变截面功能梯度Timoshenko 梁的自由振动分析

杜运兴，程鹏，周芬

（湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082）

随着科学技术的发展，各种高性能材料相继出现，比如功能梯度材料（FGM），FGM 是一种微观上不均匀的空间复合材料，通常由两种或多种不同的材料组成.FGM 因性能优异而广泛应用于土木、机械和航空航天等领域.一些学者对FGM[1]或FGM 结构[2]进行了研究.而FGM 梁通常作为单独的结构或者作为FGM 结构的构件应用于工程中，对于一些受到动荷载作用的FGM 梁，求解其固有振动特性从而避免共振具有重要意义.目前，对于轴力作用下的变截面FGM 梁的自由振动问题的研究仍不完善，需深入研究.

对于材料性质沿梁高分布的FGM 梁的自振问题已有大量研究.基于Euler-Bernoulli 梁理论，Yang等[3]分析了带有裂缝的FGM 梁的自由振动和稳定问题.等[4]分析了FGM 梁在集中移动简谐荷载作用下的自由和受迫振动.最近Lee 等[5]提出了一种精确传递矩阵法来分析FGM 梁的自由振动特性.尽管基于Euler-Bernoulli 梁理论计算较为简单，但是在长细比较小时结果误差较大.龚云[6]分别基于Euler-Bernoulli 梁理论与Timoshenko 梁理论分析了FGM 梁自由振动和弯曲问题，结果表明长细比对固有频率影响显著.基于一阶剪切变形理论，Lee 等[7]研究了材料沿截面高度分布的FGM 梁的轴向-弯曲耦合振动.他还分析了FGM 梁法向应变能和剪切应变能固有频率贡献率的影响.该方法能准确地评估剪切变形的影响，蒲育等[8]也提出一种改进型广义微分求积法来求解FGM 梁的自由振动问题.也有一些学者基于高阶梁理论分析该问题，比如，Pradhan 等[9]研究了不同边界条件下FGM 梁的自由振动问题.基于不同的剪切变形梁理论以及经典梁理论进行了分析.[10]使用不同高阶梁理论对FGM 梁的基频进行分析，结果表明使用各种高阶梁理论所得结果差异很小.Karamanli[11]基于三阶剪切变形理论研究了在多种边界条件下，双向FGM 梁的自由振动特性.

上述研究的材料性质沿厚度方向变化的FGM梁均是等截面梁.对于变截面梁的研究较少.Maganti等[12]分析了FGM 旋转楔形梁的弯曲振动，但并未考虑剪切变形的影响.Li 等[13]研究了变厚度FGM 梁在流体中的自由振动.

对于某些材料性质沿厚度方向变化的FGM 梁，其物理中面可能与几何中面不重合.一些学者[14-16]的研究表明，如果选择合适的参考面即物理中面，就可以消除板振动方程中的拉伸-弯曲耦合，这可以大大减小计算量.基于物理中面的概念，贾金政等[17]分析了FGM 梁的弯曲和过屈曲问题，Larbi 等[18]基于高阶梁理论分析了等截面FGM 梁的静力和自由振动问题.但对于轴向力作用下的变截面FGM 梁的自由振动问题，还缺乏研究.因此本文基于物理中面的概念，对于变截面FGM 梁自由振动问题进行研究.

在文献[9-10]中，基于高阶剪切变形梁理论所得的结果与基于一阶剪切变形梁理论所得结果差异不大，因此，本文拟基于Timoshenko 梁理论对该问题进行研究，并考虑轴向力的作用.由于变截面FGM 梁的自由振动方程为变系数微分方程组，无法用常规方法求解，故本文使用一种幂级数法对该变系数微分方程组进行求解.通过本文方法容易求得变截面FGM 梁的固有频率、振型以及临界荷载，可为变截面FGM 梁的设计与应用提供理论支持.

1 理论分析

一个变截面FGM 梁如图1 所示，梁截面为矩形.梁的上表面材料为纯陶瓷，下表面为纯金属.材料性质P（z）包括密度ρ（z）、泊松比ν（z）、弹性模量E（z）的分布规律见式（1）.

式中：Pt、Pb分别表示梁顶面和梁底面的材料性质；k是梯度指数，且k≥0.剪切模量G（z）和弹性模量的关系为：

根据式（1）和式（2），梁顶面剪切模量Gt=，梁底面剪切模量.

图1 FGM 梁模型及参数Fig.1 Model and parameters of FGM beam

根据文献[15]给出的物理中面的概念，可以给出梁物理中面的位置，即：

对于各向同性均质梁，e0=0.

基于Timoshenko 梁理论，梁的位移函数可表述为如下形式：

式中：θ 为梁截面转角；u 和w 分别是梁物理中面沿x 轴和z 轴方向的位移分量.

假设σzz=0，基于小变形的假设，根据位移函数可以得到相应的应变：

于是，梁的应变能（U）和动能（K）表示为：

式中：κ 为剪切形状系数.且

基于上述物理中面概念可知I2=0，但J2不一定等于0，若J2≠0，则会引起弯曲-轴向耦合振动.

