基于二阶扩展卡尔曼滤波理论的毫米波波束跟踪算法

刘高路，段红光，侯嘉智

(1.重庆邮电大学 通信与信息工程学院，重庆400065；2. 重庆邮电大学 通信核心芯片、协议及系统应用创新团队，重庆400065)

0 引 言

毫米波(mm wave)频段具有丰富的频谱资源，并且有利于大规模天线的集成，使得毫米波通信成为5G关键技术之一。由于毫米波无线传输存在严重的路径损耗，所以需要采用波束成形技术来改善传输质量[1-4]。传统的数字波束成形需要为每根天线配备一条射频链路(RF Chain)，从成本角度这不适用于大规模多输入多输出系统(multiple-input multiple output, MIMO)，通常采用模拟波束成形技术，该方案被多个5G行业组织积极讨论[5-6]。由于在毫米波系统中，收发两端采用多天线阵列产生的定向窄波束进行实时通信，因此，对波束信息进行准确持续的跟踪变得至关重要。

在毫米波波束跟踪估计的相关研究中，对波束方向的跟踪估计研究已经有大量的成果。文献[5]提出了一种基于二分法的信道跟踪估计算法，该算法本质上是在不同阶段使用不同波束宽度的波束成形向量对信道参数进行迭代估计。文献[6]首次提出了一种基于一阶高斯马尔可夫过程(first order gauss-Markov process)的信道参数演化模型来研究信道参数的跟踪估计问题，并且该模型被大量引用。文献[7]基于一种“双时间尺度信道变化模型”，采用一阶扩展卡尔曼滤波理论(extended Kalman filter theory，EKF)作为波束跟踪算法，该算法在迭代过程中采用多个定向波束对信道进行全向扫描，并基于扫描结果更新波束指向以实现量测值的有效性，相对于文献[5]提高了估计精度，但复杂度较高，训练开销大。针对此问题，文献[8]基于文献[6]提出的信道演化模型，采用EKF算法提出了一种新的波束跟踪方案，在保证跟踪精度的前提下相对于文献[7]中算法降低了复杂度，但在迭代过程中误差较大，跟踪精度不高。文献[9]则基于文献[6]提出的信道演化模型,采用粒子滤波(particle filter, PF)研究了波束跟踪问题。

本文针对EKF算法所存在的问题，采用SOEKF作为波束跟踪算法，进一步降低了线性化误差所带来的影响。为了降低训练开销，采用与文献[8]相同的波束更新策略，并在数值仿真中给出了信噪比，阵列大小，AoA/AoD(angles of arrival/angles of departure)变化速度对算法性能的影响，最后对仿真结果进行了分析对比。

1 系统模型

1.1 传输模型

发送端和接收端均使用均匀线性阵列(uniform linear array, ULA)如图1，且天线数分别为Nt和Nr。为了便于算法实现，假设发射机和接收机只有一条射频链路，收发两端采用模拟波束成形方式进行发送和接收。定义k时刻的时变信道模型如下

图1 发送端和接收端Fig.1 Transmitter and receiver

(1)

(1)式中：αn,k为路径增益；Nk为信道多径数；ar和at分别为接收端与发送端的阵列导向矢量；φn,A,k为接收端到达角AoA；φn,D,k为发送端离开角AoD;(·)*表示复共轭转置。ar和at分别为

(2)

(3)

(2)—(3)式中：λ为波长；d为天线间隔；(·)T表示转置。阵列天线接收信号可表示为[8-10]

(4)

(4)式中，w和f分别为收发两端的模拟预编码矩阵，vk～CN(0,1)/10SNR/20。由文献[5]和文献[10-13]可知，毫米波信道中非视距路径(non line of sight, NLOS)的衰减超过20 dB，基于文献[8-10]假设毫米波信道的稀疏性使得多条路径在角度域空间彼此分离，且只有视距路径(line of sight, LOS)i在主瓣方向上，其将非视距路径视为噪声归并于vk中。基于此假设，本文只针对视距路径i的信道信息进行持续地跟踪估计，省略下标i，将(4)式表示为

(5)

1.2 状态空间模型

构建状态向量为

Xk=[αR,k,αI,k,φA,k,φD,k]T

(6)

(6)式中，αR,k,αI,k分别表示αk的实部和虚部。由一阶高斯-马尔可夫模型构建路径增益的时变模型为[8-9]

αi,k=ραi,k-1+δk-1，i∈{R,I}

(7)

