数（下册）[M].北京：清华大学出版社，2010：151-161.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003;237-272.

[4]王萼芳.高等代数（第四版，下册）[M].北京：高等教育出版社，2013：150-154.

[5]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007：211-278.