一种基于连续补偿函数的时变增益限反Q滤波方法

邓儒炳,阎建国，陈琪，宋鑫磊

(成都理工大学 地球物理学院，四川 成都 610059)

0 引言

在地震勘探的过程中，地层对地震波能量的吸收衰减作用造成了地震子波能量衰减、相位畸变，且随着传播时间的增大，地震波高频信息衰减较低频信息更为严重，导致地震资料分辨率降低，影响油气勘探和储层预测的准确性[1-11]。目前针对地层吸收对地震波造成的衰减，主要采取反Q滤波的方法进行吸收补偿处理。反Q滤波是一种能有效补偿由地层衰减效应引起的地震波振幅损失和相位畸变的方法，通过求取地层品质因子Q并带入到补偿函数中，能有效地补偿地震波在地下粘弹性介质传播过程中造成的能量损失和相位畸变，从而改善地震资料同相轴的连续性，增强深层弱反射波的能量，起到保幅和提高分辨率的作用[12-15]。

虽然反Q滤波是储层预测中提高地震资料分辨率和保幅的常用方法之一，但在实际资料处理中，面对如何压制不同因素引起的资料噪声以及反Q滤波方法由于补偿函数特性及算法问题而导致的深层波场补偿时的高频噪声等问题，反Q滤波方法的精度及可靠性以及应用效果等方面，面临着越来越多的挑战[16-20]。自从Hale于1981年[1]首次提出该方法以来，许多学者在此基础上进行研究和发展，并提出了多种算法用于改进反Q滤波。近年来，由Wang Y H等[2-5]、张固澜等[14]、 Tim Seher等[9]提出的改进算法得到了业界的普遍认同和应用，成为目前较为常用的反Q滤波方法。通过对这些反Q滤波方法进行研究，我们提出了一种新的更加稳定的时变增益限反Q滤波方法。所提出的新的反Q滤波方法基于平滑连续函数而不是基于传统分段函数或截止频率来计算振幅补偿函数的增益限，提出的新方法具有目前上述常用反Q滤波方法的优点，并且滤波结果稳定和增益限可时变等，因此可以大大提高地震数据的分辨率，达到保幅的目的。该方法不仅适用于叠后资料，而且也适用于叠前资料。理论数据和中国东部渤海湾地区的实际应用证明了所提方法的有效性。实际资料处理结果表明新方法较传统的方法更能有效提高地震资料的分辨率，有利于储层的精细表征。

1 方法原理

我们提出的基于连续补偿函数的时变增益限反Q滤波方法，通过地震波瞬时能量和品质因子以及地震波振幅关系，推导出反Q滤波振幅补偿函数增益限和品质因子的关系式，并在稳定因子法反Q滤波[7]的基础上进行改进，使得品质因子和稳定因子产生固定联系，即稳定因子随着品质因子的变化而变化，从而达到振幅补偿函数增益限时变的目的，得到更加符合实际结果的更高分辨率地震剖面，用于满足实际生产中的高分辨率需求。其主要原理公式及推导过程如下。

Kaiser[7]在1990年提出了离散时间信号的能量表达式：

(1)

下面是地震波能量计算公式：

(2)

式中：E为地震波能量，m为物体的质量，un是离散时间采样点，ρ为地下介质的密度，A为地震波振幅，ω为地震波角频率。

假设物质的质量m可看成是物体连续密度的集中近似，那么式(1)和式(2)是一致的。Kaiser证明的离散时间信号的能量计算方程对于单频信号是严格成立的，计算得到的能量为单频信号的瞬时能量。考虑将时频分析方法(本文采用广义S变换)加入到瞬时能量的计算当中，对单频信号做S变换，在时频域，结合Kaiser离散时间信号能量计算方程，可得到能量在时频域的展布特征，即：

E(τ,ω)=[GSTN(τ,ω)]2-

[GSTN(τ+Δτ,ω)]·[GSTN(τ-Δτ,ω)] ，(3)

式中：GST为广义S变换后的时频振幅谱。地震波瞬时能量即为频率域能量的最大值：

(4)

式中：ωm(τ)为瞬时能量对应的频率。

通过计算抽样波长内的能量衰减量，可以得到品质因子Q和能量关系的表达式：

(5)