(7)式中，ρ为相关系数，δ[k]为噪声且δ[k]～N(0,(1-ρ2)/2)。设AoA和AoD的状态演化由高斯过程噪声驱动，则AoA，AoD状态方程分别表示为

(8)

Xk=FXk-1+wk-1

(9)

(10)

为了方便在2.1节表示，将(10)式重新表示为

yk=h(αRk,αIk,θA,k,θD,k)+vk=h(Xk,k)+vk

(11)

2 波束跟踪算法

本文以一种低复杂度波束切换方案为准则，辅以扩展卡尔曼滤波理论(second-order extended Kalman filter theory，SOEKF)作为每一时刻的信道信息跟踪算法，并以此构建波束跟踪模型，算法流程如图2。

图2 波束跟踪策略Fig.2 Beam tracking strategy

2.1 基于SOEKF的波束跟踪算法：

2.1.1 滤波器初始化

(12)

(13)

协方差矩阵初始化为

(14)

(14)式中，Qk为(9)式中的过程噪声矩阵。

2.1.2 时间更新方程

Step1状态向量一步预测

(15)

(15)式中，F为公式(9)中的状态转移矩阵；Xk为(6)式所示的状态向量。

Step2先验协方差矩阵为

(16)

2.1.3 量测更新方程

Step1状态向量滤波值更新为

(17)

(17)式中，yk,h(Xk,k)如(11)式，πk由(18)式计算得

(18)

(18)式中，Dk由Hessian矩阵得

(19)

Step2计算Jacobian矩阵

(20)

Step3卡尔曼增益更新

(21)

(21)式中，vk为观测噪声如(4)式。

Step4后验协方差矩阵更新

(22)

(23)

(23)式中，具有M个阵元的均匀线阵的波束宽度可由(24)式计算得

φBW=0.886λ/Md

(24)

2.2 算法复杂度分析

设迭代次数为N，统计运算方式为乘法次数+加法次数+求偏导次数。由于文献[7]EKF算法中波束指向的更新策略与本文及文献[8]不同(文献[7]需要在每一次迭代时利用全扫描结果来保证波束更新方向的有效性)，故不加入此对比。算法复杂度分析如表1。

表1 算法复杂度对比Tab.1 Comparison of algorithm complexity

由表1得，SOEKF算法相比EKF算法虽然求偏导因子增多8个，但计算复杂度都为O(N)，并且本文采用了文献[8]中的波束指向更新策略(见公式(23))，相较于文献[7]仍然具有较低的复杂度。

3 仿真分析

本节对SOEKF的算法性能进行了仿真分析，给出阵列大小，信噪比与AoA/AoD变化速度对算法性能影响，采用均方误差(mean square error,MSE)作为衡量算法性能的指标，设迭代次数N=100，初始化参数如2.1节所述，由于AoA和AoD估计结果类似，本节仅对AoA的数据进行分析。

3.1 阵列大小对性能的影响

本节研究阵列大小对估计性能的影响，仿真参数如表2。

表2 仿真参数Tab.2 Simulation parameters

图3为不同阵列大小与跟踪误差的关系曲线，为了更加直观，选取采样点N=100时的均方误差(最大跟踪误差)作为参考误差，表3给出了相应的数值对比。仿真结果表明，相较于文献[8]中的EKF算法，基于SOEKF的波束跟踪算法在不同阵列大小下均有性能提升，且阵列越大提升越明显。由图3可知，当AoA/AoD变化速度为0.5°/时隙时，ULA=16和32具有更好的估计性能，而ULA=8和64时估计误差较大，这是由于波束指向是根据(23)式来进行更新的(这与文献[7]中的更新策略不同)。ULA=64对应的半波束宽度较小，波束会根据滤波值不断更新指向以期望能实时地跟上信道的变化，在此过程中有可能导致更新方向不理想，即对于接收端来说，更新到的方向与真实来波方向之间存在较大误差，使得估计误差迅速累积导致跟踪能力变差，而发送端也有类似的情况。另外对于ULA=8，波束宽度较大，使得在迭代过程中波束不能实时地更新到期望的方向，仿真结果显示在此情况下收发两端的平均波束更新次数均小于1次，接收端不能获得准确的观测信息，同样造成估计性能下降。

