数学分析法在水库塌坑预测中的应用

□王桂青

陡河水库处于三面环山的半丘陵地带，坝头东岸与凤山相接处，山体为寒武纪灰岩、夹有灰质和泥质页岩，多断层，裂缝，喀斯特发育，自1998 年以来，在水库东岸水面线附近发生塌坑6次。为探测山体渗漏情况，在凤山山脚渗漏严重部位埋设测压管12 根，通过测压管水位与其影响因素的统计分析，力求找到它们的变化规律，并用数学模型表达出来，对东岸山体渗漏情况进行预测。

1.样本选取

陡河水库凤山山脚测压管水位的可能影响因素为库水位和降雨量，根据近20 年观测资料分析，陡河水库年库水位变化范围在30.61～33.39m 之间，年平均降雨量678mm，2005 年库水位变化范围在30.67～32.81m 之间，年降水量595.4mm，接近正常年份平均值，选取2005 年部分库水位、降雨量和测压管水位观测数据作为样本，能够满足参数估计量的无偏性、有效性、一致性。

图1 2005 年陡河水库山区测压管水位、库水位、降雨量过程线

图2 库水位与22 号测压管水位散点图

2.回归分析

2.1 影响因素分析

对样本数据进行分析，绘制出11、13、15、18、22 号测压管水位过程线，2005 年陡河水库山区管水位、库水位、降雨量过程线见图1。

从图1 可以看出，各测压管水位随库水位的变化而变化，受降雨量的影响很小。通过近20 年的观测资料分析，只有2012 年7、8 月东岸山区测压管水位受降雨影响明显。所以只研究测压管水位和库水位两个变量的统计规律，在大多数年份是适应的。由于各测压管水位与库水位的变化关系相似，所以只选取22 号管作为代表进行分析。

2.2 数学模型确立

选取 62 组 2005 年 22 号测压管水位与库水位数据，见表1。把库水位xa作为横坐标，测压管水位ya作为纵坐标，在平面直角坐标系绘出其散点图，库水位与22 号测压管水位散点图见图2。这些点大致分布成一条直线，库水位与22 号测压管水位之间的关系基本上看作是线性关系，其数学模型假设为ya=β0+βxa，β0、β 为参数。

2.3 参数 β0、β 的估计

根据最小二乘原理，计算出

于是参数 β0、β 的最小二乘估计b0、b 分别为：

表1 2005 年22 号管水位与库水位数据

表2 陡河水库塌坑过程测压管水位异常情况分析表

于是得到测压管水位对库水位的回归方程为：

3.假设的显著性检验

由于选择的模型不够完善，以及观察和测量误差等原因，需要判断xa与ya之间是否真正具有线性相关关系，对回归直线的显著性进行检验。如果变量xa与ya之间无线性关系，那么模型中一次项系数 β=0，在 β=0 的条件下，表 1 中统计数据服从自由度为1 和N-2 的F 分布。对实测值 y1、y2、y3……yn 的分散程度进行分析，检验假设H0：β=0 是否成立。检验公式如下：

式中：

S总—总的偏差平方和；

S回—回归平方和；

S剩—剩余平方和。

由给定的显著水平α=0.95，查自由度为(1，62-2)的F 分布临界值表得临界值 λ=4.00。由于 F=303.49＞4.00，所以假设 H0：β=0 不成立，xa与 ya之间具有线性关系，并且直线回归是显著的。

4.测压管水位预测

由显著性检验可知，回归方程拟合得很好，表明测压管水位与库水位相关关系密切。可以利用相关方程预报各库水位对应的测压管水位。在显著水平α 下，确定一个预测区间，使实测测压管水位y0以1-α 的概率落在区间内，对于 α=0.95，查自由度N-2＝60 的t 分布临界值表，得到λ=2.00，方差 的 估计值测压管水位 y0的预测区间为

5.东岸塌坑预测

由样本数据确定回归方程的过程中，库水位xa的值波动较大，参数β 的值确定较精确，观察数据的个数N 有62组，数量较多，由此确定的回归系数β0也较精确。由图1 可见，测压管水位与库水位过程线变化相似，较库水位滞后时间不明显，所以计算得出的测压管水位观测值预报区间，能够反映测压管水位的正常值变化范围。如果实测值超出预测区间，山脚有95%的概率发生塌坑。由于很少有外界水源渗流到东岸山体，地下水位的变化主要受库水位的影响，所以通过库水位得出的测压管水位预测区间，与实测测压管水位相比，可以预测东岸塌坑的发生，这种预测方法已经在多次塌坑中得到检验。陡河水库塌坑过程测压管水位异常情况分析表见表2。从表2 可见，每次出现塌坑在发现之前，都有测压管水位实测值高于预测上限值现象，证明东岸塌坑用数学分析方法是可以预测的。

6.结语

通过对陡河水库实测库水位和测压管水位的整理分析，建立二者之间的回归关系，对东岸山体的测压水位作出合理预测，用数学计算的方法预测出东岸是否会有塌坑发生，这种方法预测结果准确，使用简便，能够及时发现陡河水库东岸塌坑，减少水库的渗漏损失。