音乐与数学

“do、re、mi、fa、so、la、si……”从一间教室里飘出美妙的音乐声，这是孩子们在上音乐课。

戴着眼镜的音乐老师笑眯眯地说：“在简谱中，我们最为熟悉的音阶do～si被表示为数字1～7，休止符以0表示。在数学中，数字0～9可以组成各种各样的算式。在音乐中，1～7也能构成千变万化的乐章。”

老师话刚说完，哈哈乐就站起来问道：“老师，数学和音乐有什么关系呢？”

老師看着这个勤学好问的学生，温和地说：“数学和音乐当然是有关系的。音乐中音的高低、长短、节奏等都是以数学为基础的。提到数学与音乐的关系，我们所能想到的第一个有关音乐与数学的结合，也许就是这7个基本音阶了。你们想知道这些音阶是按照什么规律排列的吗？让我们回到2500年前，追随大名鼎鼎的古希腊数学家毕达哥拉斯的脚步，看看他是怎么解答的吧。”

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学家。一天，他在散步时路过一家铁匠铺，铁匠铺里传出叮叮当当的打铁声，就像是打铁进行曲，声音要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。这吸引了他的注意。他以数学家的敏感，马上开始思考：音乐由何而生，音符的高低到底由什么决定呢？于是，他走进铁匠铺仔细观察，发现这些美妙的声音原来是源于铁锤和铁砧的大小不一，故而发出的声音也不同。他拿出一把尺子量了量铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。这同时也激发了他的思考：这些音乐与和谐什么有关呢？

毕达哥拉斯用不同的乐器做了许多的实验，发现每一个音高的高低取决于音弦的长短，而这背后藏着数学原理。他由此定义音阶：1、2、3、4、5、6、7。他还发现声音与发声体体积有着一定的比例关系。然后，他又在琴弦上做了试验，进一步发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以发出和谐的声音，如2∶1产生八度音，3∶2产生五度音，4∶3产生四度音等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。

毕达哥拉斯当年做测试时用的很可能是竖琴。竖琴是一种大型拨弦乐器，它所发出的音色空灵纯净，清澈动听，作为和声伴奏极具感染力，而独奏时又能演绎柔和优美的抒情片段。

那为什么弦长符合这些比例时，我们会觉得音乐和谐悦耳呢？

我们知道，声音是由振动产生的，但音的频率是按照等差数列排列的，同一根弦，其有效弦长与发音频率成反比关系。因此，当拨动一根弦时，各等分点为界的弦也在各自振动，因而会产生一系列的音，而这些音之间，某些分界点产生的音连接起来会显得特别优美，我们可以说这些是泛音列中占优势的音程关系。而按照毕达哥拉斯的发现，这些纯音程的频率之比都是最简单的自然整数比。

美的东西，总是简单而和谐。依据五度相生律产生的基础音阶构成的旋律，按照任意的方式组合，都有各自的美感，而将全部半音阶推算出来后，旋律的紧张度和动力性会得到增强，更能产生旋律之间动态的美感和张力。

正如莱布尼茨的名言所说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”音乐正如有情绪的数学，而数学则像最纯粹的音乐，音乐与数学看似不同，实际上却有着密切的关联，它们恰似人类心中开出的两朵玫瑰。

你知道吗？

毕达哥拉斯还曾提出十二等程律的概念，指的是将一个八度的频率平均分成十二等分，每分相差一个半音，也就是100音分。

明朝数学家朱载堉（yù）则是世界上首位推算并制造出十二音律乐器的人。在当时常用五声音阶“宫、商、角、徵（zhǐ）、羽”的中国，他力排众议，创造了十二音律，也就是我们现在常用的七声音阶（即由原有的五声音阶宫、商、角、徵、羽加上变徵与变宫两音而成，相当于现行简谱中的1、2、3、4、5、6、7）。他用竹子制造而成的36根律管，分别为倍率管12根，正律管12根与半律管各12根;其口径、长度都经由严密的测算得出，是世界上最早的十二音律乐器。