部分包覆钢-混凝土组合柱轴压整体稳定承载力的工程计算*

林德慧， 陈以一,2， 李 杰

(1 同济大学土木工程学院， 上海 200092； 2 上海杉达学院， 上海 201209)

0 引言

部分包覆钢-混凝土组合柱(Partially-Encased Composite Steel and Concrete Column，简称PEC柱)是在工字钢或H形钢(轧制或焊接)翼缘间填筑混凝土的柱构件。PEC柱常见约束构造有抗剪件、翼缘系杆、箍筋及纵筋等。

本文将PEC柱中的工字钢或H形钢称为“主钢件”。根据主钢件截面的厚实程度，PEC柱可分为采用厚实主钢件截面的PEC柱和采用薄柔主钢件截面的PEC柱，如图1、图2[1]所示。前者在主钢件应力达到屈服强度前翼缘不会发生局部屈曲；而后者则可能出现局部屈曲。

图1 采用厚实主钢件截面的PEC柱[1]

图2 采用薄柔主钢件截面的PEC柱[1]

PEC柱具有刚度大、强度高、耐火性能好、便于工厂预制、现场装配等优势。近年来国内已开始在实际工程中应用PEC柱，取得了较好的经济效益。随着PEC柱在实际工程应用的逐步深入，对其整体稳定承载力的研究需求日渐迫切。原因有二：其一，PEC柱能以较小的截面尺寸承担较大的荷载，导致实际工程结构中构件的长细比增大，PEC柱的承载力转为由整体稳定控制；其二，迄今国内外研究多着重于PEC短柱的轴压性能[2-4]、压弯性能[5-6]、滞回性能[7]，对PEC长柱的整体稳定性能研究较少，导致可用于整体稳定承载力分析的支撑数据不足。

综上，有必要对PEC柱的轴压整体稳定性能进行深入研究；同时为便于工程应用，需将研究成果转化为适合工程人员便捷使用的设计公式。欧洲规范EN 1994-1-1[8]中制定了针对PEC轴压柱的整体稳定承载力设计公式(6.7.3.5条)，但因各国规范材性(钢材的屈服强度、混凝土的抗压强度等)的取值、柱子曲线和实际工程情况的差异，欧洲规范不能直接对应于我国规范。

本文采用有限元软件ABAQUS对PEC轴压柱进行数值模拟，利用验证的模型对不同截面高宽比、翼缘宽厚比、材料强度配比下的PEC轴压柱进行有限元参数分析，在此基础上，提出PEC柱的轴压整体稳定承载力设计公式。由于聚焦于构件的整体稳定计算，研究对象选为采用厚实主钢件截面的PEC柱，主钢件截面类型为《钢结构设计标准》(GB 50017—2017)[9](简称《钢标》)中的S1类截面。

1 PEC轴压柱的有限元模型

本文运用ABAQUS软件对PEC柱进行单调轴压模拟，考虑材料非线性和几何非线性，把计算结果与试验数据进行对比，验证有限元模型的可靠性。

1.1 有限元模型的基本信息

(1)材料本构关系

采用理想弹塑性模型作为钢材的应力-应变本构关系。采用混凝土塑性损伤模型来模拟混凝土材料。混凝土单轴受压、受拉应力-应变曲线根据现行《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)[10]确定；仅在混凝土受压时引入损伤因子，损伤因子采用能量等效原理算得。

(2)边界条件的设置

边界条件的设置有两种情况：沿强轴、弱轴方向均为两端铰接——用于绕弱轴失稳的轴压构件；沿强轴方向两端铰接、沿弱轴方向两端固接——用于绕强轴失稳的轴压构件。

(3)单元的建立与连接

采用四种单元分别模拟主钢件、混凝土、纵筋与加载板。由于主钢件钢板的厚度相对截面尺寸较小，故采用壳单元(S4R)来模拟，并针对该单元进行网格划分敏感性分析；混凝土则采用实体单元(C3D8R)模拟，并确保其网格密度与主钢件保持一致；纵筋则采用三维线性桁架单元(T3D2)进行模拟，能较好地反映纵筋仅受拉压不受弯的受力特性；构件两端的刚性加载板则采用离散刚体单元来模拟。

根据实际工程和试验现象，混凝土与钢翼缘板可能有局部脱开，但混凝土与钢腹板之间保持接触。因此在有限元模型中，钢腹板与混凝土之间采用绑定(tie)连接，钢翼缘与混凝土之间采用面对面(surface to surface)接触关系连接，摩擦系数取为0.25，同时设置硬接触(hard contact)关系，保证混凝土与型钢之间不会相互嵌入。为确保纵筋与混凝土间的协调变形关系，把纵筋嵌入(embedded)到混凝土内部。为保证构件两端截面受力均匀，构件两端的混凝土、型钢分别与一刚性加载板绑定(tie)连接，而加载板自身的位移通过参考点(reference point)来控制。

