中考概率考查的几个方向

董马芳

[摘 要]纵观近几年各市中考数学试题，探析中考概率考查的几个方向，即概率意义的考查、概率公式的考查、几何概率的考查、利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率等，可以提高学生分析与解决概率问题的能力.

[关键词]概率;中考;考查;方向

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0015-02

新课标指出，学生不仅要体会联系，包括数学知识之间、数学与生活之间的，而且要学会思考，用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.概率要求学生运用数学的方式对随机事件进行思考，体现了数学与生活之间的联系.同时，要求学生能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能的结果，了解事件的概率;知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.

一、概率意义的考查

概率反映了大量重复试验的结果，它可以用来评估随机事件在一次试验中发生可能性的大小，但随机事件都有可能发生和可能不发生两种情况.当概率大于50%时，我们就说此事件发生的可能性较大;当概率小于50%时，我们就说此事件发生的可能性较小.

[例1]文化中学在春季运动会中，小刚同学参加了羽毛球比赛，有人预测小刚进入决赛的可能性为90%，则对该同学的说法理解最合理的是（）.

A.小刚夺冠的可能性较大

B.如果小刚和他的对手比赛10局，他一定会赢9局

C.小刚夺冠的可能性较小

D.小刚肯定会赢

解析：有人预测小刚夺冠的可能性是90%，说明小刚夺冠的可能性较大，故选项A正确.

小刚和他的对手比赛10局时，他可能赢9局，不是一定赢9局，故B选项错误;因为90%>50%，所以小刚夺冠的可能性较大，故C选项错误;小刚可能会赢，也有可能會输，故D选项错误.

评注：事件A发生的概率即使为99.9%，在一次试验中事件A也可能不发生，只是不发生的可能非常小.同理，事件A发生的概率即使为0.01%，事件A也有可能发生，只是发生的可能非常小.

二、概率公式的考查

若在一次试验中有n种等可能的结果，事件A的发生有m种等可能的结果，那么在一次试验中，事件A发生的概率为[P（A）=mn]，利用概率公式可以直接求出一步完成事件的概率，也可以利用概率公式建立方程求出某些未知量.

[例2]一个黑色的容器中装有5张黄卡片、15张黑卡片和20张红卡片，它们除颜色外都相同.

（1）求从容器中摸出一张卡片是黄卡片的概率;

（2）现从容器中取出若干张黑卡片，并放入相同数量的黄卡片，搅拌均匀后，使从容器中摸出一张卡片是黄卡片的概率是[14]，问取出了多少张黑卡片？

评注：因为这些卡片除颜色外都相同，所以从不透明的容器中摸卡片，它们摸到的可能性是均等的，因此就有40种等可能的结果，只要我们找到某事件可能发生的结果数，这些可能的结果数除以40就是事件发生的概率.

三、几何概率的考查

几何概率的考查方式有两种，一种是一个平面几何图形被等分成n份，其中有一种图形包含了m份，则投中所求图形的概率就是[mn];另一种是一个平面图形的面积为a，其中一部分图形的面积为b，则投中这部分图形的概率为[ba].

[例3]“十一黄金周”期间，某超市为了扩大销售，设立了一个有奖销售，将一个转盘平均分成16等份，消费者只要购买的商品满100元，就可以进行抽奖，抽奖的方法是转动转盘（如图1），转盘停下来时，指针指向的扇形，消费者就可以获得相应的奖品.王聪购买了132元的商品，请你回答以下问题：

（1）王聪获得奖品的概率是多少？

（2）王聪获得童话书的概率是多少？

评注：本题在求概率时，实际上仍是利用概率公式，只不过等可能的结果是16块等面积的扇形，所求事件也是几块等面积的扇形.实际上比非几何概率问题更直观，更易于理解.

四、利用频率估计概率

概率的求法有多种，可以利用枚举法求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求得.也可以用频率估计概率.大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，且摆动的幅度越来越小，这个位置就是频率的集中趋势，这时就用这个固定的近似值作为这个事件的概率.什么情况下使用频率估计概率呢？当试验的结果是无限个或者个数很多时，或者结果发生的可能性不是等可能性时，一般利用频率估计概率.

[例4]李爱数同学发现操场中有一个不规则的封闭图形ABC（如图2所示），为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1米的圆，在附近向圆内投石子，其结果是这样的：

请根据以上信息，回答问题：

（1）求石子落在圆内的频率;

（2）估计封闭图形ABC的面积.

评注：这是利用概率求不规则图形面积的典型事例.不仅可以利用概率求几何型问题的概率，而且还可以反过来利用概率求出几何图形的面积，概率的价值可见一斑.

五、用列表法或树状图法求概率

当随机事件需要两步完成时，用列表法或树状图法表示出所有可能的结果;当随机事件需要三步或三步以上完成时，用树状法表示出所有可能的结果，它像树的枝丫，最末端的枝丫个数就是所有等可能的结果.列表法与树状图法都是为了不重不漏地列举出所有可能的结果，需要再从中选出符合事件A结果的个数，才能求出概率.

[例5]重庆的晚点品种多样，某晚餐店提供第一类食品有“热干面”“面窝”“生煎包”“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）;第二类食品有“米粑粑”“烧梅”“欢喜坨”“发糕”（分别记为E、F、G、H），共八种美食.甲同学和乙同学同时去品尝美食，甲同学准备在“热干面”“面窝”“米粑粑”“烧梅”（即A、B、E、F）这四种美食中选择一种，乙同学准备在“生煎包”“锅贴饺”“欢喜坨”“发糕”（即C、D、G、H）这四种美食中选择一种，用列举法求甲同学和乙同学同时选择的美食都为第一类食品的概率.

解析：根据题意画树状图如下.

评注：在列表法和树状图法中，树状图法较为常用.本题就是一个两步完成的事件，第一步是甲同学选择，它有四种可能的结果，第二步是乙同学选择，甲同学每选择一个，乙同学就可能有四种选择，所以结果有16种结果.

概率是一门与数据打交道的科学，要学好它，一方面要加强理论分析与学习，另一方面要多动手操作，在试验中感知事件的随机性、发生的可能性.在实际生活中，我们主动去做的事情，一般都为成功率较高的事件，而不去做或小心翼翼去做的事件，都是成功率较低的事情.

（责任编辑 黄桂坚）