一种高效鲁棒的低阶迭代通量线方法求解高压直流输电线路离子流场

张建功 万保权 程启问 邹 军

一种高效鲁棒的低阶迭代通量线方法求解高压直流输电线路离子流场

张建功1万保权1程启问2邹 军2

（1. 中国电力科学研究院有限公司电网环境保护国家重点实验室 武汉 430074 2. 电力系统及发电设备控制和仿真国家重点实验室（清华大学电机系） 北京 100084）

迭代通量线方法是一种被广泛应用于求解高压直流输电线路下离子流问题的方法，在每根流线上需要求解一个多变量的最小二乘优化问题。该文从迭代通量线方法出发，结合递推格式将每根流线上问题简化为单变量优化问题，从而使得通量线方法的计算规模被大大减小。实验表明，该文所提方法能够有效提高求解效率和在不同初值下的鲁棒性。该文提出的低阶迭代通量线方法能够有效应用于具有复杂几何结构的离子流模型。

离子流 合成电场 高压直流输电线路 迭代通量线法

0 引言

电晕放电是一种极不均匀场中的自持放电现象，当局部电场超过起晕电场时，电极附近空气将发生电离，形成电晕。对电晕放电现象进行建模时，考虑到光电子的运动速度远大于正负离子，因此将全空间分解为环绕电极的一层电离区以及电离区以外的传导区分别建模。将电离区内复杂的复合、吸附、电离等物理过程的模型称为电晕流体模型；在此基础上将电离层完全忽略，仅考虑传导区内正负离子在电场作用下作定向移动的简化模型称为离子流模型[1]。离子流模型在高压直流输电线路的电磁环境仿真中得到广泛应用[2-6]。

离子流模型对应的数学表达式为泊松方程-连续性方程耦合系统，其中连续性方程描述了空间离子流分布，而泊松方程描述了空间电荷与导线产生的合成电场分布。整个计算区域内外边界上电位分布以及Kapzov假设为泊松方程-连续性方程耦合系统提供了必要的定解条件。

通量线方法是一种被广泛用于求解合成电场和空间离子流分布的方法，该方法最开始被用于求解经Deutsch假设简化后的一维问题。在此基础上，提出一种消除Deustch假设的迭代通量线方法，该方法通过迭代修正通量线方向，逐步移除Deustch假设带来的影响[7-8]。通量线方法可以分为两类：①M. P. Sarma等提出的积分方程方法[9-10]；②乔骥等提出的有限差分方法[11-12]。本文从基于有限差分的迭代通量线方法出发，将待求解的常微分方程组离散为差分方程组，利用非线性最小二乘优化算法搜索满足边界条件并使得差分方程组残差最小的解。这种方法具有较好的普适性，同时适用于单极性和双极性模型。由于待优化变量个数正比于差分节点数，随着差值节点增多，相应的计算时长将显著增加；同时多变量优化问题对初值敏感，求解过程中容易失稳。本文从基于有限差分的通量线方法出发，结合递推格式，将多变量优化问题简化成单变量优化问题，从而提升原方法的效率和鲁棒性。

1 离子流模型

高压直流输电线路下的离子流模型基于如下三个基本假设[13]：

（1）电离层对传导区的影响忽略不计。

（2）离子的扩散效应忽略不记。

（3）离子迁移率恒为一个常数。

传导区内空间电荷分布和电场分布对应的数学模型[14]为

2 低阶通量线方法

2.1 一维离子流计算模型

Deutsch假设认为空间电场强度和标称电场具有相同的方向，即

式中，为标称电场矢量。标称场满足Poisson方程为

根据通量线起点和终点的位置，需要施加不同的边界条件，具体如下：

（1）起始于正极性导线，终止于负极性导线的通量线上边界条件式（5）、式（6）简化为

（2）起始于正极性导线，终止于地面的通量线上边界条件式（5）、式（6）简化为

（3）起始于地面，终止于负极性导线的通量线上边界条件式（5）、式（6）简化为

从上述边界条件可以看到，在起点或终点位于地面的通量线上，只需要考虑一种极性的空间电荷，称这样的模型为单极性模型；在起点和终点同时位于正负极导线表面的通量线上，则需要考虑两种极性的空间电荷，这样的模型被称为双极性模型。接下来将分别介绍如何处理这两类问题的方法。

2.2 单极性模型

采用Crank-Nicolson差分格式将方程式（10）离散为代数方程组为

2.2.1 传统迭代通量线方法

文献[7]中提出的迭代通量线方法处理单极性模型的具体步骤如下。

根据差分方程组式（16）可定义长度为3(1)的残差序列为

边界条件式（13）也改写成残差形式为

2.2.2 低阶通量线方法

将差分方程式（16）改写为递推格式为

其中，各个系数的具体表达式如下

式中，F为标称电场矢量在第个节点处的幅值。

2.3 双极性模型

双极性模型指的是同时存在正极性和负极性空间电荷的离子流模型。采用Crank-Nicolson差分格式将常微分方程组式（10）离散为代数方程组，有

2.3.1 传统迭代通量线方法

文献[7]中提出的迭代通量线方法处理双极性模型的方式和单极性类似：差分方程组式（22）对应着4-4项残差，边界条件式（12）对应着另外4项残差。在流线上的边值问题被转化为4个变量的最小二乘优化问题[11]。

2.3.2 低阶通量线方法

双极性模型与单极性模型的不同在于流线上同时出现正负电荷，同时还需要考虑正负电荷相互复合。本文结合不动点迭代，在求解过程中将这两种电荷完全解耦：迭代过程中，每一步固定一种极性电荷，将原问题简化为单极性问题处理。具体流程如下：