(4)初始缺陷的设置

模型考虑初始几何弯曲和残余应力。

模型统一以第一阶屈曲模态作为初始几何弯曲的分布形态。为探讨初始几何缺陷取值的影响，分析了12个设置不同程度初始几何缺陷的模型。两个主轴方向的初始弯曲变形最大值分别为0，l/1 000，l/500，l/250，l/200，l/100(l为构件长度)。各模型均引入纵向残余应力。

非线性屈曲分析计算结果如图3所示。图中Nu,FEM为有限元模型计算所得极限荷载；y0,max，x0,max分别为绕弱轴、强轴失稳时初始几何缺陷最大值。由图可知，绕强轴、弱轴失稳时，初始几何缺陷均导致极限荷载降低，而绕弱轴失稳时降低程度更明显。根据实验室试件量测的结果，本文偏安全地将初始几何缺陷取为l/500。在ABAQUS中，通过“imperfection”命令设置节点的初始位移来引入初始几何弯曲。界面上的钢板与混凝土节点的初始位移需确保一致，保证二者的接触关系。

图3 初始几何缺陷影响分析

在ABAQUS建模中通过“initial condition”中的“initial stress”命令来写入初始应力，每个单元内的初始应力数值由残余应力模型在此单元内的平均数值确定。适用于大多数PEC柱的简化残余应力分布图(针对焊接H形钢)详见文献[11]中的图1。另有研究发现，材料的屈服强度(未考虑高强钢)对残余应力的大小及分布影响较小[12]。故在本文中，对不同强度等级的主钢件截面均按此模型，采用相同的残余应力数值。

(5)算法的选择

为引入初始几何弯曲，采用线性屈曲分析(buckle)算法求解得柱子的弹性失稳模态和特征值屈曲荷载。随后，为求解得到考虑初始缺陷及材料非线性的构件极限荷载，采用静力弧长(static，riks)算法进行求解。

1.2 有限元模型的校核

为验证模型的可靠性，采用赵根田等[4]的3个轴压中长柱试验进行校核。这3个试件均采用厚实主钢件截面，均发生绕弱轴的整体稳定破坏。校核结果如表1所示。表中Nu,exp为试验所得极限承载力；H，B，tf，tw分别为PEC柱的截面高度、截面宽度、翼缘厚度与腹板厚度；l0y为构件绕弱轴方向的计算长度。极限荷载的有限元计算值与试验值平均偏差仅为3.8%，说明本文模型准确、可靠，可用于后续分析。

极限荷载的有限元计算值与试验值对比 表1

2 设计公式表达

2.1 PEC柱的相对长细比

采用有限元模型，虽可较准确地计算PEC柱的极限承载力，但不便于工程设计应用。目前各国钢结构设计规范中，轴压柱整体稳定承载力计算主要通过引入构件计算长度l0、稳定系数φ来实现：在求得构件的相对长细比λn后，利用φ-λn曲线(即柱子曲线)得到轴压稳定系数φ。Virdi和Dowling[13]提出可利用纯钢构件的柱子曲线来实现钢-混凝土组合构件的整体稳定承载力计算。本文参考其思路，推导PEC柱的相对长细比λn表达式，再利用纯钢构件的柱子曲线来获取PEC柱的轴压稳定系数φ。

构件的相对长细比λn可表示为构件截面受压承载力Np与该构件的欧拉临界荷载Ncr的比值：

(1)

对纯钢柱而言，欧拉临界荷载Ncr与截面受压承载力Np的计算式分别为：

Np=faAa

(2)

(3)

式中：fa为钢材的屈服强度，本文研究中取标准值；Aa为钢构件截面面积；Ea为钢材弹性模量；l0为构件计算长度。

把式(2)，(3)代回式(1)中，可得纯钢构件的相对长细比计算式：

(4)

式中：ia为纯钢构件的截面回转半径，按式(5)计算；λa为纯钢构件的长细比，按式(6)计算。

(5)

(6)

按照上述过程，可推导出PEC柱的相对长细比。对PEC柱而言，未考虑纵筋作用的截面受压承载力Np与欧拉临界荷载Ncr的计算式为：

Np=faAa+fcAc

(7)

(8)

式中：fc为混凝土的轴心抗压强度，本文研究取标准值；Ac为混凝土截面面积；Ec为混凝土弹性模量。

需注意，在推导PEC柱相对长细比时，Np的计算式中未考虑纵筋作用，在第4节中将进一步讨论其合理性。

把式(7)，(8)代回式(1)中，可得PEC柱的相对长细比：

(9)

为便于式(9)应用，定义PEC柱的等效截面回转半径ie、等效强度fe、等效弹性模量Ee如下：

(10)