式中：E(τ)和E(τ+Δτ)分别为τ时刻能量和τ+Δτ时刻的能量。

由式(2)可以推导出地震波振幅比和能量比的关系：

(7)

增益限c(τ)和稳定因子σ2的关系可由稳定因子法反Q滤波的方程式推导出来，对稳定因子法反Q滤波振幅补偿方程进行通分，可得：

(8)

由稳定因子反Q滤波方法原理[2-6]可知，其振幅补偿函数呈高斯分布，函数顶点处即为增益限的值，且该处导数为零，通过对振幅补偿函数求导的方法，可得到增益限和稳定因子的关系式。推导过程如下，对式(8)等号两边分别求导后可得到：

Φ(τ,ω)=

(9)

令Φ(τ,ω)=0可得：

2δφ(τ,ω)φ(τ,ω)-δφ(τ,ω)2φ(τ,ω)+

δ2φ(τ,ω)=0 。

(10)

化简后得到：

δ=2φ[τ,ωm(τ)]2-2φ[τ,ωm(τ)]。

(11)

将式(11)代入到式(8)，可得到稳定因子法反Q滤波振幅补偿函数在τ时刻的增益限：

将式(12)代入到式(11)，可得到增益限和稳定因子的关系式：

(13)

又已知式(7)，代入到式(13)可得到稳定因子σ2和地层品质因子Q的关系式：

(14)

将稳定因子σ(τ)2代入到稳定因子法反Q滤波公式，即得到时变增益限反Q滤波方程：

(15)

式中：φ(τ,ω)为时变增益限反Q滤波方程，φ(τ,ω)为常规反Q滤波振幅补偿函数，σ(τ)为τ时刻的稳定因子。

在进行实际地震资料的离散处理时，应当注意离散处理的合理性。通常的地震资料离散处理方法有傅里叶变换、S变换和广义S变换等。对于本文来说，品质因子的求取以及反Q滤波过程都需要时频分辨率高的信号来做处理，所以推荐使用广义S变换[16-17]，其通过引入的调节因子可以有效控制时窗的宽度，使得在对实际资料处理时减少中深层的高频信息损失，增加薄互层识别的精度，提高分辨率。在这个过程中，也需要根据目的层的位置合理的调节窗函数的大小。

时变增益限反Q滤波方法，在公式推导过程中将瞬时能量作为中间变量，导出振幅补偿函数增益限和品质因子的关系式，使得振幅补偿函数成为一个连续的而不是分段连续的函数，而且增益限时变，因此可以在有效压制高频噪声的同时，避免了吉布斯效应的产生，得到更高分辨率的反Q滤波结果。

2 模型验证及实际资料应用

2.1 振幅补偿函数稳定性模型验证

为了比较几种常用的反Q滤波振幅补偿函数和本文提出的时变增益限振幅补偿函数对地震波衰减的补偿作用，根据不同Q值合成地震记录，采用不同反Q滤波方法进行振幅补偿，分别研究了不同振幅补偿函数(以增益限为参数)随频率的变化规律以及不同方法在振幅补偿方面的结果。

图1～5给出了常规反Q方法、截至频率法、稳定因子法、自适应增益限反Q滤波方法、本文提出的时变增益限反Q滤波方法等的振幅补偿函数(用增益限做参数)随频率变化规律走势图。

常规反Q滤波是Hale基于Futterman模型[10]提出的一种通过级数展开近似补偿高频成分的方法，这种方法的振幅补偿函数没有增益限制，导致地震资料高频噪声能量被提升严重，地震资料的补偿效果不佳，补偿后的地震资料信噪比降低。截止频率法反Q滤波[12-13]是Bickel和Natarajan在常规反Q滤波振幅补偿函数的基础上提出的改进方法，该方法在地震波有效截止频率外固定振幅补偿函数的补偿增益限来压制高频噪声。稳定因子法反Q滤波[2-5]是Wang提出的一种稳定高效的反Q滤波方法，该方法通过引入稳定因子，使反Q滤波振幅补偿函数在频率域满足高斯分布，从而使振幅补偿函数稳定且带固定增益限，可以有效压制高频噪声，同时避免截断效应的出现。自适应增益限反Q滤波方法是张固澜提出的一种反Q滤波方法[14]，该方法采用分段函数的思路，在地震波有效频带内采用常规反Q滤波补偿公式，在地震波有效频带外则采用稳定因子法反Q滤波公式进行补偿，弥补了稳定因子反Q滤波方法增益限固定不变的缺陷，但其补偿函数分段计算，不是连续圆滑的，从而带来由于有效频带确定不准，影响反Q滤波效果等问题。本文提出的时变增益限反Q滤波方法，是综合以上几种方法的优点，改进其缺陷，而提出的一种新的反Q滤波方法。

