高中数学解题中变量代换法的应用研究

■福建省龙岩北大附属实验学校 邹小明

变量代换法是一种非常有效的解题方法，尤其是处理一些结构复杂、变元较多的数学问题时效果明显。合理代换能简化题目信息，凸显隐性条件，沟通量与量之间的关系，对发现解题思路和优化解题过程有着至关重要的作用。在高中数学解题教学中，教师可引领学生采用变量代换法，使其引入一些新的变量进行代换，帮助他们简化题目结构，提高解题技能。

一、运用三角变量代换法，帮助学生形成清晰的解题思路

三角变量代换法即为利用三角函数的性质，把代数或者几何问题转化为三角函数问题，以此寻求题目突破口的一种高效解题方法，而三角变量代换的实质就是换元思想的具体表现。高中数学教师在解题环节，可引导学生科学运用三角变量代换法降低题目的难度，使其形成清晰的解题思路，找准解题的关键点，让他们的解题步骤变得更加明朗。

比如，在实施“三角函数”教学时，教师设置以下题目：求函数的值域。解析：学生在处理该道题目时，通常思路为移向、平方、化简、再平方，过程比较复杂、不易解决，还容易出现错误。假如他们把原题转化成一个三角函数问题，运用三角变量代换法来求解，将会变得容易一些。解答：根据题目信息得知 x-4≥0 和 15-3x≥0 同时成立，将它们两个联立起来成为一个不等式组，解得4≤x≤5，观察x的解集，令x＝4+sin2θ，（0≤θ≤π/2），则y＝因为0≤θ≤π/2，所以θ+π/3∈[π/3，5π/6]，那么当θ＝π/2时，y有最小值1，当θ＝π/6时，y有最大值2，则y的值域是[1，2]。

二、采用函数变量代换法，真正达到化繁为简的目的

函数在整个数学知识体系中的重要性不言而喻，贯穿于初中与高中。其中初中阶段学习基本的函数知识，如正反比例函数、一次函数与二次函数等，步入高中阶段后，对函数概念进行重新升级，学生能接触到指数函数、对数函数、幂函数、函数与方程等知识。在高中数学解题教学环节，教师可引领学生采用函数变量代换法解决函数问题，通过代换把复杂的数学式子变得简单化，使其快速求出函数值，解决难点，还能用以处理一些复杂的函数证明题。

在这里，以“函数”教学为例，教师设计以下例题：已知f（x）是奇函数，x∈R，且f（x-2）＝-f（x），f（1）＝-1，（1）证明f（x+2）＝f（x-2）；（2）求f（2001）的值。解析：（1）像这样的证明题可采用函数变量代换法，根据题目信息f（x-2）＝-f（x），得出f（x）＝-f（x-2），此时把x 转变成x+2，把其带入式子f（x）＝-f（x-2），就能轻松求出 f（x+2）＝-f（x），又因为 f（x-2）＝-f（x），所以f（x+2）＝f（x-2）；（2）可以使用（1）的结论来解题，采用变量代换法把x 换成x-2 重新带入式子，能够得到f（x-2+2）＝f（x-2-2），即为f（x）＝f（x-4），那么 f（2001）＝f（1997）＝……＝f（1）＝-1。这样解题不仅省时省力，而且正确率也比较高。

三、使用导数变量代换法，辅助学生解决复杂问题

在高中数学导数解题教学环节，列出导数表达式是解题的关键和核心所在，不过在实际解题中，由于受到多个方面因素的影响，学生难以顺利写出表达式。这时，教师可使用变量代换法，帮助他们处理复杂的导数问题，顺利列出导数表达式，使其解题能力得到锻炼与改善。

在展开“导数在研究函数中的应用”教学时，教师出示题目：已知函数f（x）＝ax3-3x2，a∈R，如果在x∈（0，2]上，g（x）＝exf（x）是单调减函数，那么a的取值范围是什么？解析：根据题目中的已知条件对g（x）展开求导，又因为ex＞0，原式能够转化成ax3-3x2+3ax2-6x≤0在给定区间内恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立，这时采用h（x）代换成后再研究。接着，对h（x）进行求导，在给定的区间内h（x）是单调减函数，可以轻松求出该函数的最小值是h（2）＝6/5，所以a的取值范围为（-∞，6/5]。

四、利用不等式的变量代换法，促使学生简化计算过程

变量代换法，顾名思义是通过变量来进行代换，把复杂的数学问题加以转化，目的是便于求解，应用范围相当广泛，涉及证明计算、化简求值等各类题目。在处理不等式问题时同样能应用变量代换法，让学生简化计算过程，实现化难为易、化繁为简的效果。

在“不等式”教学中，教师可以呈现题目：已知m＞1，n＞1，p＞1，证 明解析：这是一道典型的不等式证明题，通过观察、分析发现，如果直接展开证明难度较大，这就要把题目中复杂的信息通过变量代换法转变成简单的式子，再采用均值不等式慢慢解决。

五、结语

综上所述，在高中数学解题教学中，教师要意识到变量代换法是一种既常用又高效的解题方法，可以利用它指导学生处理一些难度较大、复杂多变的数学问题，帮助他们掌握变量代换法的精髓，使其灵活自如地处理题目，做到游刃有余和得心应手，逐步提高数学解题水平。