立足本质教“度量”

刘艳

摘要：度量的本质是对度量对象指定一个合适的数，且指定的方法必须满足“正规性”“有限可加性”和“运动不变性”。以小学阶段长度、面积、体积相关教学为例，探讨如何在度量对象、度量单位及度量方法的教学中凸显度量的本质，体现度量教学的价值。

关键词：度量;度量对象;度量单位;度量方法

一、度量的本质

史宁中教授认为，度量是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。度量主要包括两类：一类是通过抽象得到的，是人思维的结果;另一类是借助工具得到的，是人实践的结果。小学数学主要涉及借助工具得到的度量，包括长度、面积、体积等。这些内容在小学数学中属于“图形与几何”领域中的“测量”范畴。

长度、面积、体积虽然维度不同，但作为测量过程，它们的本质是一样的，都遵循度量公理（具体定义见图1）。换句话说，度量公理可以化作长度公理、面积公理或体积公理，取决于M是直线、平面还是三维空间。我们可以发现，度量的本质是要对度量对象指定一个合适的数，即给度量对象赋值（度量对象包含几个标准度量单位），而且指定的方法必须满足正规性、有限可加性和运动不变性。其中，根据运动不变性可以推出全等形等积，二者等价。

由此我们可以得出，小学阶段长度、面积、体积教学的关键在于“数”出度量单位的个数，在数的过程中体会有限可加性和运动不变性。

二、关于度量的教学实践

对于长度、面积、体积等内容，教材通常按照“度量对象—度量单位—度量方法”的顺序编排，如“认识体积—认识体积单位—立体图形体积计算”。无论度量对象，还是度量单位，抑或度量方法，在教学时都应立足并凸显度量的本质。

（一）度量对象的教学

长度、面积、体积都是度量对象，对这三个概念的理解学生通常有与生俱来的直觉。如对于体积，一个两三岁的幼儿就已经能辨别两个苹果的大小。“物体所占空间的大小叫作物体的体积”，这是苏教版小学数学教材给出的体积的定义，但这只能算是一种解释，并不是严格的定义。实际上，“空间”比“体积”更难懂，更不容易描述清楚。体积就是对物体大小的度量，学生凭直觉就能基本理解。

面积同样如此。当物体上一个平的面或一个平面图形呈现在学生眼前时，他们一般首先感知到的就是平面的大小。学生对面和面积的认识有比较丰富的生活经验，如每天接触桌面、地面、墙面等，知道黑板面比桌面大，等等。但他们对面积的认识还停留在零散、模糊、感性的阶段。为了让学生在已有认知基础上深入理解“面积”概念，首先要帮助他们厘清什么是面积。小学阶段，我们通常引导学生直观地认识到“物体表面的大小或封闭的平面图形的大小叫作它们的面积”。中学关于“面积”概念是这样论述的——对应于一个简单多边形且具有下列性质的正数叫作这个简单多边形的面积：（1）与合同的（即全等的）多边形对应的是相等的正数;（2）两个多边形之和对应的正数等于这两个多边形对应的正数的和。这样的面积概念界定比较明显地体现了全等形等积和可加性等特征。如果教学时仅仅组织学生对物体表面大小和平面图形大小进行一些经验性的讨论，显然不利于“面积”概念的形成。对此，我们可以引导学生从度量的本质入手，开展数学活动，认识、体会面积的特点，把非正式的经验发展为形式化的数学知识。具体教学如下：

师（出示图2）下面是从同一幅中国地图上描出的四个省的图形。比一比：哪个省的面积最大，哪个省的面积最小？

（学生比较、交流。）

师 对于一些面积相差比较明显的图形，通过观察就能看出哪个图形面积大、哪个图形面积小。（展示纸片，如图3）这儿还有三个图形，你能直接看出它们的面积大小吗？选择2个图形，和同伴说说你是怎样比较的。