图1是常规反Q滤波振幅补偿函数走势图，可以看出其振幅补偿函数随频率的增大而呈指数增长，造成实际地震资料在深层地震波衰减较大的地方，用该方法进行补偿处理导致高频噪声被严重抬高。图2是截止频率法反Q滤波振幅补偿函数走势图，可以看出其振幅补偿函数有明显的截断效应，导致补偿后的地震记录子波旁伴出现了严重震荡扰动，降低了地震资料的信噪比，影响地震资料同相轴的真实性。图3是稳定因子法反Q滤波振幅补偿函数走势图，其振幅补偿函数呈高斯分布，光滑连续，避免了人为截断效应，但是其稳定因子为一个不变的常数，其补偿增益限也为一固定不变的常数，不能完全适应于地震记录中各道各采样点的补偿限度，当增益限过大时，地震资料振幅补偿过量，高频噪声能量同样会被抬升，增益限过小时，地震波振幅补偿欠佳，达不到资料的补偿要求，分辨率提升不明显。图4是自适应增益限反Q滤波振幅补偿函数走势图，当地震波频率小于截止频率时，经自适应增益限反Q滤波振幅补偿函数补偿后的地震波振幅能完全恢复，当地震波频率大于截止频率时，该方法振幅补偿函数能有效压制频带外噪声，但该方法的振幅补偿函数是分段函数，在截止频率处振幅补偿函数连续但是不光滑，导致在补偿过程中地震子波会发生吉布斯效应，在子波周围出现震荡现象，这种震荡严重影响了地震剖面同相轴的连续性，从而导致处理后的地震资料分辨率降低。图5是时变增益限反Q滤波振幅补偿函数走势图，该方法的补偿增益限是时变的，且截止频率处补偿函数光滑，随地下介质品质因子Q的变化而变化，能自适应补偿不同采样点振幅，较稳定因子法反Q滤波，更加适合于高分辨率地震资料的需求。

图1 常规反Q滤波振幅补偿函数走势Fig.1 Trend of conventional inverse Q filtering amplitude compensation function

图2 截止频率法反Q滤波振幅补偿函数走势Fig.2 Trend of cutoff frequency method inverse Q filtering amplitude compensation function

图3 稳定因子法反Q滤波振幅补偿函数走势Fig.3 Trend of amplitude compensation function of inverse Q filtering by stabilization factor method

图4 自适应增益限反Q滤波振幅补偿函数走势Fig.4 Trend of adaptive gain limiting inverse Q filtering amplitude compensation function

图5 时变增益限反Q滤波振幅补偿函数走势Fig.5 Trend graph of time-varying gainlimit inverse Q filtering amplitude compensation function

2.2 反Q滤波效果模型试算

图6和图7分别是单道合成地震记录模型和多道合成地震记录模型用各反Q滤波方法进行补偿后的结果对比，其中合成地震记录是由主频为50 Hz的雷克子波和各层反射系数褶积得到的合成地震记录，根据地层吸收衰减作用，各道取不同Q值进行衰减，得到图6和图7。图6中单道合成记录Q值为80，其单道模型各反Q滤波方法补偿结果表明，时变增益限反Q滤波方法较其他方法对地震波能量衰减的补偿具有更好地效果和稳定性。图7a各道数据Q值分别为30、60、90、120、150。由图7a可知，Q值越小，地震波振幅衰减越严重，且时间向下传播越久地震波衰减越严重。利用不同的反Q滤波方法对图7a进行振幅补偿，得到图7b～f中所示结果。

