任意熵纠缠平方的单配性关系

苑光明,董明慧,王学文,唐顺磊,白志明

(1齐鲁理工学院基础部,山东 济南 250200;2河北科技大学理学院,河北 石家庄 050018)

0 引言

量子纠缠作为量子计算与量子信息的一类重要的物理资源,在量子多体系统纠缠分布描述、量子隐形传态、量子密码学以及黑洞物理学等领域有着重要的应用。纠缠单配性[1−3]是量子纠缠现象中一类奇特的物理性质,它意味着量子纠缠不能自由分布,即对于多体量子比特系统,一个量子系统和另一个量子系统的纠缠大小会限制此系统与其他量子系统的纠缠大小。换句话说,在多体量子比特系统中各个子系统同时处于最大纠缠是禁止的。目前对于两体量子比特系统的纠缠描述已经有了很好地研究,但是推广到多体量子系统时,其纠缠的描述与量化没有得到很好的解决,所以对于多体量子比特系统中的纠缠描述变得很有意义。单配性关系由Coffman、Kundu和Wootters[4]三人在研究三体量子比特系统时首次提出。2006年Osborne和Verstraete[5]将该单配性关系推广到了多体量子比特系统。但是,随后的研究发现基于并发度平方的单配性关系不能描述所有的多体量子比特系统的纠缠结构。科学家随后将单配性关系推广到了其他的纠缠度量方式,例如高斯纠缠[6]、压缩纠缠[7]、纠缠负熵[8]、形成纠缠[9]、任意熵纠缠[10]、非广延熵纠缠[11]。纠缠单配性的研究具有重要的价值,其可应用于物理学的诸多领域[12−21]。

任意熵纠缠是形成纠缠的一种推广形式,同时是一种很好的纠缠度量,之前对于任意熵纠缠的单配性研究发现,当参数α≥2时其本身服从单配性关系。Song等[10]研究了任意熵纠缠平方的单配性关系,将范围扩展至α≥0.823。之后对于任意熵纠缠单配性的研究扩展到了高阶。Fei等[21]研究了几种基于任意熵纠缠严格的单配性关系。本文给出基于任意熵纠缠平方的严格单配性关系,且论证其与文献[10]的优点。结果表明,基于任意熵纠缠平方的单配性关系比文献[4]基于任意熵纠缠的单配性关系适用范围更广,同时比文献[22]的任意熵纠缠平方的单配性关系更加严格。

1 基于并发度的新型单配性关系

对于两体量子比特纯态|ψ〉AB,并发度的定义为[4]

式中ρA=trB|ψ〉AB〈ψ|为子系A的约化密度矩阵。对于两体量子比特混合态ρAB,并发度的定义为凸脊扩展形式

2000年,Coffman、Kundu和Wootters[4]首次提出了单配性关系,证明了并发度纠缠的平方遵循单配性关系,并将这一单配性关系推广到了多体量子比特系统,即

之后对于并发度单配性的研究推广了更加严格的形式[21]

式中µ≥2。其后对于并发度单配性的研究进一步推广:对于任意多比特混合态ρ∈HA⊗HB1⊗···⊗HBN−1,如果CABi≥CA|Bi+1··BN−1,其中i=1,2,···,m; 且CABj≥CA|Bj+1··BN−1,其中j=m+1,···,N− 2,存在1≤m≤N−3、N≥4,并发度服从单配性关系式[21]

式中µ≥2。下面介绍几个相关概念[21]。

引理1假设k为实数,且0

式中m≥1,以及

式中0≤n≤1。

证明:首先讨论公式f(m,x)=(1+x)m−xm,其中x≥1/k,m≥1。对公式求一阶导数f′(m,x)=m[(1+x)m−1−xm−1],结果显而易见为非负,即函数为增函数。所以

令x=1/t,可得(8)式;同理,若0≤n≤1,公式f(m,x)=(1+x)n−xn一阶导数为非正,即函数为减函数。综上,不等式证明完毕。

下面利用引理1的知识,给出并发度的新型单配性关系。

定理1假设k为实数,且0

证明:对于任意2⊗2⊗2n−2混合态ρABC∈HA⊗HB⊗HC,如果CAB≥CAC,则

其中(10)式第一步推导利用并发度的单配性不等式,(10)式第三步推导利用引理1。接下来将定理1扩展至多体量子比特系统中。

式中α≥2。

证明:由定理1,可得

结合以上两式,证明完毕。

2 基于任意熵平方的新型单配性关系

对于两体量子比特纯态|ψ〉AB,任意熵纠缠的定义为[22]

对于两体量子比特混合态ρAB,任意熵纠缠的定义为凸脊扩展形式[10]

对于任意熵纠缠单配性研究,Kim[19]构建了任意熵纠缠与并发度的解析表达式

式中

式中参数α≥1。论证了α≥2时任意熵纠缠的单配性关系;Song等[10]改写函数关系式

式中

对于任意三比特混合态ρA1A2A3,高阶任意熵纠缠满足单配性关系

下面利用并发度的新型单配性关系,讨论基于任意熵纠缠的新型单配性。

N≥4,任意熵纠缠平方服从关系式

第二个不等式利用了并发度的单配性不等式;第三个不等式利用了引理1。

接下来考虑将该单配性关系应用于一个三比特态|ψ〉,即

对应的单配性关系为

图1为µ取不同情况下三比特态|ψ〉的任意熵纠缠分布情况,其中点线表示|ψ〉的任意熵纠缠,虚线表示(22)式中k=0.5时的结果,实线表示(20)式的结果。由图可见所得到的结果(22)要比文献[22]提出的单配性关系更加严格。

图1 |Ψ〉的任意熵纠缠分布图Fig.1R´enyi entanglement for|ψ〉

通过以上证明发现,多体量子比特系统中任意熵平方的新型单配性关系得到的结果较之前得到的基于任意熵纠缠平方的单配性关系更加严格。

3 结论

量子纠缠的分布特性不同于经典关联,量子纠缠不能在多体之间任意分享,纠缠单配性不仅是多体量子比特系统中一类重要的物理性质,同时有助于了解多体量子比特系统的纠缠结构。提出了一种基于任意熵纠缠的新型纠缠单配性不等式,在参数、阶数时服从的单配性不等式,本单配性关系较之前本课题组得到的基于任意熵纠缠平方的单配性关系更加严格,有利于推动对多体量子比特系统纠缠的描述和量化。