生（展示方法，如图4）可以用重叠的方法比较1号图形和2号图形。

师 我们用重叠的方法比出了1号图形和2号图形的面积大小。（将两个纸片重叠，如图5）现在把2号图形和3号图形重叠在一起，哪个大呢？

生 无法直接看出大小，可以剪拼后继续比较。

（学生剪拼，如图6所示，得到结论：3号图形的面积大于2号图形的面积。）

师 如果无法剪拼怎么办？

生 也可以借助一些工具去量。

（学生用教师提供的若干三角形、正方形、圆形纸片开展测量活动。）

师 你们选用的是哪种图形？

生 正方形。

师 为什么都选择正方形？

生 正方形纸片可以无重叠、无间隙地铺满整个图形。

生 铺满后类似方格纸，我们可以数一數，2号图形占35格，3号图形占36格。

上述教学中，教师通过设计有层次的比较活动，帮助学生逐步经历“观察—重叠—剪拼—数方格”的比较方法，在比较过程中进一步体会面积的特征，凸显度量的本质。比较面积大小常用的方法是观察和重叠，而当重叠无法直接得出比较的结果时，学生根据已有经验自然地提出用剪拼的方法继续比较。剪拼主要依据运动不变性——将图形一部分剪下来，通过旋转平移到其他地方，其面积大小不变。最后，教师引导学生用数方格的方法进行比较。数方格的方法则主要体现有限可加性——这个图形由多少个正方形拼成，它的面积就等于多少个正方形面积的和，最后的结果35格和36格就是为度量对象赋值。看似是面积比较方法的教学，其实处处体现度量的本质，让学生于无形中自然地体会与感受。

（二）度量单位的教学

度量对象的教学离不开比较，度量单位的教学也是如此。为了比较两个事物在某方面的差异，往往需要借助某个量来比较，从而对该差异进行量化。长度单位、面积单位、体积单位等度量单位就源于比较的需要，是基于问题解决的产物，其发展经历了漫长的过程。以长度单位为例，起初，单位是多样化的，不同地域、不同人群有着不同的标准。如，《孔子家语》中记载“布手知尺，布指知寸”，规定拇指同中指一叉相距为一尺，中指节上一横纹，为一寸;西方则采用“英尺”作为度量单位，将16个成年男子左脚长度的平均值定为1英尺的单位长度。由于这样不便于传播和交流，因此，目前国际上统一规定：使用长度单位“米”，其长度为光在真空中1299792458秒所经过的距离。可见，度量单位的发展经历了从多元走向统一、从粗略走向精细的过程。度量的基本原理就是计算所要度量的对象中包含多少个度量单位。因此，度量首先要确定度量单位，规定度量单位的量数为1，度量对象与度量单位的比值就是度量对象的量数，是一个正实数。

度量单位虽然可以说是一个相对固化的标准，但对小学生来说，它是动态的、可以演化的。如何帮助学生感受“度量单位的产生是人们根据需要人为制定的”，理解“度量就是规定度量单位的量数为1，找到度量对象与度量单位的比值”这一过程呢？《面积单位》一课导入环节，立足度量本质，创设合适的情境，让学生自觉深入地体会。具体教学如下：

师 （出示图7）比较两个图形的面积，你有什么发现？

生 正方形的面积比长方形的小。

师 究竟小多少呢？大家可以用透明方格纸来研究一下。

（学生用学具探究后交流。）

师 通过交流我们发现，出现了不同的结果：（出示图8）有的人说长方形比正方形大5格，（出示图9，为便于观察，已等比放大）有的说大20格，（出示图10，为便于观察，已等比放大）还有的说大45格。为什么会出现这样的情况呢？

生 所用的正方形大小不同。

师 用不同的正方形去量，得到的数就不同，但它们之间有没有相同的地方？

（学生交流后明确：无论用哪种正方形去量，长方形的面积都是正方形的6倍。）

师 虽然我们最后得到的格数不一样，但“长方形的面积是正方形面积的6倍”这一关系是不变的。如果我们打电话告诉别人“长方形的面积是正方形面积的6倍”，别人能知道你说的长方形和正方形到底有多大吗？

生 不能。就像我们之前学习的长度单位“米”“ 厘米”一样，需要有一个统一的标准，即面积单位。

（教师简要介绍面积单位产生的历史。）

导入环节，教师首先呈现一个比较任务：具体描述两个图形面积大小的比较结果。学生在完成任务的过程中认识到，用大小不同的方格去度量，得到的结果也不同，因此产生建立标准的需要，感受到统一度量单位的必要性，这也正符合度量单位产生的历史原因：基于解决问题和交流的需要。接着，教师引导学生观察发现比较结果不同中的相同点，得到“两个图形面积的倍数关系是不变的”。保罗·洛克哈特在《度量》一书中这样说道：“什么是度量？其实就是比较，比较我们正在度量的物体和用来度量的物体。我们所做的任何度量，都必然取决于我们所选定的计量单位。我们可以选择任何我们想要的计量单位，不过，需要记住一点，其实我们真正在度量的只是一个比例。”当度量单位确定了，也就是量数为1的标准确定了，度量的结果也随之确定下来。最后，介绍面积单位发展史，让学生体会度量单位并不是凭空产生的，而是人们根据需要确立的，并且随着时间的推移不断地演变，最后趋于统一。今后随着科技的进步，也许还会出现新的需要，产生新的度量单位。