从图6和图7中可看出，常规反Q滤波方法对衰减后的合成地震记录进行振幅补偿时，当Q值较大时，浅层有效信息可以被恢复，当Q值较小时，补偿后的结果差，深层背景噪声被抬升得更严重，导致有效信号完全被噪声覆盖。截止频率法反Q滤波对衰减后的合成地震记录进行振幅补偿时，浅层信息能被有效补偿，但随着旅行时的增大，地震波形出现震荡，且Q值越小，震荡出现深度越小。这种现象的出现是由于截止频率反Q滤波的振幅补偿函数在截止频率处不光滑，从而导致补偿结果出现人为截断效应，截止频率外的振幅补偿函数为一常数，增益限也为一固定的常数，地震记录深层能量不能完全恢复，从而出现震荡现象。稳定因子法反Q滤波对衰减后的合成地震记录进行振幅补偿时，当Q值较大，即地层衰减作用较小时，稳定因子法反Q滤波能完全恢复地震波能量，当Q值较小时，该方法不能完全恢复地震记录的深层有效信息，导致这种现象发生是由于稳定因子法振幅补偿函数增益限也为一固定的常数，不能随地震资料不同采样点而自适应，导致深层能量不能完全被恢复。自适应增益限反Q滤波方法补偿后的地震记录显示，当Q值较大时，该补偿函数能完全恢复地震波有效频带内的振幅，当Q值较小时(图中Q为30时)，补偿后的记录出现震荡现象，这种震荡在深层记录中表现尤为明显，影响了地震波振幅补偿的补偿效果，降低了地震记录的分辨率。时变增益限反Q滤波对衰减后的合成地震记录进行振幅补偿时，其振幅补偿函数增益限随地下介质的衰减性质而变化，当地震波能量衰减大时，补偿函数的增益限随之增大，相反，振幅补偿函数的增益限随之减小，故图7f中，中深层地震波能量被有效补偿起来。当Q值较小时，对深层地震波能量的补偿效果，时变增益限反Q滤波的补偿效果明显好于稳定因子法反Q滤波。

为了进一步验证时变增益限反Q滤波方法在叠前CMP道集模型中的应用效果，采用稳定因子法和时变增益限反Q滤波方法进行试算。结果如图8所示，可以明显看出时变增益限反Q滤波方法在深层补偿结果优于稳定因子法。

a—衰减后记录；b—常规反Q滤波补偿后记录；c—截止频率法反Q滤波补偿后记录；d—稳定因子法反Q滤波补偿后记录；e—自适应增益限反Q滤波补偿后记录；f—时变增益限稳定因子法反Q滤波补偿后记录a—post attenuation records；b—compensation records by conventional inverse Q filting；c—compensation records by inverse Q filting with cutoff frequency method；d—compensation records by inverse Q filting with stability factor method；e—compensation records by inverse Q filting with adaptive gain limit；f—compensation records by inverse Q filting with time varying gain limited stability factor method图6 单道模型各反Q滤波方法补偿结果Fig.6 Compensation results of different inverse Q filtering methods for the single-channel model

a—原始记录；b—常规反Q滤波补偿后记录；c—截止频率法反Q滤波补偿后记录；d—稳定因子法反Q滤波补偿后记录；e—自适应增益限反Q滤波补偿后记录；f—时变增益限稳定因子法反Q滤波补偿后记录a—original records；b—compensation records by conventional inverse Q filting；c—compensation records by inverse Q filting with cutoff frequency method；d—compensation records by inverse Q filting with stability factor method；e—compensation records by inverse Q filting with adaptive gain limit；f—compensation records by inverse Q filting with time varying gain limited stability factor method图7 不同Q值合成地震记录情况下各反Q滤波方法补偿后结果Fig.7 Compensation results of different inverse Q filtering methods

a—原始CMP正演道集模型;b—稳定因子法补偿结果;c—时变增益限反Q滤波方法补偿结果a—forward channel set model with original CMP;b—compensation results by stability factor method;c—compensation records by inverse Q filting with time varying gain limited stability factor method图8 叠前CMP正演道集时变增益限反Q滤波补偿结果Fig.8 Compensation results of time-varying gain limit inverse Q filter for prestack CMP forward gather

2.3 实际资料反Q滤波效果分析

通过以上模型实验结果可以看出，本文所提出的方法，由于其振幅补偿函数是一种可以根据地震波吸收衰减的变化自动调节的连续圆滑函数，从而实现了基于连续补偿函数的时变增益限的反Q滤波, 使其具有了更高的补偿精度和更好的效果。