(11)

(12)

最终，PEC柱的相对长细比形式与纯钢柱类似，表示为：

(13)

式中λ为PEC柱的长细比，按式(14)计算。

(14)

2.2 柱子曲线

2.2.1 构件计算参数覆盖范围

为选取合适的柱子曲线，利用验证的有限元模型，计算了共370个PEC柱的极限荷载，绘制得稳定系数φFEM与相对长细比λn相关曲线(简称φFEM-λn曲线)，作为选取PEC柱柱子曲线的基准。其中，φFEM为有限元模型计算所得极限荷载Nu,FEM与截面受压承载力Np的比值。

计算采用的构件截面形式如图4所示，图中b0为单侧翼缘板外伸长度，hw为腹板高度，未配置纵筋等约束构造。构件长细比λ(式(14))从40～130变化，基本囊括工程中常见的中长柱范畴。PEC柱绕弱轴、强轴方向的抗弯刚度差别较大，导致其轴压整体稳定性能有所差异，故有必要对绕强轴、弱轴失稳两种情况进行区分。分析构件可分为6组，具体参数如表2所示。

有限元分析构件参数 表2

图4 有限元模型截面形式及参数

第1组构件改变参数为翼缘宽厚比(即主钢件翼缘单侧外伸长度b0与翼缘厚度tf的比值)，翼缘宽厚比从小到大变化，均保证其在《钢标》S1类截面范围内。

第2，3组构件改变参数为截面高宽比，截面高宽比分别为4∶3，1∶1，2∶1，通过改变截面宽度或截面高度来改变截面高宽比。对截面高宽比为2∶1的构件，由于绕强轴与绕弱轴方向的抗弯刚度差异过大，即使改变边界条件的设置，也无法使其绕强轴失稳；另一方面，在实际工程中，对绕强轴失稳较不利的截面应为截面高宽比为1∶1的构件，综上，绕强轴失稳的计算模型未考虑截面高宽比为2∶1的构件。此外，为控制变量仅为截面高宽比，相应调整了不同截面高宽比下的翼缘、腹板的厚度。

第4，5，6组构件改变参数为材料强度配比，钢材强度等级分别为Q235，Q345，Q420，混凝土强度等级分别为C20，C30，C40，C50，未考虑高强钢或高强混凝土。

2.2.2 稳定系数方案1：比选现行规范中的柱子曲线

将2.2.1节中计算所得φFEM-λn曲线与《钢标》中的a，b，c，d曲线进行对比(图5)，选取其结果能兼顾安全、经济两者的曲线作为PEC柱柱子曲线。这一方案建立在现行规范柱子曲线的基础上，仅对柱子曲线类型的选择提出建议，与工程设计人员习惯相一致。

图5 轴压稳定系数的选取

由图5可知，绕弱轴失稳时，有限元计算值与c曲线较接近，且随着长细比增大，二者逐渐接近，平均偏差为7.692%。绕强轴失稳时，有限元计算值与b曲线最为接近，平均偏差为4.862%。综合考虑安全性与经济性，在绕强轴失稳时可选取b曲线进行设计计算，绕弱轴失稳时可选取c曲线。

2.2.3 稳定系数方案2：设定新的柱子曲线

由图5可发现，绕弱轴失稳时，φFEM-λn曲线与《钢标》的c曲线存在一定差距。本节采用《钢标》中轴压整体稳定系数φ计算公式形式(式15(a),(b))，结合有限元计算结果，对其参数α2，α3进行非线性拟合，α1根据曲线的连续性确定；参数λn,0，为考虑实际应用而设定的公式曲线分段点。各参数具体取值详见表3。

PEC柱子曲线的参数取值 表3

λn≤λn,0时：

φ=1-α1λn2

(15a)

λn>λn,0时：

(15b)

对比φFEM-λn曲线、更新的柱子曲线与《钢标》b，c曲线，如图6所示。由图可知，更新的柱子曲线较既有规范的b，c曲线更能反映有限元计算结果的变化趋势。

图6 轴压稳定系数的选取

2.3 公式汇总

综上，PEC柱的轴压稳定承载力设计公式如下：

Nu,d=φNpr

(16a)

Npr=faAa+fcAc+frAr

(16b)

λn≤λn,0时：

(16c)

λn>λn,0时：

(16d)

(16e)

(16f)

(16g)

(16h)

式中：Nu,d为PEC柱的轴压稳定极限承载力设计值；Npr为考虑纵筋贡献的PEC柱截面受压承载力；fr为纵筋的屈服强度，本文研究取标准值；Ar为纵筋截面面积；φ为稳定系数，按式(15)进行计算；α1，α2，α3，λn,0具体取值如表3所示。