假定梁的两端边界受到3 个作用力（如图2 所示），分别是轴力N（x，t）、剪力Q（x，t）和弯矩M（x，t），因此外力做功（W）可以表述为：

使用哈密顿原理求解梁的振动微分方程以及相应的边界内力与位移之间的微分关系：

将式（6）（7）（9）代入式（10）中可得梁的振动微分方程：

图2 梁的边界力Fig.2 Boundary forces of a beam

以及相应的边界内力与位移之间的微分关系：

使用分离变量法，方程的通解具有如下形式：

式中：ω 是梁振动的固有圆频率；i 是虚数单位.将式（13）代入式（11）（12）中，无量纲化可得：

式（14）（15）中无量纲参数及变量见式（16）.

式（14）表示的微分方程的系数随着X 的变化而变化.采用幂级数法求解该微分方程，其精确解表示成幂级数形式如下：

I1（X），I3（X），A1（X），T（X），J1（X），J2（X），J3（X）表示成多项式形式如下：

本文研究的变截面梁高度h（x）和宽度b（x）沿x轴方向变化，可以表示为：

式中：αh、αb为截面变化系数，在本文中，取αh=αb=α，当α=0 时，梁为等截面梁.b0、h0分别为梁左端的截面宽度和高度.因此N1=2、N3=4、N4=2、N5=3、N6=4、N7=2，di、fi、gi、hi、ki根据式（8）（16）（19）确定.本文所研究轴力为常轴力，因此N8=0，t0=1.

将式（17）（18）代入式（14）中可得幂级数解的系数ai+2、bi+2和ci+2的递推关系：

对于式（20），n≥0，其中，ai=0、bi=0 以及ci=0，当i ＜0 时.显然，上述递推关系需满足d0、s2l0+τt0、f0不等于0.

利用上述递推公式，式（14）的通解用矩阵可以表示为：

式中：Ui、Wi、Θi（i=1，2，3，4，5，6）均是式（14）的基本解.a0、a1、b0、b1、c0、c1为常数，它们可以通过边界条件确定.

对于整个梁，其最左端（X=0）和最右端（X=L）的无量纲轴向位移、横向位移、转角、轴向力、剪力、弯矩可以由式（15）和（21）求出，因此，梁两端的状态向量可以表示为：

于是，根据式（23）和式（24）得：

其中，F 为六阶方阵，通过它建立梁两端状态向量之间的关系，再结合具体边界条件讨论如下.

如图1 所示，梁的边界约束条件为非经典边界条件时，存在下列关系

写成矩阵形式，有：

结合式（28）和式（25）可得：

式中：δ1、δ2为系数向量，G 为六阶方阵.于是可得：

对于上述方程，若有非零解，则其系数矩阵行列式必须等于零，即：

式（33）即为频率方程，通过求解式（33）可得梁的第i 阶无量纲固有频率βi，根据无量纲固有频率与固有频率之间的关系即可得固有频率.值得一提的是，通过调整边界约束弹簧的刚度也可以求解经典边界条件下FGM 梁的固有频率，在本文中，以简支FGM 梁为例，即取，然后可以根据式（33）求解相应的无量纲固有频率.

在得到无量纲固有频率后，将它代入式（32），于是系数矩阵各个元素均为常数.取U（0）=1，可以得到相应的W（0）和Θ（0），进而可求得状态向量S1，再联合式（23）可得积分常数向量d.于是可以得到梁的第i 阶振型函数U（X）、W（X）和Θ（X）.

2 结果与讨论

本文研究的FGM 梁的上表面的材料为纯陶瓷（弹性模量为Et=380 GPa，密度为ρt=3 960 kg/m3，泊松比为0.3）；梁的下表面的材料为纯铝（弹性模量为Eb=70 GPa，密度为ρb=2 702 kg/m3，泊松比为0.3）.

2.1 结果验证与分析

由于本文振动微分方程的解为幂级数解，实际计算中经常采用近似解代替级数解，近似解选取级数解前N 项计算.理论上，N 越大，无量纲固有频率近似解的精确度越高.为了探讨近似解所取项数N对无量纲固有频率精度的影响，以文献[10]中的一个等截面简支FGM 梁（取α=0 来分析等截面梁）为例，梁长与梁高之比1/μ 取5 和20，梯度指数k 取0、1、2，无量纲轴力τ 取0.由表1 中的数据可以发现本方法所得的频率方程式（33）的解是收敛的，且近似级数解并不需要取太多项.

表1 简支FGM 梁无量纲固有频率计算值对比Tab.1 Comparison of dimensionless natural frequencies of simply supported FGM beam

计算所得结果与文献[10]中经典边界条件下FGM 梁的无量纲基频进行比较，验证了所提出方法的有效性.且无量纲固有频率随梯度指数k 增大而减小.当长高比较大时所得的无量纲固有频率大于相应的长高比较小时所得的数据，这反映了，长高比较小时，剪切变形对无量纲固有频率的影响较大，不可忽略.此外，结果还表明：通过调整边界约束弹簧的刚度来求解经典边界条件下FGM 梁的固有频率是可行的.