为了证明所提出方法在实际资料中的应用效果，将该方法应用到中国东部渤海湾某地潜山气藏的案例研究中，工作目的是通过保幅处理来增加深部(4 500～5 200 m)潜山储层地震数据分辨率，满足地震储层预测精度的需求。

图9是取自研究区目标区某一叠前CRP道集，利用本文所提出方法进行的叠前反Q滤波的效果例子。

由图9可以得出，对于目的层区域，由于其对地震波能量衰减较强，补偿后的地震道集目的层地震波同相轴明显更加连续，且细轴凸显出来，明显提高了目的层的分辨率。

图10显示了新方法应用于研究区潜山储层叠后地震资料反Q滤波的结果，用黑线显示了目地层T8。图10a是原始部分之一，图10b是使用时变增益限反Q滤波后的同一部分。显然，滤波后的地震剖面的分辨率，特别是在红色方框处得到了很大的提高，并且该数据更适合通过地震反演或属性分析来表征地震储层。图10c～d是具有RMS振幅属性的目地层T8水平切片，与图10c相比，某些RMS振幅异常的细节在图10d中(红色圆圈区域处)更具特征。

图11是叠后地震资料在图10中红色方框处经时变增益限反Q滤波之后的频谱对比。从图11a中可看出原始地震资料中心频率为18.5 Hz，图11b经时变增益限反Q滤波之后的地震资料中心频率为23.5 Hz，其地震资料主频得到了一定提高；且时变增益限反Q滤波前后的地震资料频带宽度得到了有效拓宽，从27.0 Hz拓宽到39.0 Hz，进一步说明时变增益限反Q滤波在实际地震资料中具有较好的效果，能有效提高地震资料分辨率。

图9 时变增益限反Q滤波补偿前(a)后(b)叠前CRP道集Fig.9 Pre-stack CRP gathers before(a) and after(b) time-varying gain-limit inverse Q filter compensation

a—原始T8目的层地震剖面；b—时变增益限反Q滤波后的T8目的层地震剖面;c—原始T8目的层RMS水平切片;d—时变增益限反Q滤波后T8目的层RMS水平切片a—original seismic profile of T8 target strata;b—seismic profile of T8 target strata after inverse Q filtering with time varying gain limit;c—RMS horizontal section of original T8 target layer;d—RMS horizontal section of T8 target strata after inverse Q filtering with time varying gain limit图10 叠后地震资料时变增益限反Q滤波结果Fig.10 Time-varying gain limit inverse Q filtering results of poststack seismic data

a—原始地震资料频谱分析;b—时变增益限反Q滤波后频谱分析a—spectrum analysis of original seismic data;b—spectrum analysis after inverse Q filtering with time varying gain limit图11 叠后地震资料时变增益限反Q滤波频谱对比分析Fig.11 Comparative spectrum analysis after time-varying gain limited inverse Q filter of post-stack seismic data

图12 时变增益限反Q滤波前(a)后(b)T8目的层上部反演结果Fig.12 Inversion results of the upper layer of the T8 target layer before (a) and after (b)time-varying gain limited inverse Q filtering

图12显示了反Q滤波之前(图10a)和反Q滤波之后(图10b)目的层T8上部储层发现井附近的反演结果对比。可以看到，滤波后地震数据的分辨率得到了极大提高，反Q滤波后的反阻抗结果很好地显示了储层细节，这也与测井数据相对应。实际地震资料应用结果表明，时变增益限反Q滤波方法对于研究区储层的表征非常重要。

3 结论

本文基于对几种常用反Q滤波方法的研究，提出了一种新的反Q滤波方法，该方法具有通过平滑连续函数表示的时变增益限振幅补偿函数，可以有效补偿由于地层吸收衰减导致的振幅损失和相位畸变，并通过理论和实际资料证明：①时变增益限反Q滤波相对于传统的反Q滤波方法，在提高分辨率和地震数据振幅保真方面有明显改进； ②该方法不仅适用于叠后地震资料，也适用于叠前地震资料，并且是表征研究区较深和复杂的地下储层的有效方法。有一点需要指出，本文提出的反Q滤波方法的精度与地层品质因数Q值的求取精度有很大关系。