探寻导函数正负判断的策略*

华南师范大学附属中学汕尾学校(516600) 刘光明

利用导数处理函数综合问题是高中必不可少的内容,基本流程是求导后根据导函数的正负分析原函数的单调性,然后利用单调性处理函数的极值、最值等相关问题.由此可见,导函数的正负判断是函数综合问题的关键点,如若导函数的正负判断陷入困局,那么解决问题就会出现卡脖子现象.本文抓住这一核心问题,通过实例剖析,试图从再导一次、分类讨论、分离函数、放缩法和巧设零点等五个思考方向寻求突破导函数正负难辨困局的策略.

策略1:再导一次

策略2:分类讨论

策略3:分离函数

评注“化曲为直”是处理超越函数的一种有效手段,在导函数判断正负出现困难的时候,我们也同样可以考虑切线放缩.常见的切线放缩有ex≥x+1,x≥ln(x+1),x≥sinx.

策略5:巧设零点

导函数的零点存在但不容易求解出来的时,也会致使导函数的单调性判断受阻,此时可以利用零点存在性定理分析导函数的零点,通过“设而不求”巧妙架设沟通单调性的桥梁.

“问题是数学的心脏”,在备考教学中要从“解题”向“解决问题”进行转变.明确症结,方能对症下药.学生通过漫漫学习路,并不是所有问题都不能处理,所困惑之处无非关键一二,若能将卡脖子问题处理顺当,则数学解题无忧矣.因此在数学备考中,教师要用好教材和研究真题,厘清数学主干知识和基本方法,从学生的思维痛点处提炼出“真问题”,充分利用微专题,以精细化的主题挖掘问题背后的突破方法.激发学生自主反思所处困局的真因,培养良好数学思维和学习习惯,掌握知识和方法,应对千变万化的试题.