3 公式计算值与试验值对比

总结既有PEC轴压中长柱(l0/B≥8)的试验数据与公式计算值对比，结果如表4所示。表中，Nu,d1，Nu,d2为按照式(16)计算的绕弱轴失稳时的极限承载力设计值，前者按照《钢标》中的c曲线计算；后者根据更新的柱子曲线计算。Nu,exp为试验所得极限承载力。λn,y为按照式(16e)计算的绕弱轴失稳时PEC柱的相对长细比。

由表4可以发现，Nu,d1，Nu,d2与Nu,exp均较接近，平均偏差分别为17.6%，9.2%，说明本文提出的两种设计用方法均安全经济，可在实际工程中应用。对比Nu,d1与Nu,d2可发现，更新的柱子曲线较《钢标》曲线与试验结果吻合更好。

PEC轴压中长柱极限承载力试验值和公式计算值对比 表4

4 纵筋影响的讨论

试验研究[5,16-17]表明，对采用厚实主钢件截面的PEC柱而言，系杆、箍筋对承载力的影响不大，但对构件的延性有一定的改良。由于本文探讨重点是PEC柱的整体稳定承载力，采用S1类型钢截面，故以上两者对PEC柱极限荷载的影响可排除。而由于纵筋一定程度上提高了试件的抗弯刚度，理论上应增强PEC柱的整体稳定性能；但其对稳定极限承载力的影响程度如何，是否需要在公式中予以考虑，仍需进一步确认。

图7 纵筋布置示意图

有限元计算结果与公式计算值对比见图8、图9。由图知：绕弱轴失稳时，配置纵筋后，极限荷载有所提高，稳定系数略有降低，相对长细比越大的构件降低程度越小，但总体变化不大。绕强轴失稳时，极限荷载有所提高，稳定系数改变不明显。

图8 不同纵筋配置下构件稳定系数对比

图9 不同纵筋配置下构件极限荷载对比

绕弱轴失稳时，φFEM始终大于根据c曲线计算所得稳定系数；而对配置412，418纵筋的构件而言，φFEM小于根据更新的柱子曲线计算所得稳定系数。绕强轴失稳时，φFEM、根据b曲线计算所得稳定系数与根据更新的柱子曲线计算所得稳定系数均十分接近。总体而言，公式计算值较安全、经济。

配置纵筋后，构件的极限荷载提高原因有二个：一是由于钢筋强度的原因带来截面受压承载力有所提高；二是构件的抗弯刚度略有提高，截面塑性发展程度变大，极限荷载随之提高。

为探讨上述两个原因哪一个起主要作用，提取长细比为40与90的构件绕弱轴失稳时中部截面钢翼缘应力随荷载变化曲线(图10)，应力提取点位置如图11所示。为对比不同极限荷载情况下应力的发展情况，横坐标为计算点钢翼缘应力σa(已排除初始残余应力的影响)与钢屈服强度fa的比值，纵坐标为某一时刻试件所受轴压荷载NFEM与极限荷载Nu,FEM的比值。

图10 归一化钢翼缘应力-荷载曲线(绕弱轴失稳)

图11 应力提取点示意图

由图可知，配置纵筋后钢翼缘应力的发展情况变化较小，说明构件危险截面的塑性开展程度改变很小。由此可知，因纵筋面积较小，对抗弯刚度的贡献较型钢与混凝土小，故其对PEC柱的整体稳定性能影响较小。上述两个原因中，原因一才是影响极限荷载的主要原因。式(16)在计算相对长细比时偏安全地忽略纵筋的作用，而在计算截面受压承载力时考虑纵筋的作用，这一计算方法能合理地从本质上反映纵筋的影响。

5 结论

本文以采用厚实主钢件截面的PEC轴压柱为研究对象，通过有限元分析方法，对其轴压整体稳定承载力进行了分析，并得出对应的可用于工程实际的稳定承载力设计公式。主要结论如下：

(1)采用《钢标》中轴压柱整体稳定计算的公式形式，推导了PEC柱相对长细比，对PEC轴压柱的整体稳定系数提出两种可供设计应用的方案：一是选取《钢标》中的b，c曲线分别作为绕强轴、弱轴失稳时PEC柱的柱子曲线；二是基于《钢标》中柱子曲线的公式形式，更新其有关系数，形成新的柱子曲线。计算表明，方案二较方案一更能反映PEC轴压柱有限元计算结果的变化规律。

(2)利用既有试验数据对PEC轴压柱整体稳定承载力设计用公式进行校核，表明两种方案均安全、可靠，可用于实际工程中。

(3)通过分析纵筋对极限承载力影响的原因，发现纵筋导致截面受压承载力的提高才是其影响极限荷载的主要原因，从而论证了在计算相对长细比时忽略纵筋作用、在计算截面受压承载力时考虑纵筋作用这一计算方法的合理性。