当1/μ 取5 和10，梯度指数k 取1 时，简支FGM 梁的前四阶振型函数U（X）和W（X）对比如图3 所示.由图可知，梁长与梁高之比对梁的自振特性有显著影响，当1/μ 取5 时，第三阶模态由轴向振动主导，而当1/μ 取10 时，第四阶模态由轴向振动主导，其他阶模态均由弯曲振动主导.由于1/μ 值的大小反映了剪切变形的影响程度，1/μ 值越小，剪切变形影响越大，因此，剪切变形不仅会影响弯曲振动，对轴向振动也有影响.

图3 简支FGM 梁的前四阶振型函数U（X）和W（X）（从左到右分别为第一到第四阶模态）Fig.3 The first four mode functions U（X）and W（X）of simply supported FGM beam（from left to right，the first to the fourth modes respectively）

2.2 截面变化系数对变截面FGM 梁自振特性的影响

使用本文方法计算简支FGM 梁无量纲固有频率，取梯度指数k=1，梁长与梁高之比1/μ 取100，截面变化系数α 取不同的值时，梁前五阶无量纲固有频率计算值见表2.由表2 中的计算结果可知，随着截面变化系数α 增大，梁的无量纲固有频率逐渐减小.另外，还讨论了截面变化系数α 对简支梁前四阶振型函数W（X）的影响，如图4 所示，可以看出：随着截面变化系数α 的增大，振型函数W（X）之间的差异逐渐增大.此外，右端差异较大，这是因为梁截面从左到右端逐渐变小从而使得刚度变小，于是变形就更大，但其形状基本相同.

表2 截面变化系数不同时简支FGM 梁前五阶无量纲固有频率Tab.2 The first five dimensionless natural frequencies of the simply supported FGM beam with different section variation coefficients

图4 截面变化系数α 对FGM 简支梁前四阶振型函数W（X）的影响Fig.4 Influence of section variation coefficient α on the first four mode functions W（X）of the FGM simply supported beam

2.3 轴向荷载对FGM 梁自振特性的影响

当轴向荷载作用于简支FGM 梁时，其固有振动特性会随轴向荷载的改变而改变，因此，对于轴向荷载作用下的FGM 梁需进行进一步研究.梯度指数k取1，截面变化系数α 取0，梁长与梁高之比1/μ 取100.不同轴向荷载作用下FGM 梁的前五阶无量纲固有频率见表3.由表中数据可以看出：轴向荷载对基频影响较大而对高阶频率影响较小，这是因为当轴向压力快达到临界荷载时，无量纲固有频率才会大幅减小，而轴向压力达到一阶临界荷载时，还远不到二阶临界荷载，因此对高阶频率影响较小.轴向压力接近一阶临界荷载时，基频会逐渐接近于0.

表3 不同轴向荷载作用下梁的前五阶无量纲固有频率Tab.3 The first five dimensionless natural frequencies of the beam under different axial loads

基于上述结论，在本节进一步分析了对于不同截面变化系数α 和梯度指数k，基频和轴向压力之间的关系，同时分析k 和α 对FGM 梁的临界荷载的影响.对于简支梁，选择不同的k 和α 值，梁的基频与轴向载荷之间的关系如图5 所示.从图中可以看出，随着k 值的增大，FGM 梁的无量纲固有频率都有所减小.此外，随着k 值的增大，临界荷载也大幅减小，这是因为，随着k 值的增大，梁中铝的含量增加从而使得梁的弹性模量和密度都减小，而密度的减小对临界荷载没有影响，因此k 值的增大会导致一阶临界荷载的减小.另外截面变化系数α 也会导致一阶临界荷载的减小.

图5 梯度指数取不同值时悬臂FGM 梁的无量纲基频与轴向力的关系Fig.5 Relation between dimensionless fundamental frequency and axial load of cantilever FGM beam with different values of graded index

3 结论

本文基于Timoshenko 梁理论，建立了变截面FGM 梁的自由振动方程，采用幂级数法求解变截面梁振动微分方程组.随后以上表面为陶瓷、下表面为铝的FGM 梁为例，研究了该方法的收敛性，并分析了长高比、梯度指数、截面变化系数以及轴向力对固有振动特性的影响，主要结论如下：

1）本文提出的方法收敛性良好，且具有较高的准确性.结果表明，剪切变形不仅会影响弯曲振动，对轴向振动也有影响.

2）对于简支功能梯度梁，截面变化系数α 和梯度指数k 的增加会使得其固有频率和临界荷载减小，另外，截面变化系数对振型函数也有一定影响，但大致形状不会改变.

3）可以通过改变边界约束弹簧的刚度来实现经典边界条件下梁的固有频率求解.