重复上述两个步骤，直到最终计算结果收敛。

2.4 对比与分析

改进后迭代通量线方法的基本计算流程如图2所示。

图2 迭代通量线方法计算流程

和文献[7]提出的传统迭代通量线方法相比，本文方法主要改进“单极性模型求解”和“双极性模型求解”这两个环节。文献[7]中方法在处理单根通量线上的边值问题时，同时求解全部差值节点上的未知量：单极性模型对应3个未知量的最小二乘优化问题，双极性模型对应4个未知量的最小二乘优化问题。随着差分节点数增加，计算时间会显著增长；同时作为多目标优化问题，对初值敏感，为使迭代稳定快速收敛，传统的迭代通量线方法需要估计沿线电荷密度，并以此作为迭代初值[16]。相较而言，本文方法利用递推公式使未知量简化为流入边界处的电荷密度：这样单极性模型被转化为一个单变量的优化问题；双极性模型则被转化为一个双变量优化问题。本文方法有效地减小了优化问题规模，未知数个数从34减小为1；同时算法的鲁棒性也得到显著提升，在不同的初值选取下都可以取得较好的收敛效果。

3 数值验证

3.1 双极性单分裂模型

在图3所示的±300kV高压直流输电线路模型中分别选取两条通量线：一条起始于正极导线，终止于负极导线；另一条起始于正极导线，终止于地面。这两条通量线分别对应双极性模型和仅考虑正极性空间电荷的单极性模型。

图3 ±300kV高压直流输电线路结构

表1中比较了在不同差分点数下两种方法得到的正极性导线表面的电荷密度。可以看到，在单极性模型中，不同差分点数下文献[7]方法和本文提出的方法得到的结果完全相同。

图4 单极性模型下文献[7]方法和低阶通量线方法计算时间对比

表1 单极性模型下文献[7]方法和低阶通量线方法正极性导线表面电荷密度对比

Tab.1 Comparison of the ion density on the conductor surface between the existing method of Ref.[7] and the proposed low-order flux tracing method under the unipolar model

表2中分别对比了不同方法得到的双极性模型中正极性导线表面的正电荷密度和负极性导线表面的负电荷密度。由于引入了不动点迭代，在沿线的差分点数为40时，两种方法得到的电荷密度存在3%的相对误差，然而随着点数增加，电荷密度趋于稳定，两种方法获得的结果差别越来越小，点数为160时，相对误差小于0.5%，即本文提出的低阶方法具有和文献[7]方法相同的精度。

图5 双极性模型下文献[7]方法和低阶通量线方法计算时间对比

表2 双极性模型下文献[7]方法和低阶通量线方法导线表面正负电荷密度对比

Tab.2 Comparison of the positive and negative ion density on the conductor surface between the existing method of Ref.[7] and the proposed low-order flux tracing method under the bipolar model

3.2 双极性六分裂模型

本节在几何结构更复杂的±800kV六分裂高压直流输电线路模型中对比了低阶通量线方法和传统通量线方法，线路几何参数参见文献[17]。每根子导线表面等间距绘制16根流线，每根流线上差分点数为300。外循环迭代两次后计算结果趋于稳定，文献[7]方法耗时4 200s，而本文提出的低阶方法耗时620s，仅为传统方法的14.76%。

图6和图7分别比较了两种方法得到的地面上场量和实际测量结果[17]。可以看到，文献[7]方法和低阶方法得到的地面上电场强度和离子流密度完全相同，且和测量结果吻合性良好，即验证本文方法在具有复杂几何结构模型下的正确性。

图6 ±800kV高压直流输电线路地面电场强度对比

图7 ±800kV高压直流输电线路地面离子流密度对比

4 结论

本文提出一种基于递推格式的低阶通量线方法用于计算高压直流输电线路空间离子流场及合成电场，将传统方法中涉及34个未知数的优化问题简化为单变量优化问题，显著减小问题规模，进而提高计算效率，同时使得问题对初值的鲁棒性大大提升。本文方法使得低阶通量线方法在具有复杂几何结构的模型中的应用成为可能。

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An Efficient and Robust Low-Order Iterative Flux Tracing Method for Calculating Ion Flow Field of HVDC Transmission Lines

1122

（1.State Key Laboratory of Power Grid Environmental Protection China Electric Power Research Institue Wuhan 430074 China 2. State Key Lab of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipment Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China）

The flux tracing method is widely applied to solve the ion-flow field problem of the HVDC transmission line model, which transforms the original boundary value problem into the least square problem along the flux line. In this paper, an improved flux tracing method is proposed. The multi-objective optimization problem in the original method has been simplified to a single-objective optimization problem by applying the recursion scheme. Numerical experiments show that the proposed method has significantly improved the efficient and stability, which can be effectively applied to ion-flow models with complex geometry structures.

Ion-flow field, total electric field, HVDC transmission lines, iterative flux tracing method

TM15

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200081

国家自然科学基金（52077111）和电网环境保护国家重点实验室开放基金（GYW51201901089）资助项目。

2020-01-20

2020-05-05

张建功 男，1975年生，高级工程师，主要研究方向为电力系统电磁兼容和电磁环境。E-mail: zhangjiangong@epri.sgcc.com.cn

邹 军 男，1971年生，教授，博士生导师，主要研究方向为电磁场理论及应用。E-mail: zoujun@tsinghua.edu.cn（通信作者）

（编辑 陈 诚）