（三）度量方法的教学

长度、面积、体积度量的基础都是直线段的长度，而直线段长度的基础是两点间的直线距离。也就是说，长度、面积、体积度量的基础是两点间的直线距离，即二维面积、三维体积的度量最终都回归到线性度量。长方形的面积只需要测量长和宽，长方体的体积只需要测量长、宽、高，就都能通过计算得出。正因为如此，教学中容易出现侧重于教学生如何“求”面积或体积而不是“测量”面积或体积的现象。度量的本质是选用合适的单位描述待测的量。度量面积当然应该选用面积单位，同样，度量体积应选用体积单位。用长乘宽就可以得到长方形的面积，用长乘宽乘高就可以得到长方体的体积，使得用度量单位去度量的过程看似不那么重要。这恰恰违背了度量的本质。所以教学中要拉长用度量单位去和度量对象进行比较的过程，放慢脚步，引导学生逐步感悟和理解二维、三维的度量可以回归到线性度量的道理。如“长方形的面积计算”的教学片段如下：

师我们已经知道，图形中包含多少个面积单位，它的面积就是多少。（出示图11）你能估计一下这个长方形的面积吗？

（学生估计，出现多种结果。）

师大家估的结果各不相同，你们是怎样估的？

（学生交流估的方法，最终明确：要看长方形中包含多少个1平方厘米的面积单位。）

师为了方便大家估计，（出示图12）我们把1平方厘米的小正方形摆在长方形中，现在再来估一估长方形的面积是多少平方厘米。

（学生继续估计，仍然出现不同的结果。教师继续出示图13，学生再估计，还是出现不同的结果。）

师如果要知道这个长方形的面积究竟是多少，先想一想，還要知道什么，再动手摆一摆。

（学生探究。）

师（出示图14、图15）比一比，这两种摆法有什么相同的地方？

生都能清楚地看出每排摆7个，摆3排，一共有21个面积单位，所以面积是21平方厘米。

师（出示图16、图17）像这样，用1平方厘米的小正方形摆在2个长方形中，它们的面积分别是多少？

（学生交流，明确：只要知道每排摆几个，摆几排，就可以求出一共摆了多少个1平方厘米的正方形，长方形的面积就是多少平方厘米。）

师现在，我们已经知道测量面积需要用到1平方厘米的小正方形，但这个工具的获得稍显麻烦，我们身边常用的测量工具是什么？

生直尺。

师直尺能帮助我们得到长方形的面积吗？（出示下页图18）看图想一想，你知道每排摆几个小正方形吗？摆了几排？怎么知道的？

生长4厘米表示一排摆4个小正方形，宽2厘米表示摆2排，一共摆4×2=8个小正方形，面积是8平方厘米。

师（出示图19）看图想一想：怎么摆小正方形？面积是多少？

（学生交流。）

师为什么测出长和宽就能知道面积？

生长表示每排摆几个小正方形，宽表示摆几排，长乘宽就是算长方形里包含的小正方形的个数。知道小正方形的个数，就知道了面积。

上述教学中，教师始终围绕度量面积的本质，设计了估一估、摆一摆、比一比、练一练等学习活动，让学生多次经历用面积单位测量长方形面积的过程，体会长方形的面积就是看包含多少个面积单位。同样，在教学平行四边形、三角形等多边形的面积计算及圆的面积计算时，仍然要先用面积单位去度量，体积的教学亦是如此，以突出用度量单位与度量对象做比较的本质。其中，在过渡到线性度量即量长和宽就能量出面积后，教师也紧紧抓住“为什么测出长和宽就能知道长方形的面积”这个核心问题组织学生讨论，使学生始终把握度量的本质——长乘宽就是求一共摆多少个面积单位，所以得到的就是长方形的面积。需要指出的是，体会长乘宽得到长方形的面积不是一次完成的活动，今后遇到长方形的长或宽是小数时还需要引导学生再次进行体会，深化理解。

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