让数学课带点哲学的味道

黄夏炎

[摘 要]数学教师让数学课堂带点哲学味，能开阔学生视野，提高学生理解和应用数学的能力.

[关键词]哲学;数学课;味道

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0009-02

历史上，数学是哲学的一个分支.勾股定理的发现和证明者毕达哥拉斯是人类历史上第一个堪称伟大的数学家和哲学家，他从数学的角度出发去解释整个世界，这在总体上指引了自然科学的发展方向，极大地影响了后来的科学家;大数学家牛顿有一本巨著《自然哲学的数学原理》，在这本书中，牛顿不但总结出了力学基本原理，还创造性地用微积分学理论去阐述物体的运动规律，揭示了哲学中“运动”这一概念的数学解释，提供了科学思维体系的样板.可以这样说，一切数学理论都是从哲学延伸而来，最后又归结于哲学.

既然如此，我們教师在高中数学教学中，不妨让数学课带点哲学的味道.

一、数学中“普遍联系”的思想

哲学中，“普遍联系”是指事物的联系具有普遍性.任何事物的各个内部要素之间是互相联系的，任何事物也与周围的其他事物相互联系着.

一个不太明显的规律是“圆的面积函数的导函数是周长函数”，这是事物内部（此处论域是“圆”）要素之间的联系;而球的体积函数的导函数是球面积函数，这也是事物内部（此处论域是“球”）要素之间的联系.而圆与球在“对高维量函数求导得低维量函数”上的相似性，则体现出了不同事物间的联系.

二、“因果律”的思想

因果律是所有事物间最重要、最直接的关系.因果律有三大法则.

第一个法则是“果由因生”.这是指事物的发生有其时间序列性，不能倒置.

第二个法则是“事待理成”.这是指事物的发展有其客观性、必然性.中学数学中，“事待理成”主要体现为演绎推理的广泛使用.数学公理的确立是建立在大量直观事例之上的归纳结果;定理的证明则是建立在公理之上的演绎结果.中学数学教学中的推理，主要是演绎推理;数学归纳法虽号称“归纳法”，其证明过程本质上还是演绎推理.事物的发展条件变了，结果就可能会变化，“理”不同，则“事”也可能不同.

[例4]判断“垂直于同一直线的两条直线平行”是否正确.

因为“同位角相等，则两直线平行”，所以初中生给出的答案是“正确”.但是，高中阶段的结论是“垂直于同一直线的两条直线平行或相交或异面”，所以高中生给出的答案是“错误”.不同学段学生对同一问题的结论不同的原因，就是推理的初始条件发生了变化：由“同一平面内的两条直线垂直于同一条直线”变成了“空间中两条直线垂直于同一直线”.

第三个法则是“有依空立”.这是说，“存在”依托“空无”而得以产生，具体来说，就是“否定之否定”，事物内部矛盾双方对旧事物否定的一方居主要地位时，旧事物就被否定了，新事物就产生了.

高中数学学习中，正难则反的解题策略，补集的思想，反证法，甚至是选择题中的“排除法”，都是体现了因果律的“有依空立”的法则.

三、运动的观点

从运动的观点看，真理是相对的，哪怕数学也是如此.“平行线不相交”是欧几里得几何学的基石之一，但这不是绝对真理.在黎曼几何的理论体系里，平面内任何两条直线均有交点，平行的两条线也是如此（或者说，在黎曼平面上，过直线外一点无法作出与这条直线不相交的平行线）.黎曼几何在广义相对论中有着基础性的应用，而广义相对论在其诞生以来的诸多实验中均已得到了验证.显然，黎曼几何与《星际迷航》里的“克林贡语”不一样，并非只是存在于人脑中的 “思维体操”“空中楼阁”，而是与欧氏几何并行不悖的真理.这就提示我们，看待一个数学结论，不能认为“除此以外都是错的”，对“真理”也要“包容汇通”.

不光数学结论是“运动”的，是“发展演进”的，数学方法也是可以且应该发展演进的，最常见的现象是“一题多解”.从学生认识同一问题的不同解法的心理历程来说，一定是先想到最常见、最简单的解法，然后在新的思维角度、新的知识工具的支持下，获得新的解法，这便是个人角度的数学方法的演进.初中数学课上，求二次函数的最值点是用配方法得以解决的;高中数学课上，用导数求二次函数最值点简单快捷.高中学段两角差的余弦公式的推导，早先是用两点间距离公式和余弦定理来推导，在引入向量知识后，则转而采用向量方法“算两次”来推导，简单了许多.而余弦定理的证明过程也因为引入了向量作为工具，而进行了一次“升级”，大大精简了定理的证明过程.

哲学告诉我们，运动是绝对的，静止是相对的.纷繁复杂的不同的问题外壳之下，是否有着一样的解决之道呢？

[例6]（1）平面上两两相交的[n]条直线最多把平面分成几个部分？

（2）平面上两两相交的[n]个圆最多把平面分成几个部分？

（3）平面上两两相交的[n]条抛物线最多把平面分成几个部分？

（4）空间中两两相交的[n]个球面最多把空间分成几个部分？

在中学数学课上，如果能聊点与教学内容有联系的哲学思想，使之杂糅在数学内容、数学方法、数学策略中，兴许能让学生跳出数学，以更高的观点来看待数学内容和数学学习.

（责任编辑 黄桂坚）