图3 阵列大小对MSE的影响Fig.3 Array size impact on MSE

表3 最大跟踪误差与阵列大小的关系Tab.3 Relationship between maximum MSE and array size

3.2 SNR对性能的影响

本节研究SNR对估计性能的影响，仿真参数如表4，图4为SNR与跟踪误差的关系曲线，图5为最大跟踪误差与SNR的关系曲线，表5给出了具体数值对比。仿真结果表明，随着SNR的增大，估计误差会逐渐降低，在SNR较大时， SOEKF算法相较于文献[8]中的EKF算法具有更高的估计精度，但估计精度会逐渐趋于饱和，仿真结果显示当SNR>20 dB时性能几乎不再提升。这是由于SNR直接影响到了接收端观测值的准确度，随着SNR的提高，跟踪误差受其影响逐渐降低，当 SNR足够大时，其对观测值以及跟踪误差的影响可忽略不计。

图4 SNR对MSE的影响Fig.4 Effect of SNR on MSE

图5 最大跟踪误差与信噪比的关系Fig.5 Relationship between SNR and maximum MSE

表5 MSE[N=100]与信噪比的关系Tab.5 Relationship between MSE[N=100] and SNR

3.3 AoA/AoD变化速度对性能的影响

由于大阵列对角度变化更敏感，因此，设阵列大小Nr=Nr=64，并设SNR=20 dB以降低观测噪声对性能的影响。图6为采样点N=100时的估计误差与AoA/AoD变化速度的关系曲线，并在表6中给出了具体数值对比。仿真结果表明，当ULA=64时，AoA/AoD变化速度越快跟踪精度越低，并且相较于文献[8]中的EKF算法，当AoA/AoD变化速度从0.1°/时隙至0.7°/时隙时，SOEKF算法具有更高的估计精度。当AoA/AoD变化速度大于0.8°/时隙时，SOEKF不再表现出性能优势，其原因主要有2点：①如3.1节所述，因为大阵列的波束很窄，当AoA/AoD变化速度很快时，波束指向在迭代过程中更新到错误方向的次数会增多，导致估计误差迅速累积，算法失去跟踪效能；②而伴随着AoA/AoD变化速度的提升，系统非线性程度越来越高，卡尔曼滤波逐渐失去跟踪效能。由此可见，本文采用的SOEKF算法存在性能优势区间。

图6 AoA/AoD变化速度对MSE的影响Fig.6 Effect of AoA/AoD change rate on MSE

表6 最大跟踪误差与AoA/AoD变化速度的关系表Tab.6 Relationship between maximum MSE and AoA/AoD change rate

3.4 与文献[7]中的EKF算法对比

图7为估计误差随时间的变化关系，参数取值如表7。图8为采样点N=100时的估计误差与AoA/AoD变化速度的关系曲线，其中，σA/D∈{0.25°,0.5°，0.75°，1°}，参数Nq为量化水平(如文献[7]第3节所述)，表示对角度参数cos(φA/D)([-1，1])进行Nq等份均匀量化，因为滤波器初始化方式不同，本文所采用的SOEKF算法与文献[8]中的EKF算法不需要此参数。仿真结果表明，在不同的AoA/AoD变化速度下，本文所采用的SOEKF的估计性能均优于文献[7]中的EKF算法，并且在AoA/AoD变化速度为0.75°/时隙时优势较大。

表7 仿真参数Tab.7 Simulation parameters

图7 MSE随时隙的变化曲线[EKF]Fig.7 Relationship between MSE and time index [EKF]

图8 最大跟踪误差与AoA/AoD变化速度的关系[EKF]Fig.8 Relationship between maximum MSE and AoA/AoD change rate [EKF]

3.5 与文献[9]中的PF算法对比

图9为估计误差随时间的变化关系，图10为以PF算法为核心的对比跟踪方案的最大跟踪误差与AoA/AoD变化速度的关系曲线，其中，σA/D∈{0.25°,0.5°，0.75°，1°}。

图9 MSE随时隙的变化曲线[PF]Fig.9 Relationship between MSE and time index [PF]

图10 最大跟踪误差与AoA/AoD变化速度的关系[PF]Fig.10 Relationship between maximum MSE and AoA/AoD change rate [PF]

由仿真结果可得，在相同的波束切换方案下，当AoA/AoD变化速度较低时，SOEKF算法性能更好，随着系统非线性程度的提高，PF算法的性能将逐渐优于SOEKF算法。

4 结束语

本文基于时变信道演化模型，采用SOEKF算法研究了模拟波束成形下的波束跟踪问题。仿真结果表明，当阵列大小为16或32且信噪比较大时，可获得较高的估计精度，另外当AoA/AoD的变化速度小于0.8°/时隙时，SOEKF算法相较于同类算法拥有更优良的估计性能，同时仍然保持了较低的复杂度，更适合快速变化的信道环境。